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高二第 6 次课 · 原始课堂资料

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双曲线

知识点大纲课堂清洗讲稿

第6讲 · 双曲线

本讲承接椭圆，进入圆锥曲线的第二种曲线——双曲线。椭圆中已学过的思路（参数方程、弦长公式、中点弦点差法、离心率求法、焦点三角形等）在双曲线中大多会重现，本讲重点建立双曲线的定义、标准方程、焦点三角形，并通过例题体会「定义法」在求轨迹、几何最值中的威力。圆锥曲线整体结论性强，后续会统一归纳成「结论手册」便于复习。

一、双曲线的定义

定义：平面内与两个定点 (F_1,F_2) 距离之差的绝对值等于常数 (2a)（其中 (0<2a<|F_1F_2|)）的动点轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离 (|F_1F_2|) 叫做焦距，记 (2c=|F_1F_2|)。

三种退化情形（由 (2a) 与 (|F_1F_2|) 的大小关系决定）：

  • 若 (2a>|F_1F_2|)：两边之差大于第三边，无轨迹；
  • 若 (2a=|F_1F_2|)：轨迹为两条射线（分别以 (F_1,F_2) 为端点向外）；
  • 若 (2a=0)：轨迹为线段 (F_1F_2) 的垂直平分线。

因此真正构成双曲线，必须满足 (0<2a<|F_1F_2|)。

关于绝对值：定义中「差的绝对值」意味着动点可以「靠近 (F_1) 远 (F_2)」也可以「靠近 (F_2) 远 (F_1)」，故得到两支。若把绝对值去掉，仅保留 (|MF_1|-|MF_2|=2a)（不加绝对值），则动点轨迹只有一支（单支）。

二、双曲线的标准方程

双曲线与椭圆的标准方程唯一区别就是把「正号」改成「负号」。

椭圆 双曲线
焦点在 (x) 轴 (\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1) (\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1)
焦点在 (y) 轴 (\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1) (\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1)
(a,b,c) 关系 (a^2=b^2+c^2)（(a) 最大） (c^2=a^2+b^2)

焦点位置判定：

  • 双曲线看「正项」——正项在哪个变量前，焦点就在哪条轴上；
  • 椭圆看「分母」——分母大的对应长轴（焦点所在轴）。

共焦点的设法：

  • 双曲线共焦点：(c) 相同 (\Rightarrow a^2+b^2) 相同，即两分母之和固定；
  • 椭圆共焦点：(c) 相同 (\Rightarrow a^2-b^2=c^2) 固定，即 (a^2-b^2) 不变（(a^2,b^2) 可变化但仍保持差不变）。

例题：方程表示双曲线的条件

方程 ((2+m)x^2-(2-m)y^2=1) 表示双曲线，需 (x^2)、(y^2) 系数异号，即 [ (2+m)(2-m)>0 ] 解得 (m) 的取值范围为 ((-2,,2))。答案选 A。

本讲规矩（取值范围写法）：本讲义中凡涉及参数的取值范围，一律用区间或集合 ({x\mid\cdots}) 表示，不单独写「(x>a)」这类不等式。故此处写作 (m\in(-2,2))，而非「(m>-2) 且 (m<2)」。

三、双曲线的焦点三角形

双曲线上一点 (P) 与两焦点 (F_1,F_2) 构成的 (\triangle PF_1F_2) 叫做焦点三角形。

  • 由定义：(|PF_1|-|PF_2|=\pm 2a)（符号取决于 (P) 在哪一支）；
  • 在 (\triangle PF_1F_2) 中用余弦定理，结合 (|F_1F_2|=2c)，可解各边与角；
  • 面积公式：设 (\theta=\angle F_1PF_2)，则 [ S_{\triangle PF_1F_2}=b^2\cot\frac{\theta}{2} ] 这是与椭圆唯一不同之处——椭圆对应公式为 (S=b^2\tan\dfrac{\theta}{2})（双曲线把「(\tan)」换成「(\cot)」）。

例题：已知 (|PF_1|\cdot|PF_2|) 求面积

双曲线 (\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1)，点 (P) 在左支，且 (|PF_1|\cdot|PF_2|=32)，求 (\triangle PF_1F_2) 的面积。

解法：

  1. 由方程得 (a=3,\ b=4,\ c=\sqrt{a^2+b^2}=5)，故 (2a=6,\ |F_1F_2|=2c=10)；
  2. 由定义 (|PF_1|-|PF_2|=6)，两边平方： [ |PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1||PF_2|=36 ] 代入 (|PF_1||PF_2|=32)，得 (|PF_1|^2+|PF_2|^2=36+64=100)；
  3. 而 (|F_1F_2|^2=10^2=100)，于是 (|PF_1|^2+|PF_2|^2=|F_1F_2|^2)，即 (\angle F_1PF_2=90^\circ)（直角三角形）；
  4. 面积 (S=\dfrac12|PF_1||PF_2|=\dfrac12\times32=16)。

（也可直接用公式：(S=b^2\cot45^\circ=16\times1=16)。）

四、由已知条件求双曲线方程

例题 1：已知焦点来源与一点

将某椭圆的长轴端点作为双曲线的焦点，则双曲线焦距对应 (c^2=8)，设焦点在 (x) 轴上、方程为 [ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{8-a^2}=1 ] （因 (b^2=c^2-a^2=8-a^2)）。又已知双曲线过点 ((3,\sqrt{10}))，代入： [ \frac{9}{a^2}-\frac{10}{8-a^2}=1 ] 观察得 (a^2=3,\ 8-a^2=5) 满足，故 (a^2=3,\ b^2=5)，方程为 [ \frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{5}=1 ]

例题 2：已知焦点在 (y) 轴与一点

焦点在 (y) 轴，焦距 (2c=12\Rightarrow c^2=36)（即焦点为 ((0,\pm6))），设 [ \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1,\qquad a^2+b^2=36 ] 代入过点 ((5,6))： [ \frac{36}{a^2}-\frac{25}{36-a^2}=1 ] 解得 (a^2=16,\ b^2=20)，故 [ \frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{20}=1 ]

例题 3：未知焦点轴——整体设参法

若只知双曲线经过两点、不知焦点在哪条轴，可直接设 [ Ax^2+By^2=1 ] 将两点坐标代入解二元一次方程组即可。例如过两点 ((3,\tfrac{15}{4}))、((\tfrac{16}{3},5))，代入得 [ \begin{cases} 9A+\dfrac{225}{16}B=1\[4pt] \dfrac{256}{9}A+25B=1 \end{cases} ] 解得 (A=-\dfrac1{16},\ B=\dfrac19)，即 [ -\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1 ]

方法小结：不知道焦点轴时，用 (Ax^2+By^2=1) 整体设参往往比先猜轴再设标准式更省事，解方程组即可。

五、双曲线定义的应用（几何最值与轨迹）

1. 几何最值

已知双曲线（实轴长 (2a=6)）上一点 (P) 在右支，(A) 为一个焦点，(B) 为圆心 (M(1,4))、半径 (1) 的圆上一点，求 (|PA|+|PB|) 的最小值。

解法（利用定义转化）：

  • 设 (A') 为另一焦点，由定义对右支有 (|PA|-|PA'|=2a=6)，即 (|PA|=|PA'|+6)；
  • 于是 [ |PA|+|PB|=(|PA'|+6)+|PB|=|PA'|+|PB|+6 ]
  • (|PA'|+|PB|) 的最小值，等于「定点 (A') 到圆心 (M) 的距离」减去「圆半径」，即 (|A'M|-1=12-1=11)；
  • 故 (|PA|+|PB|) 最小值为 (11+6=17)。

2. 轨迹问题（例 5-2）

已知 (A(0,7),\ B(0,-7),\ C(12,2))。以 (C)、(F) 为焦点且过 (A,B) 作椭圆，求动点 (F) 的轨迹。

解法：

  • 对椭圆，点到两焦点距离和恒定，故对 (A,B) 有 [ |AC|+|AF|=|BC|+|BF| ]
  • 已知 (|AC|=13,\ |BC|=15)，于是 (|AF|-|BF|=15-13=2)；
  • 即动点 (F) 到两定点 (A(0,7),B(0,-7)) 的距离差恒为 (2)，由双曲线定义，(F) 在双曲线上，且 (2a=2\Rightarrow a=1)，焦距 (2c=|AB|=14\Rightarrow c=7)，故 (b^2=c^2-a^2=49-1=48)；
  • 焦点在 (y) 轴，方程为 [ y^2-\frac{x^2}{48}=1 ]
  • 因 (|AF|-|BF|=2>0)（(F) 离 (A) 更远、离 (B) 更近），取下半支，取值范围为 [ \left{(x,y),\middle|,y^2-\frac{x^2}{48}=1,\ y\le -1\right} ]

3. 圆与圆相切（例 5-3）

一动圆与两定圆均外切，则动圆圆心到两定圆圆心距离之差等于两定圆半径之差（常数），故轨迹为双曲线的一支。答案选 A。

4. 单支与限制（例 5-4）

  • (\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1)，且只取一支，则取值范围为 ({x\mid x\le -2})（左支）；
  • (\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1)，且 (y\neq 0)，取值范围为 ({y\mid y\neq 0})。

六、双曲线与椭圆的「同根」关系（斜率积定值）

将椭圆与双曲线放在同一平面直角坐标系中观察，可发现二者「同根」——来自同一个圆。

  • 椭圆 (\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1) 上，过动点的两条从动直线斜率之积为定值 (-\dfrac{b^2}{a^2}=-\dfrac{16}{9})；
  • 双曲线 (\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1) 上，对应两条从动直线斜率之积为定值 (+\dfrac{b^2}{a^2}=+\dfrac{16}{9})。

二者仅差一个符号（相反数），在图形上体现为漂亮的对称关系。这正是椭圆中的「(-b^2/a^2)」与双曲线中的「(+b^2/a^2)」来自同一圆的体现。该性质高考较少直接考查，但有助于理解两类曲线的内在联系。

补充：关于原点对称的两点 (A,B)，对曲线上动点 (P) 有 (k_{PA}\cdot k_{PB}=\pm\dfrac{b^2}{a^2})（教师称此性质为「北京定理」），是上述斜率积定值的来源。

七、椭圆作业回顾（昨日小册答疑）

本讲末尾回顾了昨日椭圆小册中的典型题，作为双曲线学习的铺垫与对比：

  • 第 4 题：图形为直角三角形，边比 (1:2:\sqrt5)，由 (2c=\sqrt5,\ 2a=3) 得离心率 [ e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt5/2}{3/2}=\frac{\sqrt5}{3} ]
  • 第 3 题：椭圆上一点坐标为 (\left(\dfrac{4c}{7},\dfrac{3b}{4}\right))，代入椭圆方程即可消去得到 (a,c) 的关系。
  • 第 2 题（最难）：设三段斜率分别为 (k_1,k_2,k_3)，利用 [ k_1k_3=-1\quad(\text{垂直}),\qquad k_3=4k_2\quad(\text{等分点}),\qquad k_1k_2=-\frac{b^2}{a^2}\quad(\text{关于原点对称两点，直径对直角}) ] 三式联立定出 (\dfrac{b^2}{a^2})，从而求出离心率，答案选 D。
  • 第 8 题：过点 ((2,0)) 向椭圆 (\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{8}=1) 作切线，切线斜率的最值问题（相切时取得），属圆锥曲线切线斜率范围问题。

本讲修正/注意点

以下为清洗过程中静默修正、ASR 错转或存疑之处，集中列表以便追溯：

  1. 大小写统一：ASR 将半焦距 (c) 多处误转为大写 (C)（如「C 等于二倍方 C 方等于八」），已统一为小写 (c)。
  2. 取值范围写法：凡参数取值范围均改用区间/集合，如 (m\in(-2,2))、单支约束写成 ({x\mid x\le-2}) 等；正文首次出现处已注明本讲规矩。
  3. 口误修正：例「((2+m)x^2-(2-m)y^2=1) 表示双曲线」中，教师口语「两个数同为正/同为负都可以」表述有误（应为 (x^2,y^2) 系数异号）；最终判定条件 ((2+m)(2-m)>0)、(m\in(-2,2))、选 A 正确，已按正确逻辑整理。
  4. ASR 乱码还原：「二倍方二逗零」为乱码，依同句「C 方等于八」还原为 (c^2=8)（即 (c=2\sqrt2)）；已知点 ((3,\sqrt{10})) 由式子 (\dfrac{9}{a^2}-\dfrac{10}{8-a^2}=1) 反推还原。
  5. 教师中途更正：焦点在 (y) 轴、(2c=4)（(c^2=4)）一例（选 B），教师中途自认「看错答案」并更正，最终以选 B、(a^2+b^2=4) 整理。
  6. 整体法反推：过两点求方程一例，由方程组 (9A+\frac{225}{16}B=1,\ \frac{256}{9}A+25B=1) 反推出两已知点为 ((3,\frac{15}{4}))、((\frac{16}{3},5))，解得 (\dfrac{y^2}{9}-\dfrac{x^2}{16}=1)。
  7. 几何最值例还原：「14 为圆心，一为半径」还原为圆心 (M(1,4))、半径 (1)；「PA = P a1撇 + 6」还原为 (|PA|=|PA'|+2a)（(2a=6)）；已知 (|A'M|=12)，最小值 (=12-1+6=17)。
  8. 轨迹例 5-2：由椭圆（焦点 (C,F) 过 (A,B)）导出 (|AF|-|BF|=2)，得双曲线 (y^2-\dfrac{x^2}{48}=1) 下半支，取值范围注明 (y\le -1)。
  9. 术语：全文未出现「普及」，故无需替换为「补集」；本讲无集合运算，(\subseteq,\cap,\cup,C_UA) 等符号未涉及。
  10. 数学符号还原：「tangent 的 30 度」还原为 (\tan30^\circ)；「agent 的阿尔法」还原为 (\tan\alpha)；上下标、希腊字母、绝对值、根号、区间括号均已规范（如 (x_2-x_1)、(k=\tan\alpha)）。
  11. 删除内容：课堂管理闲聊（测试频率调整、圆锥曲线结论册预告、26 号下午包场电影《长安的荔枝》通知）、课前/课间碎语、点名、以及 ASR 英文乱码（「OK」「Sorry」「the」「travel」等）均已剔除。

存疑待核项：

  • 以椭圆长轴端点为焦点的双曲线一例，原 workbook 题面（原椭圆长轴端点坐标）缺失，仅据 (c^2=8) 与过点 ((3,\sqrt{10})) 还原，建议核对原题；
  • 焦点在 (y) 轴、(2c=4) 选 B 一例的具体已知点未在转录中给出，仅保留设参框架；
  • 几何最值例中 (A,A') 的具体坐标未给出，仅 (|A'M|=12) 已知，最终结果 (17) 依教师口述整理；
  • 「北京定理」为教师口述术语，对应性质为「关于原点对称两点连线斜率积 (\pm b^2/a^2)」，名称待确认。