第6讲大纲 · 双曲线

【概念】

双曲线定义：平面内与两定点 (F_1,F_2) 距离之差的绝对值等于常数 (2a)，且 (0<2a<|F_1F_2|)
- 焦距 (2c=|F_1F_2|)，两定点称为焦点
- 退化情形：
  - (2a>|F_1F_2|)：无轨迹
  - (2a=|F_1F_2|)：两条射线
  - (2a=0)：线段 (F_1F_2) 的垂直平分线
- 去掉绝对值 (\Rightarrow) 仅得一支（单支）
基本量：实半轴 (a)、虚半轴 (b)、半焦距 (c)，关系 (c^2=a^2+b^2)
焦点位置判定：双曲线看「正项」所在变量；椭圆看「分母」大小
共焦点：
- 双曲线共焦点 (\Rightarrow a^2+b^2) 固定（分母和不变）
- 椭圆共焦点 (\Rightarrow a^2-b^2=c^2) 固定（差不变）
焦点三角形：双曲线上一点 (P) 与两焦点 (F_1,F_2) 构成的三角形

标准方程与椭圆的对比记忆（正号改负号）
由条件求双曲线方程的两种设法：
- 已知焦点轴：设标准式 (\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1) 或 (\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1)，用 (c^2=a^2+b^2) 与已知点联立
- 未知焦点轴：整体设参法 (Ax^2+By^2=1)，代入两点解二元一次方程组
焦点三角形：结合定义 (|PF_1|-|PF_2|=\pm2a) 与余弦定理求角、面积
定义法求轨迹：将「到两定点距离差为常数」翻译为双曲线定义
几何最值：用定义把 (|PA|) 转化为 (|PA'|\pm2a)，再化为「定点到圆心距离减半径」型

焦点在 (x) 轴：(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1)，焦点 ((\pm c,0))
焦点在 (y) 轴：(\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1)，焦点 ((0,\pm c))
基本关系：(c^2=a^2+b^2)
焦点三角形面积：
- 双曲线：(S=b^2\cot\dfrac{\theta}{2})（(\theta=\angle F_1PF_2)）
- 椭圆对比：(S=b^2\tan\dfrac{\theta}{2})
共焦点条件：双曲线 (a^2+b^2) 固定；椭圆 (a^2-b^2) 固定
斜率积定值（同根性质）：椭圆 (-\dfrac{b^2}{a^2})，双曲线 (+\dfrac{b^2}{a^2})

方程 ((2+m)x^2-(2-m)y^2=1) 表示双曲线 (\Rightarrow (2+m)(2-m)>0\Rightarrow m\in(-2,2))，选 A
以椭圆长轴端点为焦点、(c^2=8)、过 ((3,\sqrt{10})\Rightarrow \dfrac{x^2}{3}-\dfrac{y^2}{5}=1)
焦点在 (y) 轴、(c^2=36)、过 ((5,6)\Rightarrow \dfrac{y^2}{16}-\dfrac{x^2}{20}=1)
未知轴、过 ((3,\tfrac{15}{4}),(\tfrac{16}{3},5))，整体法 (\Rightarrow \dfrac{y^2}{9}-\dfrac{x^2}{16}=1)
焦点三角形：(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1)，(|PF_1|\cdot|PF_2|=32\Rightarrow S=16)
几何最值：(2a=6)，圆 (M(1,4)) 半径 (1)，(|A'M|=12\Rightarrow |PA|+|PB|_{\min}=17)
例 5-2 轨迹：(A(0,7),B(0,-7),C(12,2))，由椭圆导出 (|AF|-|BF|=2\Rightarrow y^2-\dfrac{x^2}{48}=1) 下半支，取值范围 ({y\le -1})
例 5-3：动圆与两定圆均外切 (\Rightarrow) 双曲线的一支，选 A
例 5-4：(\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1\ (x\le -2))；(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1\ (y\neq0))
同根斜率积：椭圆 (\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1) 上 (-\dfrac{16}{9})；双曲线 (\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1) 上 (+\dfrac{16}{9})
椭圆作业回顾：第 4 题直角三角形 (1:2:\sqrt5\Rightarrow e=\dfrac{\sqrt5}{3})；第 2 题 (k_1k_3=-1,\ k_3=4k_2,\ k_1k_2=-\dfrac{b^2}{a^2}) 联立定 (e)，选 D