第4讲 大纲 · 椭圆的定义应用、生成方式与简单几何性质

【概念】

• 椭圆定义：到两定点 F₁、F₂ 距离之和为定值 2a（且 2a > 2c = |F₁F₂|）的点的轨迹
• 焦点三角形：顶点为 P、F₁、F₂；边长 |PF₁| = M，|PF₂| = N，|F₁F₂| = 2c
• 离心率 e = c/a，取值范围 {e | 0 < e < 1}；圆为 e = 0 的特例（两焦点重合于圆心）
• 长轴长 2a、短轴长 2b、焦距 2c；焦点必在长轴上
• 六个特殊点：4 个顶点 + 2 个焦点
• 点到椭圆位置关系：代入 x²/a² + y²/b²，<1 在内、=1 在上、>1 在外
• 挖点：轨迹中斜率不存在的端点须排除

【方法】

• 焦点三角形：M + N = 2a；余弦定理 + 向量点积 MN·cos θ = PF₁ · PF₂
• 焦点三角形面积：S = b²·tan(θ/2) = c·|y_P|（θ = ∠F₁PF₂）
• 生成方式一·斜率乘积法：k_PA · k_PB = −b²/a² ⇒ 轨迹 x²/a² + y²/b² = 1（挖去 A、B）
• 生成方式二·定义法（几何构造）：相切 / 对称（垂直平分线）/ 中位线 ⇒ 显化「距离和为定值」
• 生成方式三·相关点法：求谁设谁，代入已知曲线方程
• 求离心率：用边长 / 角度 / 点到直线距离建立 a、b、c 关系，转 e = c/a
• 由椭圆定焦点：以 O 为直角顶点构造 a² = b² + c² 的直角三角形，斜边方向即焦点方向

【公式】

• 椭圆标准方程：x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）
• 基本关系：a² = b² + c²
• 斜率乘积轨迹：k_PA · k_PB = −b²/a² ⇔ x²/a² + y²/b² = 1（挖 A、B）
• 余弦定理（焦点三角形）：M² + N² − 2MN·cos θ = (2c)²
• 焦点三角形面积：S = b²·tan(θ/2) = c·|y_P|
• 离心率：e = c/a，取值范围 {e | 0 < e < 1}
• 点到直线距离：d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
• 到焦点距离范围：{d | a − c ≤ d ≤ a + c}
• 挖点规则：轨迹端点（斜率不存在处）须排除

【例题结论】

• 焦点三角形例：M + N = 10，MN·cos θ = 9，c = 3（2c = 6）⇒ MN = 23
• 焦点三角形面积例：a = 7/2，b² = 6，c = 5/2，两焦半径 3、4，底边 5 ⇒ 3:4:5 直角三角形，面积 = 6
• 斜率乘积例：A(0,±1)，积 = −1/2 ⇒ 轨迹 x²/2 + y² = 1（挖 (0,±1)）
• 一般结论：积 = −b²/a² ⇒ x²/a² + y²/b² = 1（挖 (±a,0)）
• 题典一（B 轨迹）：M²/25 + N²/16 = 1，M ≠ ±5
• 3−3：到 (±2,0) 距离和为 8 ⇒ a = 4，c = 2，b² = 12（选 A）
• 3−4：2a = 6，c = 2 ⇒ a = 3，b² = 5（选 A）
• 两圆相切构造：C₁(−4,0) r=3、C₂(4,0) r=13 ⇒ a = 8，c = 4，b² = 48（选 D）
• 垂直平分线构造：F₁(−2,0)，圆 C(2,0) r=6 ⇒ a = 3，c = 2，b² = 5（选 A）
• 相关点法：P(2x,2y) 在 x²/4 + y²/8 = 1 上 ⇒ Q 轨迹 x² + y²/2 = 1
• 离心率变式一：e ∈ {e | √2/2 ≤ e < 1}
• 小测题2：|AF₁| = 3|BF₁|，∠AF₁B = 60° ⇒ 余弦定理求 e
• 小测题5：e = √2/2，AF₂ ⟂ BF₂ ⇒ 斜边 2c、直角边 2a（a = √2·c）求 e

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