第13讲 大纲 · 等差数列复习与等比数列初步

【概念】

• 等差数列前 $n$ 项和：$S_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}2d$
• $\left\{\dfrac{S_n}{n}\right\}$ 仍为等差数列，公差 $\dfrac d2$
• 等比中项：$G^2=ab$（$a,b$ 同号时存在，两个 $\pm\sqrt{ab}$）
• 等比数列单调性：须 $q>0$ 才单调（分 $a_1$ 正负、$q$ 与 $1$ 的大小共四情形）
• 等差与等比互化：$\{a_n\}$ 等比 $\Longleftrightarrow$ $\{\log a_n\}$ 等差（对数桥）

【方法】

• 比值法：两等差数列 $\dfrac{a_k}{b_k}=\dfrac{S_{2k-1}}{T_{2k-1}}$（如 $\dfrac{a_5}{b_5}=\dfrac{S_9}{T_9}$）
• 两两分组法：对 $a_{n+1}+a_n=f(n)$ 令 $b_k=a_{2k-1}+a_{2k}$
• 递推相减法：两式相减得 $a_{n+2}-a_n=\text{常数}$，奇偶项各自成等差
• 图像/抛物线法：由 $S_n$ 的二次函数图像判断最值与符号
• 奇偶项和差法：前 $2m$ 项中 $S_{\text{偶}}-S_{\text{奇}}=m\cdot d$
• 对数桥法：等比↔等差取对数互化

【公式】

• $S_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}2d$
• $\dfrac{S_n}{n}=a_1+\dfrac{n-1}{2}d$
• $S_{2k-1}=(2k-1)a_k$（等差中项求和）
• $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q,\quad a_n=a_1q^{\,n-1}$
• 等比中项：$G^2=ab$
• 下标和性质：$m+n=p+q\ \Rightarrow\ a_ma_n=a_pa_q$；$a_1a_n=a_2a_{n-1}=\cdots$
• 等比数列组合仍等比：$\{\lambda a_n\},\left\{\dfrac1{a_n}\right\},\{a_n^2\},\{a_nb_n\},\left\{\dfrac{a_n}{b_n}\right\}$
• $S_{\text{偶}}-S_{\text{奇}}=m\cdot d$（前 $2m$ 项）
• 单调性判定：$q>0$ 且分 $a_1$ 正负、$q\gtrless1$ 四情形

【例题结论】

• 例3-3（P96）：$\{S_n/n\}$ 等差、公差 $d/2$；选 A、C
• 两等差比：$\dfrac{a_5}{b_5}=\dfrac{S_9}{T_9}$；$\dfrac{S_n}{T_n}=\dfrac{2n+1}{n+1}\Rightarrow\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{4n-1}{2n}$，选 A、B
• 最值：$a_3+a_9=12\Rightarrow$ 对称轴 $n=6\Rightarrow S_6$ 最大
• 变式：$a_5=-a_{14}\Rightarrow a_{9.5}=0\Rightarrow S_9$ 最大，选 B
• 递推 $a_{n+1}+a_n=-3n$：奇偶各自等差，$b_1=-3,d_b=-6$，前 $16$ 项和 $=-192$
• 图像法：$S_{10}<S_9<S_{11}\Rightarrow$ 开口向上、$a_1<0$、$a_{20}>0$、$S_{20}>0$、$S_{21}>0$
• 图像法：$a_{2024}>0,\ a_{2024}+a_{2025}<0\Rightarrow$ 使 $S_N>0$ 的最大 $N=4047$
• 等比性质：$a_3a_{13}=20,\ a_6=4\Rightarrow a_8=\sqrt{20},\ a_{10}=5$
• 含参取值：$a\neq0$ 且 $a\neq1$，即 $\{a\mid a\neq0\ \text{且}\ a\neq1\}$（或 $(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$），选 D
• 三数成等比（第3项 $=4$、和 $=19$）：得 $(9,6,4)$ 与 $(25,-10,4)$
• 综合：$a_2+a_4=10,\ a_3+a_5=20\Rightarrow q=2,\ \sum_{k=1}^{10}\log_2 a_k=45$
• 综合：$\log_2(a_2a_{11})=4\Rightarrow a_7=2,\ a_6=1$
• 充要条件（单调性）：选 D（单增/单减须结合 $a_1$ 与 $q$ 判断）

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