第5讲 · 直线与椭圆的位置关系及弦问题

说明：本讲凡涉及「取值范围」，一律用区间或集合 {x | …} 表示，不写 x > a 这类形式（首次出现在第一节即按此规矩书写）。凡下方对原文口误 / ASR 错转的静默修正，统一记入文末「本讲修正/注意点」。

一、直线与椭圆的位置关系

类比直线与圆：圆心到直线的距离 d 与半径 r 比较，可得相离、相切、相交三种情况。

直线与椭圆（以及后续要学的双曲线、抛物线）的位置关系，同样通过联立方程得到一元二次方程，再用判别式 Δ 判断：

相交 ⇔ Δ > 0 ⇔ 有两个交点；
相切 ⇔ Δ = 0 ⇔ 有一个交点；
相离 ⇔ Δ < 0 ⇔ 无交点。

【取值范围规矩】 下面直接用区间 / 集合记号（不写 k > a 形式）：

相交：k ∈ (−∞, −√6/3) ∪ (√6/3, +∞)
相切：k ∈ {−√6/3, √6/3}
相离：k ∈ (−√6/3, √6/3)

联立代入技巧：把一次方程代入二次曲线时，按次数从高到低逐项展开，不要过早约分——先保留原始系数，避免约错导致后续步步错。

例题：椭圆 x²/3 + y²/2 = 1，直线 l: y = kx + 2。

联立：

x²/3 + (kx + 2)²/2 = 1

展开为：

(1/3 + k²/2)·x² + 2k·x + 1 = 0

两边同乘 6 得：

(3k² + 2)·x² + 12k·x + 6 = 0

相切时 Δ = 0：

Δ = (12k)² − 4(3k² + 2)·6
  = 144k² − 72k² − 48
  = 72k² − 48 = 0
⇒ k² = 2/3
⇒ k = ±√6/3

答案 C。

注意：同乘常数后，Δ 会放大该常数的平方倍（此处放大 36 倍），但根的分布（相交 / 相切 / 相离）不变，只是数值变大、运算稍繁，并不改变结论。

二、弦长公式

设直线与椭圆交于 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，直线斜率为 k。由勾股定理：

|AB| = √(1 + k²) · |x₁ − x₂|

其中 |x₁ − x₂| 由韦达定理从联立后的一元二次方程系数得到：

|x₁ − x₂| = √[(x₁ + x₂)² − 4x₁x₂]

故

|AB| = √(1 + k²) · √[(x₁ + x₂)² − 4x₁x₂]

也可写成

|AB| = √(1 + k²) · √Δ / |a|      （a 为联立后 x² 项系数）

若以 y 为主元，则

|AB| = √(1 + 1/k²) · |y₁ − y₂|

到底选 x 还是选 y，看具体题目而定。

例题：椭圆 x²/4 + y²/3 = 1，直线 l 斜率为 1 且过右焦点，即 l: y = x − 1（过左焦点则是 x + 1，二者所得弦长相同）。

联立：

x²/4 + (x − 1)²/3 = 1
⇒ (7/12)x² − (2/3)x − 2/3 = 0
⇒ 7x² − 8x − 8 = 0

韦达定理：

x₁ + x₂ = 8/7，  x₁x₂ = −8/7

弦长：

|AB| = √(1 + 1) · √[(8/7)² − 4(−8/7)]
      = √2 · √[64/49 + 32/7]
      = √2 · √[64/49 + 224/49]
      = √2 · √(288/49)
      = √2 · (12√2)/7
      = 24/7

三、弦中点问题与点差法

结论（椭圆 x²/a² + y²/b² = 1）：若弦 AB 的中点为 M(x₀, y₀)，O 为原点，则

k_AB · k_OM = −b²/a²

点差法推导：

设 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) 都在椭圆上，则

x₁²/a² + y₁²/b² = 1
x₂²/a² + y₂²/b² = 1

两式相减（即「点差」）：

[(x₁ − x₂)(x₁ + x₂)]/a² + [(y₁ − y₂)(y₁ + y₂)]/b² = 0

移项得

(y₁ − y₂)/(x₁ − x₂) · (y₁ + y₂)/(x₁ + x₂) = −b²/a²

即 k_AB · k_OM = −b²/a²（因为 (y₁ + y₂)/2 = y₀、(x₁ + x₂)/2 = x₀，故 (y₁ + y₂)/(x₁ + x₂) = k_OM）。

几何直观（压扁圆）：圆中若两条线互相垂直，则斜率积 = −1；将圆沿 y 方向压缩为椭圆（纵坐标变为原来的 b/a），每条线斜率也变为原来的 b/a 倍，于是斜率积变为 (b/a)² · (−1) = −b²/a²。所以椭圆中的 −b²/a² 正对应圆中的垂直关系，三点垂直变成三点「斜率积为 −b²/a²」。

四、通径与过焦点弦长

通径：过焦点 F 且垂直于长轴的弦，其长度为

2b²/a

（无论 a, b, c 如何取值，此式恒成立。）

例题：椭圆 x²/25 + y²/16 = 1，则 a = 5，b = 4，c = 3，右焦点为 (3, 0)。过焦点且垂直长轴的弦（即在 x = 3 处）半高为 b²/a = 16/5，整条弦长 = 2 · 16/5 = 32/5。

过焦点弦的最值与最短：

最长弦 = 长轴 = 2a；
最短弦 = 通径 = 2b²/a。

五、中点弦问题（求弦所在直线方程）

已知某弦被某点平分（即该点为弦中点），利用

k_弦 · k_(中点→原点) = −b²/a²

求出直线斜率，再写方程。

例题：椭圆上以某点（如中点 (1,1)）所作之弦，由条件 k_弦 · k_OM = −1/3（即本例中 −b²/a² = −1/3），故 k_弦 = −1/3。

点斜式：

y − 1 = −(1/3)(x − 1)

整理：

3y − 3 = −x + 1
⇒ x + 3y − 4 = 0

答案 A。

变式：弦被另一点平分，满足 k · k_AB = −1/2，同理可得弦所在直线方程，答案 B。

六、动点最值问题——椭圆的参数表示

椭圆 x²/a² + y²/b² = 1 上的点可表示为

P(a cosθ, b sinθ)，  θ ∈ [0, 2π)

（类比单位圆上的点 (cosθ, sinθ)，把横坐标拉到 a、纵坐标拉到 b 即可。）

例题：椭圆 x²/4 + y²/3 = 1，点 P(2cosθ, √3 sinθ) 到直线 x + y + 3 = 0 的距离。

d = |2cosθ + √3 sinθ + 3| / √2

辅助角：2cosθ + √3 sinθ = √7 · sin(θ + φ)，其取值范围为 [−√7, √7]。故

d_max = (3 + √7)/√2 = (3√2 + √14)/2
d_min = (3 − √7)/√2 = (3√2 − √14)/2

答案 C。

（这比直接求切线要简洁可靠得多。）

七、椭圆上点构成三角形的角度 / 面积范围

设 P 在椭圆上，F₁、F₂ 为焦点，|F₁F₂| = 2c。△PF₁F₂ 的面积有两套表示：

S = (1/2)·|F₁F₂|·|y_P| = c·|y_P|

又

S = b² · tan(θ/2)，  其中 θ = ∠F₁PF₂

本例 c = √3，b² = 1（对应 a = 2），于是 S = √3·|y_P| = tan(θ/2)（因 b² = 1）：

θ = 90°（直角）时，S = b² = 1，|y_P| = b²/c = 1/√3 = √3/3；
θ > 90°（钝角）时，S > b²，|y_P| > b²/c = √3/3；
θ < 90°（锐角）时，|y_P| < √3/3。

故：当 P 越靠近短轴顶点、越往 y 轴中间（如 x = 0，P 在短轴端点）时，∠F₁PF₂ 越大；钝角三角形对应

{y_P | |y_P| > √3/3}

（本例椭圆参数由所给数值反推，详见注意点。）

八、小测回顾（离心率综合，复习）

以下归纳前几讲小测中离心率 e 的典型求法：

两次余弦定理：利用焦点弦、已知线段比（如 |AF₁| = 3|BF₁|）与已知角（如 ∠F₂AB = 60°），在 △AF₁F₂、△BF₁F₂ 中两次应用余弦定理建立 a, c 关系，再同除以 a² 化为 e 的方程求解。
特殊角构造：已知 e = √2/2 时，有 a = √2·c，三边长满足 2a = 2√2·c，只有当 |PF₁| = |PF₂| = √2·c 时构成等腰直角三角形，此时 P 为短轴（上 / 下）顶点，便于求坐标与线段比。
距离 / 面积转化：焦点到直线距离、面积比等条件，统一转化为 a, b, c 关系后再求 e。

本讲作业：讲义第三、四页「题组 A」「题组 B」。

本讲修正/注意点

ASR 把「判别式」转成「德塔 / dota / data」，统一还原为 Δ。
ASR 把「韦达定理」转成「伟大定位」，还原为韦达定理。
ASR 把「一元二次方程」转成「肖埃德」，还原为一元二次方程。
直线与椭圆联立例题：椭圆为 x²/3 + y²/2 = 1，直线 y = kx + 2（由常数项 4/2 − 1 反推 m = 2），相切解得 k = ±√6/3，答案 C。
弦长例题中，联立后常数项口述为「+1/3 − 1 − 2/3」，实际应为 −2/3（即 7x² − 8x − 8 = 0），已修正；x₁x₂ 口述「负七分之四十一」实为 −8/7（「41」为「八」误转），已修正。最终弦长 24/7 正确。
通径例题：椭圆取 x²/25 + y²/16 = 1，a = 5, b = 4, c = 3，通径 = 2b²/a = 32/5（口述「x = 3」即焦点横坐标 c = 3）。
三角形角度例题：c = √3，「三分之根号三」=√3/3 为直角临界；口述「三分之 23」疑为 2√3/3 或「三分之根号三」误转，与前面自述矛盾，按方法取 |y_P| > √3/3 为钝角，存疑待核椭圆确切参数 a, b（反推得 b² = 1）。
点差法推导中口述「中间是个加号，这里是他的错」，指移项符号，已按正确点差法整理。
术语：本讲未出现「普及 / 补集」「∅ ⊆ ⊊ ∪ ∩」等集合语言，相关修正规则不适用；若后续涉及将按标准符号 ∅ ⊆ ⊊ ∪ ∩ C_U A 还原。
「OK / 嗯 / 那个 / 然后 / agent / 无意义音节」等口头禅与英文碎片已按规范删除；课前 / 课间关于麦辣鸡翅、点名、签到的闲聊已整体剔除。