第2讲 · 圆（圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系）

【格式约定】本讲凡涉及“取值范围”，一律以区间（如 [-3,3]）或集合（如 { M | … }）形式给出，不单独写成 x>a 之类。

一、上节课遗留问题回顾

1. 第14题：三角形欧拉线

已知 A(2,0)，B(0,4)，设 C(M,N)。三角形外心、重心、垂心三点共线（欧拉线）。

• AB 中点为 (1,2)；AB 中垂线方程为 x − y + 2 = 0。
• 外心 P 在中垂线上，求得 P(−1,1)，外接圆半径 R = PA = PB = √10。
• 重心 G 坐标为 ( (M+2)/3 , (N+4)/3 )。
• 由于重心、外心同在该直线上，联立：
  • (M+1)² + (N−1)² = 10 （C 到外心距离等于半径）
  • (M+2)/3 − (N+4)/3 + 2 = 0，即 M − N = −4
• 联立解得 M、N 即可确定 C 点。

2. 第15题：对称（将军饮马模型）

求直线 y = x + 1 一侧的点 A(−2,0) 关于该直线的对称点，再连接另一点 B(0,3)。

• 因直线斜率为 1，易得 A 关于直线 y = x + 1 的对称点为 A′(−1,−1)。
• 则 |A′B| 即为最短路径长度（高中对称题 98% 为斜率 ±1，可直接看图得出，不必做垂线对称）。

二、圆的标准方程

平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。设圆心 (a,b)，半径 r：

(x − a)² + (y − b)² = r²

三、点与圆的位置关系

设点 P 到圆心距离 d：

• d > r ⟺ 点在圆外
• d = r ⟺ 点在圆上
• d < r ⟺ 点在圆内

四、圆的一般方程

将标准方程展开、移项，得一般式：

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

配方得 (x + D/2)² + (y + E/2)² = (D² + E² − 4F)/4，故：

• D² + E² − 4F > 0 ⟺ 表示圆，圆心 (−D/2, −E/2)，半径 r = √(D²+E²−4F)/2
• D² + E² − 4F = 0 ⟺ 表示一个点 (−D/2, −E/2)
• D² + E² − 4F < 0 ⟺ 不表示任何图形

示例：x² + y² − 6x − 8y + 1 = 0 配方为 (x−3)² + (y−4)² = 24，半径 2√6。 若改为 “…+100 = 0” 则右边为 −75 < 0，不表示图形；若改为 “…+25 = 0” 则右边为 0，表示点 (3,4)。

为何要用一般方程（过三点求圆）：设过点 (1,0)、(0,3)、(2,7) 的圆。

• 用一般式代入三点，得三元一次方程组：
  • 1 + D + F = 0
  • 9 + 3E + F = 0
  • 53 + 2D + 7E + F = 0
• 这比用标准方程 (x−a)²+(y−b)² = r² 代入（会出现 a、b 的二次项，难解）方便得多。也优于几何法（求两条中垂线再求交点与距离，步骤繁琐）。

五、常见圆的方程的设法

• 圆心在原点：x² + y² = r²
• 过原点：(x−a)² + (y−b)² = a² + b²
• 圆心在 x 轴上：(x−a)² + y² = r²
• 圆心在 y 轴上：x² + (y−b)² = r²
• 与 x 轴相切：(x−a)² + (y−b)² = b²
• 与 y 轴相切：(x−a)² + (y−b)² = a²

直径两端点式：若直径两端点为 P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)，则圆上任一点 M 满足 ∠PMQ = 90°，即 向量PM · 向量QM = 0，故：

(x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) = 0

六、直线与圆的位置关系

设圆心到直线距离 d，半径 r。

几何法（推荐）：

• d > r ⟺ 相离
• d = r ⟺ 相切
• d < r ⟺ 相交（两个公共点）

代数法：联立直线与圆方程，看判别式 Δ：

• Δ > 0 ⟺ 相交；Δ = 0 ⟺ 相切；Δ < 0 ⟺ 相离 （直线与圆时用几何法更简便；但学圆锥曲线后代数法绕不开。）

弦长公式

半径 r、弦心距 d、半弦长构成直角三角形：

|AB| = 2√(r² − d²)

例题：求圆的方程（第13页）

第一问：圆心在 x 轴正半轴，与 y 轴相切，且与直线 x + √3 y + 2 = 0 相切。

• 设圆为 (x−a)² + y² = a²（圆心 (a,0)，半径 a，a > 0）。
• 圆心到直线距离：d = |a + 2| / √(1² + (√3)²) = |a + 2| / 2。
• 由相切 d = a 且 a > 0，得 |a + 2| / 2 = a → a = 2。
• 故圆为 (x − 2)² + y² = 4。

第二问：直线 x + My − 1 = 0 与该圆交于 A、B，|AB| = 2√3。

• 半径 r = 2，半弦长 = √3，故 d = √(r² − (√3)²) = √(4 − 3) = 1。
• d = |2 + M·0 − 1| / √(1 + M²) = 1 / √(1 + M²) = 1 → M = 0。

判据类小题

• 第19题：用一般方程判据 D² + E² − 4F 是否表示圆，选 C。
• 第20/21题：直线 ax + by = 1 与圆 x² + y² = 1 的公共点情况，由圆心（原点）到直线距离 d = 1/√(a²+b²) 与半径 1 比较：
  • √(a²+b²) > 1 ⟺ d < 1 ⟺ 相交（两个公共点）
  • √(a²+b²) = 1 ⟺ d = 1 ⟺ 相切
  • √(a²+b²) < 1 ⟺ d > 1 ⟺ 相离

第21题 M 的取值范围：按课堂口述，M 的取值范围为四段并集，具体界限 ASR 失真严重，标记为存疑待核（见注意点）。

含参直线过定点（第24题）

直线 y = k(x − 1) + t 对任意 k 恒过定点 (1, t)。若它与圆 x² + y² = 10 恒有公共点，则定点须在圆内或圆上：

1² + t² ≤ 10 ⟺ t ∈ [−3, 3]

七、圆的切线方程

• 过圆上一点 P(x₀,y₀) 对圆 x² + y² = r² 的切线：

  x₀x + y₀y = r² （法则：x² → x₀x，y² → y₀y）

• 圆心在 (a,b) 时：(x₀ − a)(x − a) + (y₀ − b)(y − b) = r²（法则：把其中一项 (x − a) 换成 (x₀ − a)）。
• 例：圆 x² + y² = 25 上点 (3,4) 的切线为 3x + 4y = 25。
• 过圆外一点 P(x₀,y₀) 的两条切线：设 y − y₀ = k(x − x₀)，由圆心到直线距离 = 半径求 k；其切点弦（两切点连线）方程与切线同形：x₀x + y₀y = r²。
• 此三结论本质是“极点与极线”的特例，对椭圆、双曲线、抛物线也成立。

八、圆上点到直线的最大/最小距离

设圆心到直线距离 d，半径 r：

• 相离：d_min = d − r，d_max = d + r
• 相切：d_min = 0
• 相交：d_min = 0，d_max = d + r

九、圆与圆的位置关系与公共弦

圆心距 d，半径 R、r（设 R ≥ r）：

• d > R + r ⟺ 外离
• d = R + r ⟺ 外切
• |R − r| < d < R + r ⟺ 相交（有公共弦）
• d = |R − r| ⟺ 内切
• d < |R − r| ⟺ 内含

公共弦方程：两圆方程相减即得公共弦所在直线方程。 证明：设两圆交点为 A、B，则 A、B 同时满足两圆方程；两式相减得一次方程，且 A、B 代入均成立，故该一次方程即过 A、B 的直线（公共弦）。 示例：圆₁ x² + y² = 9（圆心 (0,0)，r = 3），圆₂ (x − 2)² + (y − 2)² = 6（圆心 (2,2)，半径 √6）。相减得公共弦 x + y = 11/4。

十、统一替换定理（极线与切线统一公式）

对任意圆 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，作如下替换：

• x² → x₀x，y² → y₀y
• x → (x₀ + x)/2，y → (y₀ + y)/2

得到：x₀x + y₀y + D·(x₀ + x)/2 + E·(y₀ + y)/2 + F = 0。

• 若 (x₀,y₀) 在圆上 → 该式为切线方程；
• 若 (x₀,y₀) 在圆外 → 该式为切点弦方程；
• 若 (x₀,y₀) 在圆内 → 该式为过该点的弦的两端点连线的极线。

此规则统一了前述切线三结论，且对椭圆、双曲线、抛物线同样适用（圆锥曲线通用）。 第26题：过 P 作圆两条切线，切点 A、B，求直线 AB 方程，直接套用上述统一公式即可。

本讲修正/注意点

1. 术语/符号还原：ASR 将“X方”“Y方”转成中文，已统一还原为 x²、y²、上下标与根号；本讲圆章节未大量出现“属于/包含/补集”等集合符号，故“普及→补集”“∅ ⊆ ⊊ ∪ ∩ C_U A”等替换规则本讲未触发。
2. 斜率角规则：k = tan α 等斜率角表达本讲口述未涉及，规则未触发。
3. 第14题：由“一个20在这里，一个04在这里”还原为点 A(2,0)、B(0,4)；由“X减Y加二”还原为中垂线 x − y + 2 = 0；由“负一到一”还原为外心 P(−1,1)。
4. 第一问例题的直线 L：由“a加二的绝对值除以根号下一的平方加根号三括号的平方”还原为直线 x + √3 y + 2 = 0，分母 √(1² + (√3)²) = 2。
5. 第20/21题：转录中“点在圆内/外”的口述前后矛盾、逻辑混乱，已按标准几何法（圆心到直线距离 d 与半径 r 比较）重新整理。
6. 第21题 M 的取值范围：ASR 严重失真（“负无穷到负根23 并上 负根2到零 并上 零到二分之二到 并上 23到正无穷”），具体界限存疑待核。
7. 直径式：由“PA点乘TB等于零”还原为向量 PM · QM = 0（直径所对圆周角为直角），方程 (x − x₁)(x − x₂) + (y − y₁)(y − y₂) = 0。
8. 公共弦示例：两圆方程由口述“X减几的平方减二的平方”等混乱表述还原为 (x − 2)² + (y − 2)² = 6，圆心 (2,2)、半径 √6；相减结果 x + y = 11/4。
9. 统一替换定理：由“x 替换成二分之 x0加 X”还原为 x → (x₀ + x)/2 等四条替换规则。
10. 第24题定点：由“一逗 T”还原为定点 (1,t)，由“负三到三”还原为 t ∈ [−3,3]（区间形式）。
11. 删减内容：课前点名签到、课间收手机与充电宝起火等闲聊，以及多处“OK/然后/这个/的话/嗯/那个”等口头禅、破碎句、ASR 乱码英文单词均已删除。
12. 格式约定：本讲所有取值范围（如 t ∈ [−3,3]、D²+E²−4F 的符号区间）均以区间或集合形式给出。