知知数 · 高中数学
第 3 讲 · 第二章 圆锥曲线

第3讲：圆系方程与椭圆初步

从圆系与公共弦过渡到椭圆定义、标准方程和焦点三角形。

对应讲义第 8–26 页按课堂重点重排
本讲原始资料完整大纲完整讲稿

学习目标

  • 能用圆系方程表示过已知交点的圆，并由两圆方程相减求公共弦。
  • 能判断两圆的位置关系及公切线条数，识别圆系中的退化情形。
  • 能由椭圆定义判断轨迹是否成立，并写出标准方程与焦点三角形的基本关系。

前置知识

需要熟悉直线与圆的方程、一元二次方程、韦达定理和基本向量运算。

核心概念

概念与定义

  • 圆的极线性质（点与圆位置关系的三种情形）
    • 点在圆上 → 切线
    • 点在圆外 → 切点弦（切点连线）
    • 点在圆内 → 所引弦端点处切线交点的轨迹
  • 圆与圆的位置关系：外离 / 外切 / 相交 / 内切 / 内含
  • 公切线条数：4 / 3 / 2 / 1 / 0
  • 公共弦：两圆方程相减得到
  • 圆系方程（圆 pencil）
    • 过直线与圆交点的圆系：C+λl=0C + λl = 0
    • 过两圆交点的圆系：C1+λC2=0C₁ + λC₂ = 0（λ ≠ −1）
    • λ=−1λ = −1 → 公共弦；相切时 → 公切线
  • 椭圆定义：PF1+PF2=2aPF₁ + PF₂ = 2a，且 2a>∣F1F2∣2a > |F₁F₂|
    • 焦点 F1、F2F₁、F₂；焦距 ∣F1F2∣=2c|F₁F₂| = 2c
    • 2a=∣F1F2∣2a = |F₁F₂| → 线段；2a<∣F1F2∣2a < |F₁F₂| → 无图形
  • 焦点三角形：△PF1F2△PF₁F₂，θ=∠F1PF2θ = ∠F₁PF₂

老师讲解

方法与解题路线

圆锥曲线题先定位焦点轴，再确定 a、b、c；联立后保留判别式与韦达定理的使用条件。

  • 弦长 / 面积最值：面积 = (1/2)×弦长×高(1/2) × 弦长 × 高；最远点取 h=R+dh = R + d
  • 切线长公式：从圆外点引切线，切线长 = √(d2−r2)√(d² − r²)
  • 筝形面积 = 对角线乘积 / 2（用于处理切点弦最值）
  • 圆系“绕交点旋转”思想（类比直线系）
  • 轨迹问题：位似（瓜豆原理）求中点轨迹
  • ∠APB=90°∠APB = 90° ⇒ PP 在以 ABAB 为直径的圆上（直径所对圆周角）
  • 点到直线最大距离 = 圆心到直线距离 + 半径 RR
  • 椭圆标准方程两种设法：
    • 标准式 x2/a2+y2/b2=1x²/a² + y²/b² = 1
    • 简化式 Ax2+By2=1Ax² + By² = 1（代入两点更快）
  • 焦点三角形面积公式二推导：余弦定理 + (PF1+PF2)2=4a2(PF₁ + PF₂)² = 4a²

数学公式

公式与适用条件

x2a2+y2b2=1,a2=b2+c2.\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad a^2=b^2+c^2.

  • 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0x² + y² + Dx + Ey + F = 0
  • 极线（点 (x0,y0)(x₀,y₀) 对圆 x2+y2=R2x² + y² = R²）：x0x+y0y=R2x₀x + y₀y = R²
  • △AOB△AOB 面积（圆半径 RR，夹角 θθ）：S=(1/2)R2sin⁡θS = (1/2)R² \sin θ
  • 焦点三角形面积：
    • S=c⋅∣yP∣S = c·|y_P|
    • S=b2⋅tan⁡(θ/2)S = b²·\tan(θ/2)
    • PF1⋅PF2=2b2/(1+cos⁡θ)PF₁·PF₂ = 2b² / (1 + \cos θ)
  • 椭圆关系：a2=b2+c2a² = b² + c²
  • 标准方程（焦点在 xx 轴）：x2/a2+y2/b2=1x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）
  • 标准方程（焦点在 yy 轴）：y2/a2+x2/b2=1y²/a² + x²/b² = 1（a > b > 0）

典型例题

课堂例题结论

  • 第 25 题：选 C
  • 第 27 题：选 B；最短切线长 √5√5（点 (2,4)(2,4)）
  • 第 28 题：22
  • 第 29 题：选 C
  • 第 30 题：△AOB△AOB 最大面积 22，直线 y=2−xy = 2 − x
  • 圆与圆的位置关系题：2√72√7；选 B（内切）；选 A
  • 第 34 题：∣AB∣min=8|AB|_min = 8
  • 第 35 题：MM 轨迹 (x−2)2+(y−1)2=1(x − 2)² + (y − 1)² = 1
  • 第一讲小测：选 D（4 点）；第 5 题 PP 轨迹 x2+y2=1x² + y² = 1
  • 椭圆例一：
    • 1：x2/25+y2/9=1x²/25 + y²/9 = 1
    • 2：y2/10+x2/6=1y²/10 + x²/6 = 1
    • 5：y2/20+x2/4=1y²/20 + x²/4 = 1
  • 即学即练：第 2 题 θ=120°θ = 120°；第 3 题 S=4√3/3S = 4√3/3（选 A）

常见错误

易错边界

不要只套标准方程而忽略焦点所在坐标轴；轨迹题还要检查退化情形和应排除的端点。

方法总结

本讲速查表

学习时先明确对象、条件和范围，再从下表选择公式；做完后回到原题检查特殊情形与答案格式。

项目 公式 / 结论
圆一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0x² + y² + Dx + Ey + F = 0
极线（点 (x0,y0)(x₀,y₀) 对 x2+y2=R2x²+y²=R²） x0x+y0y=R2x₀x + y₀y = R²
公切线条数 外离 44 / 外切 33 / 相交 22 / 内切 11 / 内含 00
过两圆交点的圆系 C1+λC2=0C₁ + λC₂ = 0（λ ≠ −1）；λ=−1λ = −1 为公共弦
△AOB△AOB 面积 S=(1/2)R2sin⁡θS = (1/2)R² \sin θ
切线长（圆外点） √(d2−r2)√(d² − r²)
椭圆关系 a2=b2+c2a² = b² + c²
椭圆标准方程（x 轴焦点） x2/a2+y2/b2=1x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）
椭圆标准方程（y 轴焦点） y2/a2+x2/b2=1y²/a² + x²/b² = 1（a > b > 0）
焦点三角形面积 $S = c·
∠APB=90°∠APB = 90° 的轨迹 以 ABAB 为直径的圆
点到直线最大距离（圆上点） d(O,l)+Rd(O,l) + R

自我检查

完成后请确认

  1. 我能写出过直线与圆交点、过两圆交点的圆系方程。
  2. 我能由两圆位置关系判断公切线条数。
  3. 我能用椭圆定义判断轨迹是椭圆、线段还是不存在。
  4. 我能在焦点三角形中写出 2a、2c 与面积关系。