第5讲 大纲 · 直线与椭圆的位置关系及弦问题

【概念】

• 直线与椭圆的三种位置关系：相交 / 相切 / 相离
• 判别式 Δ 的几何意义：Δ > 0 相交，Δ = 0 相切，Δ < 0 相离
• 弦、弦长、弦中点
• 通径：过焦点且垂直于长轴的弦
• 点差法：利用两点同在曲线上、两式相减消去常数项
• 椭圆的参数方程表示：P(a cosθ, b sinθ)
• 取值范围记号规矩：一律用区间或 {x | …}，不写 x > a

【方法】

• 联立一次式与二次曲线，按次数从高到低展开，勿过早约分
• 弦长计算：韦达定理 + |AB| = √(1+k²)·√[(x₁+x₂)²−4x₁x₂]
• 中点弦：由 k_弦 · k_(中点→原点) = −b²/a² 求直线斜率再写方程
• 压扁圆几何直观：圆中垂直（积 = −1）→ 椭圆纵坐标压缩为 b/a → 斜率积 = −b²/a²
• 动点最值：参数方程 + 辅助角公式求点到直线距离最值
• 三角形角度范围：面积双表示 S = c|y_P| = b²·tan(θ/2)
• 离心率综合：两次余弦定理、特殊角（等腰直角）构造 a, c 关系

【公式】

• 位置关系判别：Δ = B² − 4AC
• 弦长（x 主元）：|AB| = √(1+k²)·|x₁−x₂| = √(1+k²)·√[(x₁+x₂)²−4x₁x₂] = √(1+k²)·√Δ/|a|
• 弦长（y 主元）：|AB| = √(1+1/k²)·|y₁−y₂|
• 弦中点关系：k_AB · k_OM = −b²/a²
• 通径：2b²/a；过焦点弦长：最长 2a，最短 2b²/a
• 椭圆参数方程：(x, y) = (a cosθ, b sinθ)，θ ∈ [0, 2π)
• 点线距（参数法）：d = |a cosθ + b sinθ + C| / √(A²+B²)（直线 Ax+By+C=0）
• 辅助角：A cosθ + B sinθ = √(A²+B²)·sin(θ+φ)
• △PF₁F₂ 面积：S = c|y_P| = b²·tan(θ/2)，θ = ∠F₁PF₂
• 钝角条件（本例）：|y_P| > √3/3（存疑待核椭圆参数）

【例题结论】

• 例（切线，x²/3 + y²/2 = 1，y = kx + 2）：相切 k = ±√6/3（选 C）
• 例（弦长，x²/4 + y²/3 = 1，y = x − 1）：|AB| = 24/7
• 例（通径，x²/25 + y²/16 = 1）：通径 = 32/5
• 例（中点弦）：k = −1/3 ⇒ x + 3y − 4 = 0（选 A）；变式选 B
• 例（参数法，x²/4 + y²/3 = 1 到 x + y + 3 = 0）：d_max = (3√2+√14)/2，d_min = (3√2−√14)/2（选 C）
• 例（三角形角度）：∠F₁PF₂ 钝角 ⇔ |y_P| > √3/3（存疑待核）
• 离心率：e 综合求法（两次余弦定理；e = √2/2 等腰直角构造）

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