第2讲 大纲 · 圆

【概念】

• 圆：平面内到定点距离等于定长的点的集合
• 圆的两种方程：标准方程、一般方程
• 点与圆的位置关系（外 / 上 / 内）
• 直线与圆的位置关系（相离 / 相切 / 相交）
• 圆与圆的五种位置关系（外离 / 外切 / 相交 / 内切 / 内含）
• 欧拉线：外心、重心、垂心三点共线
• 切线、切点、切点弦、切线长、公共弦
• 极点与极线（统一替换定理的统一对象）

【方法】

• 判断位置关系：几何法（比较 d 与 r）为主，代数法（联立看 Δ）为辅
• 配方：将一般方程化为标准方程，读取圆心与半径
• 过三点求圆：优先设一般方程（避免二次项）
• 特殊位置设圆方程：原点 / 过原点 / x轴 / y轴 / 与轴相切
• 直径两端点式：利用直径所对圆周角为直角
• 含参直线过定点：消参求定点，再讨论定点与圆的位置关系
• 公共弦：两圆方程直接相减
• 统一替换定理：用替换规则统一切线与切点弦

【公式】

• 标准方程：(x − a)² + (y − b)² = r²
• 一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0
• 判据：D² + E² − 4F

  • 0 ⟺ 圆

  • = 0 ⟺ 点
  • < 0 ⟺ 无图形
• 圆心半径（一般式）：圆心 (−D/2, −E/2)，r = √(D² + E² − 4F)/2
• 点到直线距离：d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
• 弦长：|AB| = 2√(r² − d²)
• 过圆上点切线（圆心原点）：x₀x + y₀y = r²
• 过圆上点切线（圆心 (a,b)）：(x₀ − a)(x − a) + (y₀ − b)(y − b) = r²
• 切线长：L = √(d² − r²)（d 为点到圆心距离）
• 圆与圆的位置：比较 d 与 R+r、|R−r|
• 直径式：(x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) = 0
• 统一替换规则：x² → x₀x，y² → y₀y，x → (x₀ + x)/2，y → (y₀ + y)/2

【例题结论】

• 第14题（欧拉线）：A(2,0)，B(0,4)；外心 P(−1,1)、重心在 x − y + 2 = 0 上，联立求 C(M,N)
• 第15题（对称 / 将军饮马）：A(−2,0) 关于 y = x + 1 对称得 A′(−1,−1)，连 B(0,3)
• 第13页例题：圆心在 x 正半轴且与 y 轴、直线 x + √3 y + 2 = 0 相切 → (x − 2)² + y² = 4；弦长 2√3 → M = 0
• 第19题：一般方程判据，选 C
• 第20/21题：直线 ax + by = 1 与 x² + y² = 1 的公共点由 d = 1/√(a²+b²) 与 1 比较
  • √(a²+b²) > 1 ⟺ 相交；= 1 ⟺ 相切；< 1 ⟺ 相离
• 第24题：含参直线过定点 (1,t)，恒有公共点 ⟺ t ∈ [−3, 3]
• 公共弦示例：x² + y² = 9 与 (x − 2)² + (y − 2)² = 6 相减得 x + y = 11/4
• 第26题：切点弦，套统一替换公式求 AB 方程

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