知知数 · 高中数学
第 6 讲 · 第二章 圆锥曲线

第6讲：双曲线

理解双曲线定义、标准方程、焦点三角形及轨迹建模。

对应讲义第 38–46 页按课堂重点重排
本讲原始资料完整大纲完整讲稿

学习目标

  • 能准确使用距离差的绝对值定义双曲线，并判断单支和退化情形。
  • 能根据焦点方向写出双曲线标准方程，并运用 c²=a²+b²。
  • 能用焦点三角形和轨迹法解决长度、面积及建系建模问题。

前置知识

需要熟悉直线与圆的方程、一元二次方程、韦达定理和基本向量运算。

核心概念

概念与定义

  • 双曲线定义：平面内与两定点 F1,F2F_1,F_2 距离之差的绝对值等于常数 2a2a，且 0<2a<∣F1F2∣0<2a<|F_1F_2|
    • 焦距 2c=∣F1F2∣2c=|F_1F_2|，两定点称为焦点
    • 退化情形：
      • 2a>∣F1F2∣2a>|F_1F_2|：无轨迹
      • 2a=∣F1F2∣2a=|F_1F_2|：两条射线
      • 2a=02a=0：线段 F1F2F_1F_2 的垂直平分线
    • 去掉绝对值 ⇒\Rightarrow 仅得一支（单支）
  • 基本量：实半轴 aa、虚半轴 bb、半焦距 cc，关系 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2
  • 焦点位置判定：双曲线看「正项」所在变量；椭圆看「分母」大小
  • 共焦点：
    • 双曲线共焦点 ⇒a2+b2\Rightarrow a^2+b^2 固定（分母和不变）
    • 椭圆共焦点 ⇒a2−b2=c2\Rightarrow a^2-b^2=c^2 固定（差不变）
  • 焦点三角形：双曲线上一点 PP 与两焦点 F1,F2F_1,F_2 构成的三角形

老师讲解

方法与解题路线

圆锥曲线题先定位焦点轴，再确定 a、b、c；联立后保留判别式与韦达定理的使用条件。

  • 标准方程与椭圆的对比记忆（正号改负号）
  • 由条件求双曲线方程的两种设法：
    • 已知焦点轴：设标准式 x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 或 y2a2−x2b2=1\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1，用 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2 与已知点联立
    • 未知焦点轴：整体设参法 Ax2+By2=1Ax^2+By^2=1，代入两点解二元一次方程组
  • 焦点三角形：结合定义 ∣PF1∣−∣PF2∣=±2a|PF_1|-|PF_2|=\pm2a 与余弦定理求角、面积
  • 定义法求轨迹：将「到两定点距离差为常数」翻译为双曲线定义
  • 几何最值：用定义把 ∣PA∣|PA| 转化为 ∣PA′∣±2a|PA'|\pm2a，再化为「定点到圆心距离减半径」型

数学公式

公式与适用条件

x2a2−y2b2=1,c2=a2+b2.\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad c^2=a^2+b^2.

  • 焦点在 xx 轴：x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1，焦点 (±c,0)(\pm c,0)
  • 焦点在 yy 轴：y2a2−x2b2=1\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1，焦点 (0,±c)(0,\pm c)
  • 基本关系：c2=a2+b2c^2=a^2+b^2
  • 焦点三角形面积：
    • 双曲线：S=b2cot⁡θ2S=b^2\cot\dfrac{\theta}{2}（θ=∠F1PF2\theta=\angle F_1PF_2）
    • 椭圆对比：S=b2tan⁡θ2S=b^2\tan\dfrac{\theta}{2}
  • 共焦点条件：双曲线 a2+b2a^2+b^2 固定；椭圆 a2−b2a^2-b^2 固定
  • 斜率积定值（同根性质）：椭圆 −b2a2-\dfrac{b^2}{a^2}，双曲线 +b2a2+\dfrac{b^2}{a^2}

典型例题

课堂例题结论

  • 方程 (2+m)x2−(2−m)y2=1(2+m)x^2-(2-m)y^2=1 表示双曲线 ⇒(2+m)(2−m)>0⇒m∈(−2,2)\Rightarrow (2+m)(2-m)>0\Rightarrow m\in(-2,2)，选 A
  • 以椭圆长轴端点为焦点、c2=8c^2=8、过 (3,10)⇒x23−y25=1(3,\sqrt{10})\Rightarrow \dfrac{x^2}{3}-\dfrac{y^2}{5}=1
  • 焦点在 yy 轴、c2=36c^2=36、过 (5,6)⇒y216−x220=1(5,6)\Rightarrow \dfrac{y^2}{16}-\dfrac{x^2}{20}=1
  • 未知轴、过 (3,154),(163,5)(3,\tfrac{15}{4}),(\tfrac{16}{3},5)，整体法 ⇒y29−x216=1\Rightarrow \dfrac{y^2}{9}-\dfrac{x^2}{16}=1
  • 焦点三角形：x29−y216=1\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1，∣PF1∣⋅∣PF2∣=32⇒S=16|PF_1|\cdot|PF_2|=32\Rightarrow S=16
  • 几何最值：2a=62a=6，圆 M(1,4)M(1,4) 半径 11，∣A′M∣=12⇒∣PA∣+∣PB∣min⁡=17|A'M|=12\Rightarrow |PA|+|PB|_{\min}=17
  • 例 5-2 轨迹：A(0,7),B(0,−7),C(12,2)A(0,7),B(0,-7),C(12,2)，由椭圆导出 ∣AF∣−∣BF∣=2⇒y2−x248=1|AF|-|BF|=2\Rightarrow y^2-\dfrac{x^2}{48}=1 下半支，取值范围 {y≤−1}\{y\le -1\}
  • 例 5-3：动圆与两定圆均外切 ⇒\Rightarrow 双曲线的一支，选 A
  • 例 5-4：x24−y212=1 (x≤−2)\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1\ (x\le -2)；x29−y216=1 (y≠0)\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1\ (y\neq0)
  • 同根斜率积：椭圆 x29+y216=1\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1 上 −169-\dfrac{16}{9}；双曲线 x29−y216=1\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1 上 +169+\dfrac{16}{9}
  • 椭圆作业回顾：第 4 题直角三角形 1:2:5⇒e=531:2:\sqrt5\Rightarrow e=\dfrac{\sqrt5}{3}；第 2 题 k1k3=−1, k3=4k2, k1k2=−b2a2k_1k_3=-1,\ k_3=4k_2,\ k_1k_2=-\dfrac{b^2}{a^2} 联立定 ee，选 D

常见错误

易错边界

不要只套标准方程而忽略焦点所在坐标轴；轨迹题还要检查退化情形和应排除的端点。

方法总结

本讲速查表

学习时先明确对象、条件和范围，再从下表选择公式；做完后回到原题检查特殊情形与答案格式。

项目 公式 / 结论
双曲线定义 $|MF_1
焦点在 xx 轴 x2a2−y2b2=1, F(±c,0)\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1,\ F(\pm c,0)
焦点在 yy 轴 y2a2−x2b2=1, F(0,±c)\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1,\ F(0,\pm c)
a,b,ca,b,c 关系 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2
焦点三角形面积（双曲线） S=b2cot⁡θ2S=b^2\cot\dfrac{\theta}{2}
焦点三角形面积（椭圆对比） S=b2tan⁡θ2S=b^2\tan\dfrac{\theta}{2}
共焦点（双曲线） a2+b2a^2+b^2 固定
共焦点（椭圆） a2−b2a^2-b^2 固定
未知轴求方程 设 Ax2+By2=1Ax^2+By^2=1 整体解
斜率积定值 椭圆 −b2a2-\dfrac{b^2}{a^2}，双曲线 +b2a2+\dfrac{b^2}{a^2}
典型方程 1 x23−y25=1\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{y^2}{5}=1
典型方程 2 y216−x220=1\dfrac{y^2}{16}-\dfrac{x^2}{20}=1
典型方程 3 y29−x216=1\dfrac{y^2}{9}-\dfrac{x^2}{16}=1
焦点三角形例 x29−y216=1\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1，$
几何最值例 $\min(
轨迹例 5-2 y2−x248=1 (y≤−1)y^2-\dfrac{x^2}{48}=1\ (y\le -1)
离心率例 e=53e=\dfrac{\sqrt5}{3}

自我检查

完成后请确认

  1. 我能完整复述双曲线定义中的绝对值与常数范围。
  2. 我能根据焦点方向写出标准方程并计算 a、b、c。
  3. 我能判断去掉绝对值后得到双曲线的哪一支。
  4. 我能用焦点三角形或轨迹法解决长度和面积问题。