第4讲 · 椭圆的定义应用、生成方式与简单几何性质

本讲承接第3讲「椭圆的标准方程」。本讲规矩：凡涉及取值范围，一律用区间或 {x | …} 形式给出（如 {e | 0 < e < 1}），正文不再逐处声明。

一、椭圆的定义应用（焦点三角形）

椭圆定义：平面内到两定点 F₁、F₂ 距离之和为定值 2a（且 2a > |F₁F₂| = 2c）的点的轨迹。焦点三角形即以 P、F₁、F₂ 为顶点的三角形，常以 |PF₁|、|PF₂| 为基本量。

1. 焦点三角形基本关系

设 |PF₁| = M，|PF₂| = N，则

• 由定义：M + N = 2a；
• 在 △F₁PF₂ 中，设 ∠F₁PF₂ = θ，余弦定理：M² + N² − 2MN·cos θ = (2c)²；
• 若已知 PF₁ · PF₂ = 9（向量点积），则 MN·cos θ = 9。

例题：已知 M + N = 10（即 2a = 10，a = 5），MN·cos θ = 9，且 c² = 9（c = 3，2c = 6）。 代入余弦定理： M² + N² = (M + N)² − 2MN = 100 − 2MN， 100 − 2MN − 2·9 = 36 ⇒ 2MN = 46 ⇒ MN = 23。 即 |PF₁|·|PF₂| = 23。

注意：焦点三角形周长 = M + N + 2c = 2a + 2c。口述中该数值曾口误（40 → 更正为 20），因原始题设数据不全，此处以可验证的 MN = 23 为准，周长具体取值存疑待核（见文末注意点）。

2. 焦点三角形面积

• 公式：S_△F₁PF₂ = b²·tan(θ/2)（θ = ∠F₁PF₂），亦可写作 S = c·|y_P| = ½·2c·|y_P|。
• 例题：某焦点三角形中 a = 7/2（a² = 49/4），b² = 6（= 24/4），c = 5/2（c² = 25/4，2c = 5），两焦半径之比为 4:3。由 2a = 7 得两焦半径分别为 3、4，底边 2c = 5，恰成 3:4:5 直角三角形，面积 = 3×4/2 = 6。
• 另一情形 θ = 60° 时，S = b²·tan 30° = b²·(√3/3)，可得 S = √3。

3. 参数分类讨论

判断「某代数式表示椭圆」时需分类讨论参数范围，结论为 {m | m ∈ [1, 3) ∪ [3, +∞)}（即 [1, 3) ∪ [3, +∞)）。

二、椭圆的生成方式（三种）

（一）斜率乘积法

例题：已知 A(0,1)、B(0,−1)，直线 AM、BM 交于点 M(x, y)，且 k_AM · k_BM = −1/2，求点 M 的轨迹方程。

解：

• k_AM = (y − 1)/x，k_BM = (y + 1)/x；
• k_AM · k_BM = [(y − 1)(y + 1)] / x² = (y² − 1)/x² = −1/2；
• 整理得 y² − 1 = −x²/2 ⇒ x²/2 + y² = 1；
• 因 x = 0 时斜率不存在，须挖去 (0,1)、(0,−1) 两点。

一般结论：若 P 到两定点 A、B 的斜率之积为常数 −b²/a²，则 P 的轨迹为 x²/a² + y²/b² = 1（须挖去 A、B 两点）。 验证：取 A(−a,0)、B(a,0)，则 k_PA·k_PB = y/(x+a) · y/(x−a) = y²/(x²−a²) = −b²/a² ⇒ a²y² = −b²(x²−a²) ⇒ b²x² + a²y² = a²b² ⇒ x²/a² + y²/b² = 1。

要点：

1. 常数 −b²/a² 会在方程中反复出现（如例题中的 −1/2、题中 −16/25），并非巧合，而是椭圆固有性质；
2. 用斜率乘积法求轨迹必须「挖点」——斜率不存在的端点（如 (±a,0) 或 (0,±b)）要排除。

例题（题典一）：B 点轨迹 M²/25 + N²/16 = 1，须满足 M ∈ {M | M ≠ ±5}（挖去 (±5, 0)，即斜率不存在的顶点）。

（二）定义法（几何构造）

通过相切、对称（垂直平分线）、中位线等几何手段，把「到两定点距离之和为定值」这一本质显化。

• 例（3−3）：到 (−2,0)、(2,0) 距离之和为 8。 2c = 4 ⇒ c = 2；2a = 8 ⇒ a = 4；a² = 16，b² = a² − c² = 12。答案 A。
• 例（3−4）：2a = 6，c = 2 ⇒ a = 3，a² = 9，b² = 5。答案 A。
• 两圆相切构造（题典）：定圆 C₁(−4,0) 半径 3、C₂(4,0) 半径 13；动圆圆心为 M、半径 R，与 C₂ 内切、与 C₁ 外切。
  • 内切 C₂：|MC₂| = 13 − R；外切 C₁：|MC₁| = 3 + R；
  • |MC₁| + |MC₂| = 16 = 2a ⇒ a = 8；焦点 (±4,0) ⇒ c = 4；b² = 64 − 16 = 48。答案 D。
• 垂直平分线构造（题典一）：定点 F₁(−2,0)，圆 C(2,0) 半径 6，P 在圆上；F₁P 的垂直平分线交 CP 于 Q。
  • 垂直平分线性质：|QF₁| = |QP|；
  • |QF₁| + |QC| = |QP| + |QC| = |CP| = 6 = 2a ⇒ a = 3；焦点 (±2,0) ⇒ c = 2；b² = 9 − 4 = 5。答案 A。

（三）相关点法（代入法）

原则：求谁设谁。设所求点 Q(x, y)，找出 Q 与已知曲线上点 P 的坐标关系，代入已知方程即可。

• 例题：设 P(2x, 2y) 在椭圆 x²/4 + y²/8 = 1 上，则 (2x)²/4 + (2y)²/8 = 1 ⇒ x² + y²/2 = 1，即 Q 的轨迹。
• 几何意义：椭圆可由圆沿某一方向「压缩」得到——长轴不变，与之垂直的直径被压成短轴。例如圆 x²/4 + y²/4 = 1 沿竖直方向压缩（b 由 2 压为 1）得到 x²/4 + y²/1 = 1。

三、椭圆的简单几何性质

以标准方程 x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）为例：

• 范围：{x | −a ≤ x ≤ a}，{y | −b ≤ y ≤ b}；顶点 (±a, 0)、(0, ±b)。
• 轴与焦距：长轴长 2a，短轴长 2b，焦距 2c，焦点 (±c, 0)（焦点必在长轴上）。
• 离心率：e = c/a，取值范围 {e | 0 < e < 1}。
  • 圆是 e = 0 的特例（两焦点重合于圆心，可视为「焦距为零的椭圆」）；
  • e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆。
• 特殊点距离：
  • 到中心距离最小的是短轴端点（距 b），最大的是长轴端点（距 a）；
  • 到某焦点距离最大为 a + c（远日点），最小为 a − c（近日点）——类比天体运动（太阳位于一个焦点）。
  • 四个顶点 + 两个焦点 = 六个特殊点。
• 由椭圆定焦点：量 OA = a、OB = b，以 O 为直角顶点构造直角三角形（a² = b² + c²），斜边长度即 a，其端点指向焦点方向。
• 设方程技巧：共离心率 ⇔ a² : b² 不变；共焦点 ⇔ a² − b² = c² 不变。

四、点与椭圆的位置关系及基础练习

• 判定：将 (x₀, y₀) 代入 x²/a² + y²/b²，
  • < 1：点在椭圆内；
  • = 1：点在椭圆上；

  • 1：点在椭圆外。

• 对称性：若 (x₀, y₀) 在椭圆上（中心在原点、轴在坐标轴），则 (±x₀, ±y₀) 均在椭圆上。
  • 反例：若椭圆上出现两个到原点等距且关于原点对称的点，则图形退化为圆而非椭圆。
• 基础练习（教材 P31–P33）：含长半轴/短半轴、离心率、焦点坐标、顶点坐标、点与椭圆位置关系等，按公式直接求解。

五、求离心率

核心思路：利用几何关系（边长、角度、点到直线距离等）建立 a、b、c 的等式或不等式，转化为 e = c/a。

• 变式一：由「原点到某直线的距离与 a 的关系」化为 a、b 关系，最终得 离心率取值范围 {e | √2/2 ≤ e < 1}（可取 √2/2，不可取 1）。

  注：口述现场推导中算术有笔误，标准结论为 e ∈ [√2/2, 1)。具体题设口径存疑待核（见文末注意点）。

• 典型小测题型（第三讲小测，共 5 题）：

  • 题1、题3：直给型，条件明确，较易。
  • 题2：过左焦点 F₁ 的直线交椭圆于 A、B，且 |AF₁| = 3|BF₁|，∠AF₁B = 60°，求 e。 解法：设 |BF₁| = t，则 |AF₁| = 3t；由定义 |AF₂| = 2a − 3t，|BF₂| = 2a − t；在三角形中以 |F₁F₂| = 2c 为边，用余弦定理（含 60°）先求出 t 与 a 的关系，再求 c 与 a 的关系 ⇒ e。
  • 题4：纯计算题（结果较繁）。
  • 题5：已知 e = √2/2，过 F₂ 的直线交椭圆于 A、B，且 AF₂ ⟂ BF₂（相关角为直角），斜边 2c、两直角边各对应 2a（因 a = √2·c，故 2a = 2√2·c），由定义分配两边长度求 e（已知 e 反推几何结构）。

本讲修正/注意点

1. 口误修正：焦点三角形周长数值口述由「40」更正为「20」；因原始题设数据不完整，仅确认 MN = 23（|PF₁|·|PF₂|）可靠，周长具体取值存疑待核。
2. ASR 符号还原：
   • 「点乘」还原为向量点积「·」（PF₁ · PF₂ = 9）；
   • 「rectangle / rectangle 直角三角形」还原为「直角三角形」（边长比 3:4:5）；
   • 「M 方、N 方、X 平方、Y 方」等还原为上标 M², N², x², y² 等；
   • 「挖点」即排除斜率不存在的端点（如 (±a, 0)），已明确写出；
   • 本讲为椭圆几何，未出现一次函数斜率 k = tan α、直线方程 y = kx + b 等场景，故相关 ASR 误转无需处理。
3. 数值存疑：口述中基础练习的若干具体数字（长轴长、离心率值、焦点坐标等）因 ASR 严重失真，无法逐字还原，已按方法重写示例；凡涉及具体题号/数字均以「教材 P31–P33」概括，不臆造精确数值。
4. 离心率变式一推导：口述现场由距离不等式得出的中间步骤（「a² > 3(a² − b²)」「3c² > 2a²」）自相矛盾且含笔误；采用标准结论 e ∈ [√2/2, 1)（即 {e | √2/2 ≤ e < 1}），存疑待核。
5. 术语替换：本讲内容为椭圆几何，未出现「普及 / 补集」场景，无需替换；标准符号 ∅ ⊆ ⊊ ∪ ∩ 等亦未涉及。
6. 取值范围格式：全讲取值范围均按规矩用区间或 {x | …} 表示（如 e ∈ (0,1)、e ∈ [√2/2,1)、m ∈ [1,3)∪[3,+∞)、M ≠ ±5 等）。