知知数 · 高中数学
第 4 讲 · 第二章 圆锥曲线

第4讲：椭圆的定义与几何性质

掌握椭圆定义、生成方式、标准方程、离心率与焦点三角形。

对应讲义第 18–37 页按课堂重点重排
本讲原始资料完整大纲完整讲稿

学习目标

  • 能用椭圆定义与焦点位置建立或识别两类标准方程。
  • 能由 a、b、c、e 的关系读出长短轴、焦点、顶点、范围和离心率。
  • 能用焦点三角形、轨迹定义和代入判定处理长度、角度及点的位置问题。

前置知识

需要熟悉直线与圆的方程、一元二次方程、韦达定理和基本向量运算。

核心概念

概念与定义

  • 椭圆定义：到两定点 F₁、F₂ 距离之和为定值 2a（且 2a > 2c = |F₁F₂|）的点的轨迹
  • 焦点三角形：顶点为 P、F₁、F₂；边长 |PF₁| = M，|PF₂| = N，|F₁F₂| = 2c
  • 离心率 e = c/a，取值范围 e∣0<e<1{e | 0 < e < 1}；圆为 e = 0 的特例（两焦点重合于圆心）
  • 长轴长 2a、短轴长 2b、焦距 2c；焦点必在长轴上
  • 六个特殊点：4 个顶点 + 2 个焦点
  • 点到椭圆位置关系：代入 x2/a2+y2/b2x²/a² + y²/b²，<1 在内、=1 在上、>1 在外
  • 挖点：轨迹中斜率不存在的端点须排除

老师讲解

方法与解题路线

圆锥曲线题先定位焦点轴，再确定 a、b、c；联立后保留判别式与韦达定理的使用条件。

  • 焦点三角形：M + N = 2a；余弦定理 + 向量点积 MN·cos θ = PF₁ · PF₂
  • 焦点三角形面积：S = b²·tan(θ/2) = c·|y_P|（θ = ∠F₁PF₂）
  • 生成方式一·斜率乘积法：k_PA · k_PB = −b²/a² ⇒ 轨迹 x²/a² + y²/b² = 1（挖去 A、B）
  • 生成方式二·定义法（几何构造）：相切 / 对称（垂直平分线）/ 中位线 ⇒ 显化「距离和为定值」
  • 生成方式三·相关点法：求谁设谁，代入已知曲线方程
  • 求离心率：用边长 / 角度 / 点到直线距离建立 a、b、c 关系，转 e = c/a
  • 由椭圆定焦点：以 O 为直角顶点构造 a² = b² + c² 的直角三角形，斜边方向即焦点方向

数学公式

公式与适用条件

∣PF1∣+∣PF2∣=2a,e=ca∈(0,1).\displaystyle |PF_1|+|PF_2|=2a,\qquad e=\frac ca\in(0,1).

  • 椭圆标准方程：x2a2+y2b2=1(a>b>0)\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)
  • 基本关系：a2=b2+c2a^2=b^2+c^2
  • 斜率乘积轨迹：kPAkPB=−b2a2⟺x2a2+y2b2=1k_{PA}k_{PB}=-\dfrac{b^2}{a^2}\Longleftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（挖 A、BA、B）
  • 余弦定理（焦点三角形）：M2+N2−2MNcos⁡θ=(2c)2M^2+N^2-2MN\cos\theta=(2c)^2
  • 焦点三角形面积：S=b2tan⁡θ2=c∣yP∣S=b^2\tan\dfrac{\theta}{2}=c\lvert y_P\rvert
  • 离心率：e = c/a，取值范围 e∣0<e<1{e | 0 < e < 1}
  • 点到直线距离：d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d=\dfrac{\lvert Ax_0+By_0+C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}
  • 到焦点距离范围：d∣a−c≤d≤a+c{d | a − c ≤ d ≤ a + c}
  • 挖点规则：轨迹端点（斜率不存在处）须排除

典型例题

课堂例题结论

  • 焦点三角形例：M + N = 10，MN·cos θ = 9，c = 3（2c = 6）⇒ MN = 23
  • 焦点三角形面积例：a = 7/2，b² = 6，c = 5/2，两焦半径 3、4，底边 5 ⇒ 3:4:5 直角三角形，面积 = 6
  • 斜率乘积例：A(0,±1)，积 = −1/2 ⇒ 轨迹 x²/2 + y² = 1（挖 (0,±1)）
  • 一般结论：积 = −b²/a² ⇒ x²/a² + y²/b² = 1（挖 (±a,0)）
  • 题典一（B 轨迹）：M²/25 + N²/16 = 1，M ≠ ±5
  • 3−3：到 (±2,0) 距离和为 8 ⇒ a = 4，c = 2，b² = 12（选 A）
  • 3−4：2a = 6，c = 2 ⇒ a = 3，b² = 5（选 A）
  • 两圆相切构造：C₁(−4,0) r=3、C₂(4,0) r=13 ⇒ a = 8，c = 4，b² = 48（选 D）
  • 垂直平分线构造：F₁(−2,0)，圆 C(2,0) r=6 ⇒ a = 3，c = 2，b² = 5（选 A）
  • 相关点法：P(2x,2y) 在 x²/4 + y²/8 = 1 上 ⇒ Q 轨迹 x² + y²/2 = 1
  • 离心率变式一：e ∈ e∣√2/2≤e<1{e | √2/2 ≤ e < 1}
  • 小测题2：|AF₁| = 3|BF₁|，∠AF₁B = 60° ⇒ 余弦定理求 e
  • 小测题5：e = √2/2，AF₂ ⟂ BF₂ ⇒ 斜边 2c、直角边 2a（a = √2·c）求 e

常见错误

易错边界

不要只套标准方程而忽略焦点所在坐标轴；轨迹题还要检查退化情形和应排除的端点。

方法总结

本讲速查表

学习时先明确对象、条件和范围，再从下表选择公式；做完后回到原题检查特殊情形与答案格式。

项目 公式 / 结论
椭圆标准方程 x2a2+y2b2=1(a>b>0)\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)
基本关系 a2=b2+c2a^2=b^2+c^2
离心率 e=cae=\dfrac ca，取值范围 {e∣0<e<1}\{e\mid 0<e<1\}
焦点三角形周长 2a+2c2a+2c
焦点三角形边长 M+N=2aM+N=2a；M2+N2−2MNcos⁡θ=(2c)2M^2+N^2-2MN\cos\theta=(2c)^2
焦点三角形面积 S=b2tan⁡θ2=c∣yP∣S=b^2\tan\dfrac{\theta}{2}=c\lvert y_P\rvert
斜率乘积法 kPAkPB=−b2a2⟺x2a2+y2b2=1k_{PA}k_{PB}=-\dfrac{b^2}{a^2}\Longleftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（挖 A、BA、B）
长轴 / 短轴 / 焦距 2a2a / 2b2b / 2c2c
到焦点距离范围 ${d
点到椭圆位置 x2a2+y2b2<1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}<1 内，=1=1 上，>1>1 外
离心率变式一 e∈[22,1)e\in\left[\dfrac{\sqrt2}{2},1\right)
两圆相切构造 ∣MC1∣+∣MC2∣=2a\lvert MC_1\rvert+\lvert MC_2\rvert=2a（定值）
垂直平分线构造 ∣QF1∣+∣QC∣=半径=2a\lvert QF_1\rvert+\lvert QC\rvert=\text{半径}=2a

自我检查

完成后请确认

  1. 我能根据焦点所在坐标轴写出正确的椭圆标准方程。
  2. 我能由任意两个基本量求出 a、b、c、e。
  3. 我能从方程读出顶点、焦点、长短轴和范围。
  4. 我能用焦点三角形解决距离、角度或面积问题。