第3讲 大纲 · 圆系方程、圆与圆位置关系及椭圆的定义与标准方程

【概念】

• 圆的极线性质（点与圆位置关系的三种情形）
  • 点在圆上 → 切线
  • 点在圆外 → 切点弦（切点连线）
  • 点在圆内 → 所引弦端点处切线交点的轨迹
• 圆与圆的位置关系：外离 / 外切 / 相交 / 内切 / 内含
• 公切线条数：4 / 3 / 2 / 1 / 0
• 公共弦：两圆方程相减得到
• 圆系方程（圆 pencil）
  • 过直线与圆交点的圆系：C + λl = 0
  • 过两圆交点的圆系：C₁ + λC₂ = 0（λ ≠ −1）
  • λ = −1 → 公共弦；相切时 → 公切线
• 椭圆定义：PF₁ + PF₂ = 2a，且 2a > |F₁F₂|
  • 焦点 F₁、F₂；焦距 |F₁F₂| = 2c
  • 2a = |F₁F₂| → 线段；2a < |F₁F₂| → 无图形
• 焦点三角形：△PF₁F₂，θ = ∠F₁PF₂

【方法】

• 弦长 / 面积最值：面积 = (1/2) × 弦长 × 高；最远点取 h = R + d
• 切线长公式：从圆外点引切线，切线长 = √(d² − r²)
• 筝形面积 = 对角线乘积 / 2（用于处理切点弦最值）
• 圆系“绕交点旋转”思想（类比直线系）
• 轨迹问题：位似（瓜豆原理）求中点轨迹
• ∠APB = 90° ⇒ P 在以 AB 为直径的圆上（直径所对圆周角）
• 点到直线最大距离 = 圆心到直线距离 + 半径 R
• 椭圆标准方程两种设法：
  • 标准式 x²/a² + y²/b² = 1
  • 简化式 Ax² + By² = 1（代入两点更快）
• 焦点三角形面积公式二推导：余弦定理 + (PF₁ + PF₂)² = 4a²

【公式】

• 圆的一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0
• 极线（点 (x₀,y₀) 对圆 x² + y² = R²）：x₀x + y₀y = R²
• △AOB 面积（圆半径 R，夹角 θ）：S = (1/2)R² sin θ
• 焦点三角形面积：
  • S = c·|y_P|
  • S = b²·tan(θ/2)
  • PF₁·PF₂ = 2b² / (1 + cos θ)
• 椭圆关系：a² = b² + c²
• 标准方程（焦点在 x 轴）：x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）
• 标准方程（焦点在 y 轴）：y²/a² + x²/b² = 1（a > b > 0）

【例题结论】

• 第 25 题：选 C
• 第 26 题：S_△MAB,max = (2/5)(1 + √5)（弦 AB 方程待核）
• 第 27 题：选 B；最短切线长 √5（点 (2,4)）
• 第 28 题：2
• 第 29 题：选 C
• 第 30 题：△AOB 最大面积 2，直线 y = 2 − x
• 圆与圆的位置关系题：2√7；选 B（内切）；选 A
• 第 34 题：|AB|_min = 8
• 第 35 题：M 轨迹 (x − 2)² + (y − 1)² = 1
• 第 36 题：m 范围选 C（具体区间待核，集合形式）
• 第一讲小测：选 D（4 点）；第 5 题 P 轨迹 x² + y² = 1
• 椭圆例一：
  • 1：x²/25 + y²/9 = 1
  • 2：y²/10 + x²/6 = 1
  • 3：x²/8 + y²/2 = 1（焦点轴待核）
  • 5：y²/20 + x²/4 = 1
• 即学即练：第 2 题 θ = 120°；第 3 题 S = 4√3/3（选 A）

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