知知数 · 高中数学
第 13 讲 · 第三章 数列

第13讲：等比数列初步

由等差复习过渡到等比数列定义、通项、性质与判定。

对应讲义第 90–109 页按课堂重点重排
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学习目标

  • 能用定义、通项公式和等比中项判定等比数列，并明确非零项条件。
  • 能根据首项符号和公比 q 的范围判断等比数列的单调性。
  • 能利用对数桥在等差与等比之间转化，并掌握 {Sₙ/n} 等相关性质。

前置知识

需要熟悉函数、正整数、代数变形和基本不等式。

核心概念

概念与定义

  • 等差数列前 nn 项和：Sn=na1+n(n−1)2dS_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}2d
  • {Snn}\left\{\dfrac{S_n}{n}\right\} 仍为等差数列，公差 d2\dfrac d2
  • 等比中项：G2=abG^2=ab（a,ba,b 同号时存在，两个 ±ab\pm\sqrt{ab}）
  • 等比数列单调性：须 q>0q>0 才单调（分 a1a_1 正负、qq 与 11 的大小共四情形）
  • 等差与等比互化：{an}\{a_n\} 等比 ⟺\Longleftrightarrow {log⁡an}\{\log a_n\} 等差（对数桥）

老师讲解

方法与解题路线

数列题先写清下标范围。由前 n 项和求通项必须单独验证 n=1，等比求和必须先判断 q=1。

  • 比值法：两等差数列 akbk=S2k−1T2k−1\dfrac{a_k}{b_k}=\dfrac{S_{2k-1}}{T_{2k-1}}（如 a5b5=S9T9\dfrac{a_5}{b_5}=\dfrac{S_9}{T_9}）
  • 两两分组法：对 an+1+an=f(n)a_{n+1}+a_n=f(n) 令 bk=a2k−1+a2kb_k=a_{2k-1}+a_{2k}
  • 递推相减法：两式相减得 an+2−an=常数a_{n+2}-a_n=\text{常数}，奇偶项各自成等差
  • 图像/抛物线法：由 SnS_n 的二次函数图像判断最值与符号
  • 奇偶项和差法：前 2m2m 项中 S偶−S奇=m⋅dS_{\text{偶}}-S_{\text{奇}}=m\cdot d
  • 对数桥法：等比↔等差取对数互化

数学公式

公式与适用条件

an=a1q n−1,an2=an−1an+1.\displaystyle a_n=a_1q^{\,n-1},\qquad a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}.

  • Sn=na1+n(n−1)2dS_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}2d
  • Snn=a1+n−12d\dfrac{S_n}{n}=a_1+\dfrac{n-1}{2}d
  • S2k−1=(2k−1)akS_{2k-1}=(2k-1)a_k（等差中项求和）
  • an+1an=q,an=a1q n−1\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q,\quad a_n=a_1q^{\,n-1}
  • 等比中项：G2=abG^2=ab
  • 下标和性质：m+n=p+q ⇒ aman=apaqm+n=p+q\ \Rightarrow\ a_ma_n=a_pa_q；a1an=a2an−1=⋯a_1a_n=a_2a_{n-1}=\cdots
  • 等比数列组合仍等比：{λan},{1an},{an2},{anbn},{anbn}\{\lambda a_n\},\left\{\dfrac1{a_n}\right\},\{a_n^2\},\{a_nb_n\},\left\{\dfrac{a_n}{b_n}\right\}
  • S偶−S奇=m⋅dS_{\text{偶}}-S_{\text{奇}}=m\cdot d（前 2m2m 项）
  • 单调性判定：q>0q>0 且分 a1a_1 正负、q≷1q\gtrless1 四情形

典型例题

课堂例题结论

  • 例3-3（P96）：{Sn/n}\{S_n/n\} 等差、公差 d/2d/2；选 A、C
  • 两等差比：a5b5=S9T9\dfrac{a_5}{b_5}=\dfrac{S_9}{T_9}；SnTn=2n+1n+1⇒anbn=4n−12n\dfrac{S_n}{T_n}=\dfrac{2n+1}{n+1}\Rightarrow\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{4n-1}{2n}，选 A、B
  • 最值：a3+a9=12⇒a_3+a_9=12\Rightarrow 对称轴 n=6⇒S6n=6\Rightarrow S_6 最大
  • 变式：a5=−a14⇒a9.5=0⇒S9a_5=-a_{14}\Rightarrow a_{9.5}=0\Rightarrow S_9 最大，选 B
  • 递推 an+1+an=−3na_{n+1}+a_n=-3n：奇偶各自等差，b1=−3,db=−6b_1=-3,d_b=-6，前 1616 项和 =−192=-192
  • 图像法：S10<S9<S11⇒S_{10}<S_9<S_{11}\Rightarrow 开口向上、a1<0a_1<0、a20>0a_{20}>0、S20>0S_{20}>0、S21>0S_{21}>0
  • 图像法：a2024>0, a2024+a2025<0⇒a_{2024}>0,\ a_{2024}+a_{2025}<0\Rightarrow 使 SN>0S_N>0 的最大 N=4047N=4047
  • 等比性质：a3a13=20, a6=4⇒a8=20, a10=5a_3a_{13}=20,\ a_6=4\Rightarrow a_8=\sqrt{20},\ a_{10}=5
  • 含参取值：a≠0a\neq0 且 a≠1a\neq1，即 {a∣a≠0 且 a≠1}\{a\mid a\neq0\ \text{且}\ a\neq1\}（或 (−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)），选 D
  • 三数成等比（第3项 =4=4、和 =19=19）：得 (9,6,4)(9,6,4) 与 (25,−10,4)(25,-10,4)
  • 综合：a2+a4=10, a3+a5=20⇒q=2, ∑k=110log⁡2ak=45a_2+a_4=10,\ a_3+a_5=20\Rightarrow q=2,\ \sum_{k=1}^{10}\log_2 a_k=45
  • 综合：log⁡2(a2a11)=4⇒a7=2, a6=1\log_2(a_2a_{11})=4\Rightarrow a_7=2,\ a_6=1
  • 充要条件（单调性）：选 D（单增/单减须结合 a1a_1 与 qq 判断）

常见错误

易错边界

不要把适用于 n≥2 的递推关系直接代入 n=1，也不要忘记等比数列不能含零项。

方法总结

本讲速查表

学习时先明确对象、条件和范围，再从下表选择公式；做完后回到原题检查特殊情形与答案格式。

项目 公式 / 结论
等差 SnS_n Sn=na1+n(n−1)2dS_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}2d
{Sn/n}\{S_n/n\} 等差，公差 d/2d/2
等差中项求和 S2k−1=(2k−1)akS_{2k-1}=(2k-1)a_k
两等差比 akbk=S2k−1T2k−1\dfrac{a_k}{b_k}=\dfrac{S_{2k-1}}{T_{2k-1}}
奇偶和差 S偶−S奇=m⋅dS_{\text{偶}}-S_{\text{奇}}=m\cdot d（前 2m2m 项）
等比定义 an+1an=q (q≠0)\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q\ (q\neq0)
等比通项 an=a1q n−1a_n=a_1q^{\,n-1}
等比中项 G2=abG^2=ab（同号，两个 ±ab\pm\sqrt{ab}）
下标和性质 m+n=p+q⇒aman=apaqm+n=p+q\Rightarrow a_ma_n=a_pa_q
互化 {an}\{a_n\} 等比 ⟺\Longleftrightarrow {log⁡an}\{\log a_n\} 等差
等比单调（四情形） a1>0,q>1a_1>0,q>1 增；a1>0,0<q<1a_1>0,0<q<1 减；a1<0,q>1a_1<0,q>1 减；a1<0,0<q<1a_1<0,0<q<1 增
取值范围写法 集合/区间，如 {a∣a≠0 且 a≠1}\{a\mid a\neq0\ \text{且}\ a\neq1\}

自我检查

完成后请确认

  1. 我能写出等比数列的非零项条件、通项和等比中项。
  2. 我能根据 a₁ 和 q 判断等比数列的单调性。
  3. 我能用相邻项关系或中项性质判定等比数列。
  4. 我能利用对数把正项等比数列转化为等差数列。