知知数 · 高中数学
第 14 讲 · 第三章 数列

第14讲：等比数列的前 n 项和

掌握等比求和、分组求和和等差乘等比的错位相减法。

对应讲义第 101–118 页按课堂重点重排
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学习目标

  • 能区分 q=1 与 q≠1，正确推导和使用等比数列前 n 项和公式。
  • 能处理分段和、分段积以及奇数项和与偶数项和之间的关系。
  • 能用错位相减法求等差乘等比型数列的和，并用 S₀=0 检查结果。

前置知识

需要熟悉函数、正整数、代数变形和基本不等式。

核心概念

概念与定义

  • 等比数列前 n 项和 SnS_n
    • 定义：首项和 Sn=a1+a1q+…+a1qn−1S_n = a_1 + a_1 q + … + a_1 q^{n−1}
    • 取值分支：q=1q = 1 与 q≠1q ≠ 1 两种情形
  • 分段和 / 分段积
    • Sn,S2n−Sn,S3n−S2nS_n, S_{2n}−S_n, S_{3n}−S_{2n} 成等比（公比 qnq^n，须 q≠−1q ≠ −1）
    • Tn,T2n/Tn,T3n/T2nT_n, T_{2n}/T_n, T_{3n}/T_{2n} 成等比（TnT_n 为前 n 项积，公比 qn2q^{n²}）
  • 奇偶项关系
    • 项数 2n2n 时：偶数项和 =q×= q × 奇数项和
  • 苹果公式参数
    • 小苹果 A=a⋅p/(p−1)A = a·p/(p−1)、大苹果 B=(a1−A⋅p)/(p−1)B = (a_1 − A·p)/(p−1)
  • 归零原则
    • 一切前 n 项和公式满足 S0=0S_0 = 0

老师讲解

方法与解题路线

数列题先写清下标范围。由前 n 项和求通项必须单独验证 n=1，等比求和必须先判断 q=1。

  • 乘公比错位相减法（核心）
    • 写出 SnS_n 与 q⋅Snq·S_n，错位对齐后相减，中间项抵消得 (1−q)Sn(1−q)S_n
  • 连比性质法
    • 利用 ak+1/ak=qa_{k+1}/a_k = q 构造分式方程解 SnS_n
  • 递归构造法
    • Sn=a1+q⋅Sn−1=a1+q(Sn−an)S_n = a_1 + q·S_{n−1} = a_1 + q(S_n − a_n) 导出
  • 分段和性质应用（排除增根）
    • 用等比中项列方程后，须结合"各项为正"等条件剔除使某段和为负的增根
  • 奇偶项拆分
    • 总项数偶（2n2n）时直接套偶数项和 =q×= q× 奇数项和
  • an+1=2Sna_{n+1}=2S_n 型分段法
    • 两式相减得 n≥2n≥2 时的等比关系，再单独求 a2=2a1a_2=2a_1，通项为分段函数
  • 苹果公式套用
    • 识别 an=(an+b)pna_n=(an+b)p^n → 求 A,BA, B → 代 Sn=(An+B)pn−BS_n=(An+B)p^n − B
  • 三类求和方法归集
    • 对称求和 / 错位相减 / 列项相消
  • 归零原则验算
    • 代 n=0n=0 或取前 1~2 项（S1S_1）验证求和公式
  • 列项相消（待定系数，了解）
    • 将 ana_n 写成 bn+1−bnb_{n+1}−b_n，解 μ,νμ, ν 即对应 A,BA, B

数学公式

公式与适用条件

Sn=a1(1−qn)1−q(q≠1).\displaystyle S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\quad(q\ne1).

  • 前 n 项和（q=1q=1）：Sn=n⋅a1S_n = n·a_1
  • 前 n 项和（q≠1q≠1）：Sn=a1(1−qn)/(1−q)=a1(qn−1)/(q−1)S_n = a_1(1−q^n)/(1−q) = a_1(q^n−1)/(q−1)
  • 性质1（分段和）：Sn,S2n−Sn,S3n−S2nS_n, S_{2n}−S_n, S_{3n}−S_{2n} 成等比，公比 qnq^n（q≠−1q≠−1）
  • 性质2（分段积）：Tn,T2n/Tn,T3n/T2nT_n, T_{2n}/T_n, T_{3n}/T_{2n} 成等比，公比 qn2q^{n²}
  • 性质3（奇偶项）：(a2+a4+…+a2n)=q(a1+a3+…+a2n−1)(a_2+a_4+…+a_{2n}) = q(a_1+a_3+…+a_{2n−1})
  • 苹果公式和：Sn=(A⋅n+B)⋅pn−BS_n = (A·n + B)·p^n − B
  • 小苹果：A=a⋅p/(p−1)A = a·p/(p−1)
  • 大苹果：B=(a1−A⋅p)/(p−1)B = (a_1 − A·p)/(p−1)
  • 等差前 n 项和：Sn=An2+BnS_n = An² + Bn（满足 S0=0S_0=0）

典型例题

课堂例题结论

  • 例题1（基本量）：由 s3=6,a3=8s_3=6, a_3=8 得 q=−2q = −2，数列 2,−4,8,−16,322,−4,8,−16,32，S5=22S_5 = 22
  • 例题2（分段和性质）：各项为正、s10=10,s30=30s_10=10, s_30=30 ⇒ s20=20s_20 = 20（舍 −10−10 增根）；等比中项仅是必要条件
  • 例题3（公比）：s4−s3=a4s_4−s_3=a_4，结合条件得公比 =1/2= 1/2，选 A
  • 例题4（递减判断）：a2021⋅a2022>1a_{2021}·a_{2022}>1 且递减 ⇒ 公比 <1<1，选 A（不正确项）
  • 例题5（分段通项）：an+1=2Sna_{n+1}=2S_n ⇒ n≥2n≥2 时 an+1=3ana_{n+1}=3a_n，a2=2a1a_2=2a_1，通项为分段函数，选 A
  • 演示（错位相减）：an=n⋅2na_n = n·2^n ⇒ Sn=(n−1)⋅2n+1+2S_n = (n−1)·2^{n+1} + 2
  • 苹果公式示例：an=(5n+2)⋅4na_n = (5n+2)·4^n ⇒ A=20/3,B=4/9A=20/3, B=4/9，Sn=((20/3)n+4/9)⋅4n−4/9S_n = ((20/3)n + 4/9)·4^n − 4/9
  • 易错（分段）：an+1=2Sna_{n+1}=2S_n 中 a1a_1 不满足 n≥2n≥2 的等比关系，必须分段写通项

常见错误

易错边界

不要把适用于 n≥2 的递推关系直接代入 n=1，也不要忘记等比数列不能含零项。

方法总结

本讲速查表

学习时先明确对象、条件和范围，再从下表选择公式；做完后回到原题检查特殊情形与答案格式。

名称 公式 / 结论
前 n 项和（q=1q=1） Sn=n⋅a1S_n = n·a_1
前 n 项和（q≠1q≠1） Sn=a1(1−qn)/(1−q)S_n = a_1(1−q^n)/(1−q)
错位相减法 写 SnS_n 与 qSnqS_n，错位相减消中间项
性质1（分段和） Sn,S2n−Sn,S3n−S2nS_n, S_{2n}−S_n, S_{3n}−S_{2n} 成等比，公比 qnq^n（q≠−1q≠−1）
性质2（分段积） Tn,T2n/Tn,T3n/T2nT_n, T_{2n}/T_n, T_{3n}/T_{2n} 成等比，公比 qn2q^{n²}
性质3（奇偶项） 偶项和 =q×= q × 奇项和（项数 2n2n）
苹果公式 Sn=(An+B)pn−BS_n = (A n + B) p^n − B
小苹果 AA A=a⋅p/(p−1)A = a·p/(p−1)
大苹果 BB B=(a1−A⋅p)/(p−1)B = (a_1 − A·p)/(p−1)
an=n⋅2na_n=n·2^n 的和 Sn=(n−1)⋅2n+1+2S_n = (n−1)·2^{n+1} + 2
an=(5n+2)⋅4na_n=(5n+2)·4^n 的和 Sn=((20/3)n+4/9)⋅4n−4/9S_n = ((20/3)n + 4/9)·4^n − 4/9
归零原则 一切 SnS_n 满足 S0=0S_0 = 0，可用于验算
三类求和 对称求和 / 错位相减 / 列项相消
分段增根 等比中项列方程后须结合"各项为正"排除增根

自我检查

完成后请确认

  1. 我能分别写出 q=1 与 q≠1 时的前 n 项和。
  2. 我能判断分段和、分段积形成的新等比数列。
  3. 我能建立奇数项和、偶数项和与公比的关系。
  4. 我能完成一次错位相减，并用 S₀=0 检查答案。