第3讲 · 圆系方程、圆与圆位置关系及椭圆的定义与标准方程

【格式约定】本讲凡涉及“取值范围”，一律以区间（如 (−∞, 0]）或集合（如 { m | … }）形式给出，不单独写成 x > a 之类。

一、圆的极线性质回顾（作业 25 题引子）

圆的一般方程可写为：

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

（ASR 将系数 D 误转成英文 “the”，已还原。）将其配方改写后，对圆外一点套用“统一替换”得到的新方程有统一含义：

点在圆上 → 该式表示过该点的切线；
点在圆外 → 该式表示切点弦（从该点引两条切线的切点连线）；
点在圆内 → 该式表示该点所引弦的端点处切线交点的轨迹（极线）。

演示：圆 x² + y² = 25，取圆内点 (1,1)。按“平方替换为坐标乘积”的规则（x² → x·x₀，y² → y·y₀），得极线 x + y = 25。过 (1,1) 作一条弦交圆于 B、C，再作 B、C 处切线，其交点必落在此直线上——即“点在圆内时，极线为该点所引弦端点处切线交点的轨迹”。（转录中混入 “x+y=20” 的口误，正确应为 25。）

二、圆的综合题讲评（25–30 题）

1. 第 25 题

答案 C。

2. 第 26 题

已知圆 x² + y² = 25，点 A(1,1) 在圆内，弦 AB 过 A，M 为圆上动点，求 △MAB 面积最大值。

方法：面积 S = (1/2)·|AB|·h，其中 h 为 M 到直线 AB 的距离。当 M 位于离弦 AB 最远处时面积最大，此时 h = R + d（R = 5 为半径，d 为圆心到弦 AB 的距离）。
结论：S_max = (2/5)·(1 + √5)。

（注：弦 AB 的具体方程转录未给出，存疑待核，见注意点。）

3. 第 27 题

答案 B。圆 (x − 2)² + (y − 1)² = 4，圆心 (2,1)，半径 2，与 y 轴相切。直线 y = 4 上动点向圆引两条切线，求切点弦长（或切线长）的最小值。

当动点在圆心正上方 (2,4) 时离圆最近，切线长最短：

切线长 = √(d² − r²) = √(3² − 2²) = √5
借助“筝形”（对角线互相垂直的四边形）面积 = 对角线乘积 / 2，可说明动点越靠近圆，对应圆心角越小，切点弦越短；故最特殊点即圆心正上方 (2,4)。

4. 第 28 题

答案 2（用圆心到直线的距离配合垂径定理求弦长 / 弦心距）。

5. 第 29 题

答案 C。

6. 第 30 题

圆 x² + y² = 4（半径 R = 2），过圆内点 (1,1) 作直线交圆于 A、B，求 △AOB 面积最大值。

△AOB 面积（两边为半径 R，夹角 ∠AOB = θ）：

S = (1/2)·R²·sin θ = 2·sin θ
当 θ = 90° 时 sin θ 最大，最大值为 2。
使 ∠AOB = 90° 的直线方程为 y = 2 − x。

三、圆与圆的位置关系（公切线条数、公共弦）

公共弦求法：两圆相交时，将两圆方程相减（做差）即得公共弦所在直线方程；再求弦心距与弦长。
公切线条数（由远及近）：
- 外离：4 条（2 条外公切线 + 2 条内公切线）；
- 外切：3 条；
- 相交：2 条；
- 内切：1 条；
- 内含：0 条。
- 即 “4、3、2、1、0”。
圆与圆的位置关系第一题答案 2√7；第二题答案 B（三条公切线对应内切）；第三题答案 A。

四、圆系方程

类比直线系：过两直线 l₁ = 0、l₂ = 0 交点的直线系为 l₁ + λl₂ = 0（绕交点旋转，缺一条直线本身）。

1. 过直线与圆交点的圆系

设直线 l = 0、圆 C = 0，则

C + λl = 0 表示过它们交点的所有圆（缺一条直线）。

2. 过两圆交点的圆系

设 C₁ = 0、C₂ = 0 交于 A、B 两点，则

C₁ + λC₂ = 0　（λ ≠ −1）表示过 A、B 的所有圆。

当 λ = −1 时，方程退化为一次方程，即两圆公共弦方程；
当两圆相切时，该式表示公切线。

3. 演示

圆 C₁: x² + y² = 25 与 C₂: x² + (y − 4)² = 9，圆系为

x² + y² − 25 + λ·[ x² + (y − 4)² − 9 ] = 0

随 λ 变化（含 λ → −1⁺ 等极限情形），可“生成”出介于两圆之间的所有圆。

五、圆的轨迹问题（34、35、36 题）

1. 第 34 题

A、B 分别在 x 轴、y 轴正半轴上滑动，构成直角三角形（斜边 AB 长度不变）；M 为 AB 中点，且 M 在圆 (x − 4)² + (y − 3)² = 1 上。求 |AB| 的最小值。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故 |OM| = (1/2)·|AB|（O 为原点）。
|OM| 的最小值为原点到圆心 (4,3) 的距离减半径：5 − 1 = 4。
故 |AB|_min = 2 × 4 = 8。

2. 第 35 题（瓜豆原理 / 位似）

定点 A(2,0) 为切点，B 在圆 (x − 2)² + (y − 2)² = 4 上运动，M 为 AB 中点，求 M 的轨迹。

由位似（缩放比 1/2，中心为 A），M 的轨迹是圆，圆心为 A 与 (2,2) 的中点 (2,1)，半径为 1。
轨迹方程：

(x − 2)² + (y − 1)² = 1

（该题另含 “MA + AN 最小值” 一类最值应用，涉及关于直线 y = −x 的对称，转录较乱，存疑待核，见注意点。）

3. 第 36 题

已知圆（圆心 (3,4)）与两点 A(−1,0)、B(m,−1)，若存在点 P 使 ∠APB = 90°，求 m 的取值范围。

∠APB = 90° 时，P 的轨迹是以 AB 为直径的圆（直径所对圆周角为直角）。
问题转化为：该圆与已知圆有公共点，从而确定 m 的范围。
答案：C。具体区间转录未给出，按规范以集合形式记为存疑待核：

m ∈ { 选项 C 所示区间，具体数值待核 }

六、第一讲小测选填回顾

选填：圆 (x − 1)² + (y − 1)² = 9（圆心 (1,1)，半径 3），一条直线过圆心，问到该直线距离为 1 的点有几个——答案 D（直线两侧各 2 个点，共 4 个）。
第 5 题：A(−1,0)、B(1,0)，若 PA ⊥ PB，则 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆，即单位圆 x² + y² = 1。再求圆上点到某定直线（恒过定点 (√3, 1)）的最大距离。
- 最大距离 = 圆心到直线的距离 + 半径 R（利用直角三角形，最远点在过圆心且垂直于该直线的方向上）。
- （具体直线方程转录有误，仅知恒过定点 (√3, 1)，存疑待核，见注意点。）

七、椭圆：定义与标准方程

直线与圆板块以清单形式罗列；椭圆、双曲线、抛物线为全新内容，采用新课方式，后续还会多轮深入（含高考压轴题型）。

1. 定义

平面内到两定点 F₁、F₂ 距离之和为常数 2a，且 2a > |F₁F₂| 的点的轨迹是椭圆。

两定点称焦点；|F₁F₂| = 2c 称焦距。
若 2a = |F₁F₂|：退化为线段 F₁F₂；
若 2a < |F₁F₂|：无图形。

2. 标准方程

x²/a² + y²/b² = 1　（a > b > 0），其中 a² = b² + c²

例：若 PF₁ + PF₂ = 10，则 2a = 10、a = 5；若 c = 4，则 b = 3。

八、椭圆标准方程的代数推导

由定义推导（设 F₁(−c,0)、F₂(c,0)，动点 P(x,y)，且 PF₁ + PF₂ = 2a）：

写出距离：

PF₁ = √[(x + c)² + y²]，　PF₂ = √[(x − c)² + y²]
移项后平方：

√[(x + c)² + y²] = 2a − √[(x − c)² + y²] 两边平方整理得 2cx = 4a² − 4a√[(x − c)² + y²] − 4c²，即 a² − cx = a·√[(x − c)² + y²]
再平方展开，消去同类项，令 b² = a² − c²，得

b²x² + a²y² = a²b²
同除以 a²b²：

x²/a² + y²/b² = 1

由此确认 a²、b²、c² 的关系 a² = b² + c² 并非凭空给出，而是可由定义推出。

九、椭圆的两种形式与焦点位置判定

焦点在 x 轴：x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）；
焦点在 y 轴：y²/a² + x²/b² = 1（a > b > 0）。
判定：分母谁大，焦点就在哪条轴上（长轴在焦点所在轴）。
第 20 页两题：第一题焦点坐标为 C 选项；第二题 m 的值 = 4（由 a² = m、b² = 4、c² = 1 得 m = 4），答案 C。

十、焦点三角形（面积公式与最大角）

对椭圆上点 P 与两焦点构成的 △PF₁F₂（设 θ = ∠F₁PF₂）：

PF₁ + PF₂ = 2a；
面积公式一（底高）：S = (1/2)·2c·|y_P| = c·|y_P|；
面积公式二（焦点三角形面积公式）：

S = b²·tan(θ/2)
推导要点：由余弦定理与 (PF₁ + PF₂)² = 4a² 可得

PF₁·PF₂ = 2b² / (1 + cos θ) 于是 S = (1/2)·PF₁·PF₂·sin θ = b²·sin θ / (1 + cos θ) = b²·tan(θ/2)
最大角：当 P 在短轴端点时，θ 最大（因 |y_P| 最大 ⇒ tan(θ/2) 最大 ⇒ θ 最大）。

即学即练（5–7 题）：

第 1 题：答案 C。
第 2 题：已知 PF₁ + PF₂ = 6（故 a = 3），|F₁F₂| = 2√7，一边为 2、另一边为 4，三边比 1 : 2 : √7 ⇒ θ = 120°。
第 3 题：直接用 S = b²·tan(θ/2)，b² = 4、θ = 60°，则 S = 4·tan 30° = 4·(√3/3) = 4√3/3，答案 A。

十一、例一：求椭圆的标准方程（1–5 题）

1. 第 1 题

焦点 (−4,0)、(4,0)，PF₁ + PF₂ = 10 ⇒ a = 5、c = 4、b = 3，方程

x²/25 + y²/9 = 1

2. 第 2 题

焦点 (0,2)、(0,−2)（在 y 轴），2a = 2√10 ⇒ a = √10、c = 2、b² = 10 − 4 = 6，方程

y²/10 + x²/6 = 1

3. 第 3 题

已知 a² : b² = 4 : 1，c² = 6。由 a² − b² = c² 得 4b² − b² = 3b² = 6 ⇒ b² = 2、a² = 8。方程（焦点在 x 轴）

x²/8 + y²/2 = 1

（若焦点在 y 轴，则形式为 y²/8 + x²/2 = 1；原题未指明轴，存疑待核，见注意点。）

4. 第 4 题

可设 Ax² + By² = 1 形式，代入两点坐标解 A、B，比直接套标准方程更简便（具体两点转录略，方法保留）。

5. 第 5 题

与已知椭圆有相同焦点（在 y 轴，c = 4），故 a² = b² + 16；设方程 y²/a² + x²/b² = 1，代入已知点解得 a² = 20、b² = 4，方程

y²/20 + x²/4 = 1

本讲修正/注意点

系数还原：圆的一般方程中系数 D 被 ASR 误转为英文 “the”，已还原为 x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
符号/上下标还原：Y 等于 K 加 B → y = kx + b；x2减x1 → x₂ − x₁；agent 的阿尔法 → tan α；斜率 K 等于 agent 阿尔法 → k = tan α；s3角形 统一改为“三角形”；R 八 等口语杂音已删。
极线口误：圆 x² + y² = 25 中点 (1,1) 的极线，转录混入 “x + y = 20”，正确为 x + y = 25（平方替换规则：x² → x·x₀）。
第 26 题：弦 AB 的具体方程转录未给出（老师口述“我没写”），仅能确认结论 S_max = (2/5)(1 + √5)，存疑待核。
第 35 题：MA + AN 最小值部分涉及直线 y = −x 反射，转录较乱，仅确认 M 轨迹 (x − 2)² + (y − 1)² = 1，最值细节存疑待核。
第 36 题：m 的具体取值范围转录仅给出“选 C”，未给出数值区间；按规范以集合形式记为存疑待核（m ∈ { 选项 C 所示区间 }）。
第一讲小测第 5 题：直线具体方程转录有误（仅知恒过定点 (√3, 1)），方法（最大距离 = 圆心到直线距离 + 半径）保留，具体直线存疑待核。
例一第 3 题：原题未指明焦点所在轴，按焦点在 x 轴给出 x²/8 + y²/2 = 1；若在 y 轴则为 y²/8 + x²/2 = 1，存疑待核。
术语/集合符号规则：本讲未出现“普及→补集”“∅ ⊆ ⊊ ∪ ∩ C_U A”等集合术语误用，相关替换规则未触发。
单调区间规则：本讲未涉及单调区间，故“用‘和’连接而非 ∪”规则未触发。
删减内容：课前点名签到、发小册、课间空调/“头痛风”闲聊、软件闪退、ASR 英文乱码（for、Thank、Training、R 八等）及“OK/然后/这个/的话/嗯/那个/对”等口头禅、破碎句均已剔除。
格式约定：本讲所有取值范围（如第 36 题的 m）均以区间或集合形式给出。