第5讲：直线与椭圆的位置关系

学习目标

• 能通过联立方程和判别式判断直线与椭圆相交、相切或相离。
• 能结合韦达定理求弦长，并用点差法处理中点弦和斜率关系。
• 能使用参数方程或距离公式处理最值、通径及离心率问题。

前置知识

需要熟悉直线与圆的方程、一元二次方程、韦达定理和基本向量运算。

核心概念

概念与定义

• 直线与椭圆的三种位置关系：相交 / 相切 / 相离
• 判别式 $Δ$ 的几何意义：$Δ > 0$ 相交，$Δ = 0$ 相切，$Δ < 0$ 相离
• 弦、弦长、弦中点
• 通径：过焦点且垂直于长轴的弦
• 点差法：利用两点同在曲线上、两式相减消去常数项
• 椭圆的参数方程表示：$P(a \cosθ, b \sinθ)$
• 取值范围记号规矩：一律用区间或 ${x | …}$，不写 $x > a$

老师讲解

方法与解题路线

圆锥曲线题先定位焦点轴，再确定 a、b、c；联立后保留判别式与韦达定理的使用条件。

• 联立一次式与二次曲线，按次数从高到低展开，勿过早约分
• 弦长计算：韦达定理 + $|AB| = √(1+k²)·√[(x₁+x₂)²−4x₁x₂]$
• 中点弦：由 $k_弦 · k_(中点→原点) = −b²/a²$ 求直线斜率再写方程
• 压扁圆几何直观：圆中垂直（积 $= −1$）→ 椭圆纵坐标压缩为 $b/a$ → 斜率积 $= −b²/a²$
• 动点最值：参数方程 + 辅助角公式求点到直线距离最值
• 三角形角度范围：面积双表示 $S = c|y_P| = b²·\tan(θ/2)$
• 离心率综合：两次余弦定理、特殊角（等腰直角）构造 $a, c$ 关系

数学公式

公式与适用条件

$\displaystyle |AB|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}.$

• 位置关系判别：$Δ = B² − 4AC$
• 弦长（x 主元）：$|AB| = √(1+k²)·|x₁−x₂| = √(1+k²)·√[(x₁+x₂)²−4x₁x₂] = √(1+k²)·√Δ/|a|$
• 弦长（y 主元）：$|AB| = √(1+1/k²)·|y₁−y₂|$
• 弦中点关系：$k_AB · k_OM = −b²/a²$
• 通径：$2b²/a$；过焦点弦长：最长 $2a$，最短 $2b²/a$
• 椭圆参数方程：$(x, y) = (a \cosθ, b \sinθ)$，$θ ∈ [0, 2π)$
• 点线距（参数法）：$d = |a \cosθ + b \sinθ + C| / √(A²+B²)$（直线 $Ax+By+C=0$）
• 辅助角：$A \cosθ + B \sinθ = √(A²+B²)·\sin(θ+φ)$
• △PF₁F₂ 面积：$S = c|y_P| = b²·\tan(θ/2)$，$θ = ∠F₁PF₂$

典型例题

课堂例题结论

• 例（切线，$x²/3 + y²/2 = 1$，$y = kx + 2$）：相切 $k = ±√6/3$（选 C）
• 例（弦长，$x²/4 + y²/3 = 1$，$y = x − 1$）：$|AB| = 24/7$
• 例（通径，$x²/25 + y²/16 = 1$）：通径 $= 32/5$
• 例（中点弦）：$k = −1/3$ ⇒ $x + 3y − 4 = 0$（选 A）；变式选 B
• 例（参数法，$x²/4 + y²/3 = 1$ 到 $x + y + 3 = 0$）：$d_max = (3√2+√14)/2$，$d_min = (3√2−√14)/2$（选 C）
• 离心率：$e$ 综合求法（两次余弦定理；$e = √2/2$ 等腰直角构造）

常见错误

易错边界

不要只套标准方程而忽略焦点所在坐标轴；轨迹题还要检查退化情形和应排除的端点。

方法总结

本讲速查表

学习时先明确对象、条件和范围，再从下表选择公式；做完后回到原题检查特殊情形与答案格式。

自我检查

完成后请确认

1. 我能用判别式判断直线与椭圆的位置关系。
2. 我能用韦达定理和弦长公式求交弦长度。
3. 我能用点差法由弦中点求直线斜率。
4. 我能用参数方程或距离公式处理椭圆上的最值。