知知数 · 高中数学
第 2 讲 · 第一章 直线与圆的方程

第2讲：圆

整理圆的方程、位置关系、弦长、切线、公共弦与极线方法。

对应讲义第 1–17 页按课堂重点重排
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学习目标

  • 能在圆的标准方程与一般方程之间转换，并准确读出圆心和半径。
  • 能判断点与圆、直线与圆及两圆的位置关系，写出相切条件。
  • 能用圆心到直线的距离解决弦长、切线、公共弦与极线问题。

前置知识

需要熟悉平面直角坐标系、一次函数、向量与勾股定理。

核心概念

概念与定义

  • 圆：平面内到定点距离等于定长的点的集合
  • 圆的两种方程：标准方程、一般方程
  • 点与圆的位置关系（外 / 上 / 内）
  • 直线与圆的位置关系（相离 / 相切 / 相交）
  • 圆与圆的五种位置关系（外离 / 外切 / 相交 / 内切 / 内含）
  • 欧拉线：外心、重心、垂心三点共线
  • 切线、切点、切点弦、切线长、公共弦
  • 极点与极线（统一替换定理的统一对象）

老师讲解

方法与解题路线

解析几何先判断对象与特殊位置，再选方程形式；斜率不存在、直线重合和相切条件都要单独检查。

  • 判断位置关系：几何法（比较 d 与 r）为主，代数法（联立看 Δ）为辅
  • 配方：将一般方程化为标准方程，读取圆心与半径
  • 过三点求圆：优先设一般方程（避免二次项）
  • 特殊位置设圆方程：原点 / 过原点 / x轴 / y轴 / 与轴相切
  • 直径两端点式：利用直径所对圆周角为直角
  • 含参直线过定点：消参求定点，再讨论定点与圆的位置关系
  • 公共弦：两圆方程直接相减
  • 统一替换定理：用替换规则统一切线与切点弦

数学公式

公式与适用条件

(x−a)2+(y−b)2=r2,∣AB∣=2r2−d2.\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2,\qquad |AB|=2\sqrt{r^2-d^2}.

  • 标准方程：(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
  • 一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
  • 判据：D2+E2−4FD^2+E^2-4F
    • D2+E2−4F>0⟺D^2+E^2-4F>0\Longleftrightarrow 圆
    • D2+E2−4F=0⟺D^2+E^2-4F=0\Longleftrightarrow 点
    • D2+E2−4F<0⟺D^2+E^2-4F<0\Longleftrightarrow 无图形
  • 圆心半径（一般式）：圆心 (−D2,−E2)\left(-\dfrac D2,-\dfrac E2\right)，r=D2+E2−4F2r=\dfrac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}2
  • 点到直线距离：d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d=\dfrac{\lvert Ax_0+By_0+C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}
  • 弦长：∣AB∣=2r2−d2\lvert AB\rvert=2\sqrt{r^2-d^2}
  • 过圆上点切线（圆心原点）：x0x+y0y=r2x_0x+y_0y=r^2
  • 过圆上点切线（圆心 (a,b)(a,b)）：(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2
  • 切线长：L=d2−r2L=\sqrt{d^2-r^2}（dd 为点到圆心距离）
  • 圆与圆的位置：比较 dd 与 R+rR+r、∣R−r∣\lvert R-r\rvert
  • 直径式：(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0
  • 统一替换规则：x2→x0xx^2\to x_0x，y2→y0yy^2\to y_0y，x→x0+x2x\to\dfrac{x_0+x}{2}，y→y0+y2y\to\dfrac{y_0+y}{2}

典型例题

课堂例题结论

  • 第14题（欧拉线）：A(2,0)，B(0,4)；外心 P(−1,1)、重心在 x − y + 2 = 0 上，联立求 C(M,N)
  • 第15题（对称 / 将军饮马）：A(−2,0) 关于 y = x + 1 对称得 A′(−1,−1)，连 B(0,3)
  • 第13页例题：圆心在 x 正半轴且与 y 轴、直线 x + √3 y + 2 = 0 相切 → (x − 2)² + y² = 4；弦长 2√3 → M = 0
  • 第19题：一般方程判据，选 C
  • 第20/21题：直线 ax + by = 1 与 x² + y² = 1 的公共点由 d = 1/√(a²+b²) 与 1 比较
    • √(a²+b²) > 1 ⟺ 相交；= 1 ⟺ 相切；< 1 ⟺ 相离
  • 第24题：含参直线过定点 (1,t)，恒有公共点 ⟺ t ∈ [−3, 3]
  • 公共弦示例：x² + y² = 9 与 (x − 2)² + (y − 2)² = 6 相减得 x + y = 11/4
  • 第26题：切点弦，套统一替换公式求 AB 方程

常见错误

易错边界

不要默认每条直线都有斜率，也不要在没有排除重合时直接用斜率相等判断平行。

方法总结

本讲速查表

学习时先明确对象、条件和范围，再从下表选择公式；做完后回到原题检查特殊情形与答案格式。

结论 / 公式 说明
(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 圆的标准方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 圆的一般方程
D2+E2−4F>0  /  =0  /  <0D^2+E^2-4F>0\;/\;=0\;/\;<0 圆 / 点 / 无图形
圆心 (−D2,−E2)\left(-\dfrac D2,-\dfrac E2\right)，r=D2+E2−4F2r=\dfrac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}2 由一般式读圆心与半径
d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d=\dfrac{\lvert Ax_0+By_0+C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}} 点到直线距离
d>r  /  d=r  /  d<rd>r\;/\;d=r\;/\;d<r 相离 / 相切 / 相交（几何法）
Δ>0  /  Δ=0  /  Δ<0\Delta>0\;/\;\Delta=0\;/\;\Delta<0 相交 / 相切 / 相离（代数法）
弦长=2r2−d2\text{弦长}=2\sqrt{r^2-d^2} 弦长公式
x0x+y0y=r2x_0x+y_0y=r^2 过圆上点切线（圆心在原点）
(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2 过圆上点切线（圆心 (a,b)(a,b)）
切线长=d2−r2\text{切线长}=\sqrt{d^2-r^2} dd 为点到圆心距离
d>R+r  /  d=R+r  /  ∣R−r∣<d<R+r  /  d=∣R−r∣  /  d<∣R−r∣d>R+r\;/\;d=R+r\;/\;\lvert R-r\rvert<d<R+r\;/\;d=\lvert R-r\rvert\;/\;d<\lvert R-r\rvert 外离 / 外切 / 相交 / 内切 / 内含
(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0 直径两端点式
两圆方程相减 公共弦所在直线方程
x→x0+x2x\to\dfrac{x_0+x}{2}，x2→x0xx^2\to x_0x 等 统一替换（切线 / 切点弦 / 极线）
相离 dmin⁡=d−r, dmax⁡=d+rd_{\min}=d-r,\ d_{\max}=d+r；相切 dmin⁡=0d_{\min}=0；相交 dmin⁡=0, dmax⁡=d+rd_{\min}=0,\ d_{\max}=d+r 圆上点到直线的最值距离

自我检查

完成后请确认

  1. 我能在圆的标准方程和一般方程之间正确转换。
  2. 我能用距离关系判断点、直线、圆与圆的位置关系。
  3. 我能由圆心到弦的距离求弦长，并写出切线条件。
  4. 我能由两圆方程求公共弦，并解释极线的三种情形。