第13讲 · 等差数列复习与等比数列初步

本讲前半段对等差数列的"技巧型"综合题做收尾（前 $n$ 项和的最值、比值、递推、图像法），后半段正式进入等比数列：概念、通项、等比中项、性质、单调性，以及等差与等比的互化。

一、等差数列前 $n$ 项和的比值与最值

核心关系：若 $\{a_n\}$ 为等差数列，则 $\displaystyle S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d,\qquad \frac{S_n}{n}=a_1+\frac{n-1}{2}d.$ 可见 $\left\{\dfrac{S_n}{n}\right\}$ 仍是一个等差数列，其公差为 $\dfrac d2$。

例（P96 例3-3）：已知 $\{a_n\}$ 等差，利用上式判断 $\{S_n/n\}$ 的性质——它成等差且公差为 $d/2$。由此可反求原数列公差，答案选 A、C。（原音频"公差是二分之 N""AN 加 B 就是 23 的"为错转，已据公式修正。）

两个等差数列的和之比：设 $\{a_n\},\{b_n\}$ 均等差，由等差中项性质 $\displaystyle S_{2k-1}=(2k-1)a_k,\quad T_{2k-1}=(2k-1)b_k,$ 得 $\displaystyle \frac{a_k}{b_k}=\frac{S_{2k-1}}{T_{2k-1}}.$ 特别地，$\dfrac{a_5}{b_5}=\dfrac{S_9}{T_9}$（不是直接把 $5$ 代入和之比公式）。

例：若 $\dfrac{S_n}{T_n}=\dfrac{2n+1}{n+1}$，则 $\displaystyle \frac{a_n}{b_n}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}=\frac{2(2n-1)+1}{(2n-1)+1}=\frac{4n-1}{2n}.$

• 验证首项：$n=1$ 时 $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac32$；而由 $\dfrac{S_1}{T_1}=\dfrac34$ 直接代首项是错的，故凡声称"首项也等于 $3/4$"的选项（如 D）错误。
• 结论：答案选 A、B。

前 $n$ 项和的最值（$S_n$ 是 $n$ 的二次函数）：

• 若 $a_3+a_9=12$，则 $S_n$ 图像对称轴在 $n=\dfrac{3+9}{2}=6$，故 $S_6$ 最大，且 $S_6=72$（或 $70$，依题设数据）。
• 变式：已知 $a_5>0,\ a_{14}<0$，且 $a_5=-a_{14}$（互为相反数），则 $a_5+a_{14}=0$。由等差性质 $a_5+a_{14}=2a_{9.5}=0$，得 $a_{9.5}=0$。于是前 $9$ 项为正、自第 $10$ 项起为负，故 $S_9$ 最大。答案选 B。

奇偶项和之差：在前 $2m$ 项中，偶数下标项之和减奇数下标项之和等于 $\displaystyle S_{\text{偶}}-S_{\text{奇}}=m\cdot d.$ （因为 $(a_2-a_1)+(a_4-a_3)+\cdots+(a_{2m}-a_{2m-1})=m$ 个 $d$。）

二、递推型等差数列：$a_{n+1}+a_n=f(n)$

例：已知 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}+a_n=-3n$。

方法一（两两分组）：令 $b_k=a_{2k-1}+a_{2k}$，则 $\displaystyle b_{k+1}-b_k=(a_{2k+1}+a_{2k+2})-(a_{2k-1}+a_{2k})=-3(2k+1)-[-3(2k-1)]=-6.$ 故 $\{b_k\}$ 是等差数列，$b_1=a_1+a_2=-3(1)=-3$，公差 $-6$。前 $8$ 组和（对应原数列前 $16$ 项）为 $\displaystyle 8\times(-3)+\frac{8\times7}{2}\times(-6)=-24-168=-192.$

方法二（相减得奇偶各自成等差）：再写一式 $a_{n+2}+a_{n+1}=-3(n+1)$，与原式相减得 $\displaystyle a_{n+2}-a_n=-3.$ 即奇数项之间、偶数项之间分别构成公差为 $-3$ 的等差数列（两个数列交织）。由 $a_1+a_2=-3$ 且 $a_2=-4$ 得 $a_1=1$，于是分段通项： $\displaystyle a_{2k-1}=1+(k-1)(-3)=4-3k,\qquad a_{2k}=-4+(k-1)(-3)=-1-3k.$ （另法：可"补项"构造标准等差后再只取奇偶位置，便于观察，本质相同。）

三、仅由和的不等关系判断（图像/抛物线法）

例：$\{a_n\}$ 等差，且 $S_{10}<S_9<S_{11}$。判断下列结论。

• $a_{10}=S_{10}-S_9<0$；
• $a_{10}+a_{11}=S_{11}-S_9>0\ \Rightarrow\ a_{11}>-a_{10}>0$；
• 故公差 $d=a_{11}-a_{10}>0$，数列递增，$S_n$ 的抛物线开口向上。
• 因 $a_1<\cdots<a_{10}<0<a_{11}<\cdots$，有 $a_1<0,\ a_{20}>0$。
• $S_{20}=10(a_1+a_{20})=20a_{10.5}$，而 $a_{10.5}=\dfrac{a_{10}+a_{11}}2>0$，故 $S_{20}>0$；
• $S_{21}=21a_{11}>0$。

结论：开口向上、$a_1<0$、$a_{20}>0$、$S_{20}>0$、$S_{21}>0$。

例：$\{a_n\}$ 等差，且 $a_{2024}>0,\ a_{2024}+a_{2025}<0$。求使 $S_N>0$ 的最大 $N$。

• 由 $a_{2024}+a_{2025}<0$ 且 $a_{2024}>0$ 得 $a_{2025}<0$，故 $d<0$（数列递减，在 $2024$ 与 $2025$ 之间过零）；
• $a_{2024.5}=\dfrac{a_{2024}+a_{2025}}2<0$；
• $S_{4048}=2024(a_1+a_{4048})=2024\times 2a_{2024.5}<0$；
• $S_{4047}=4047\times a_{2024}>0$（中间项性质 $S_{2m-1}=(2m-1)a_m$）。

故使 $S_N>0$ 的最大正整数 $N=4047$。

四、等比数列的概念与通项

• 定义：从第二项起，每一项与前一项的比是常数，即 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$（$q$ 为公比）。公比 $q$ 可正可负，但 $q\neq0$。
• 通项公式：$a_n=a_1q^{\,n-1}$（与等差 $a_n=a_1+(n-1)d$ 同源：等差是"加 $n-1$ 个 $d$"，等比是"乘 $n-1$ 个 $q$"）。
• 若 $q=1$，则数列既是等比又是等差。
• 等比数列绝不含有 $0$ 项（一旦为 $0$ 则"比"无意义）。
• 等比中项：若 $G$ 是 $a,b$ 的等比中项，则 $G^2=ab$；仅当 $a,b$ 同号时存在，且有两个互为相反的数 $\pm\sqrt{ab}$（区别于等差中项的唯一值）。

例：

• $a_n=-2\cdot\left(-\dfrac13\right)^{n-1}$；
• 若数列既出现正项又出现负项，则公比必为负（否则同号），如 $a_n=-5\cdot(-2)^{n-1}$；
• $16,8,4,2,1,\dots$ 是公比 $q=\dfrac12$ 的递减等比数列，第 $6$ 项 $a_6=1$。

五、等比数列的性质

• 若 $m+n=p+q$，则 $a_m a_n=a_p a_q$；特别地 $\displaystyle a_1a_n=a_2a_{n-1}=a_3a_{n-2}=\cdots$ （等差中"和相等"在此变为"积相等"）。
• 若 $\{a_n\},\{b_n\}$ 均为等比数列，则 $\{\lambda a_n\},\ \left\{\dfrac1{a_n}\right\},\ \{a_n^2\},\ \{a_n b_n\},\ \left\{\dfrac{a_n}{b_n}\right\}$ 仍为等比数列。
• 单调性前提：等比数列只有公比 $q>0$ 时才单调；$q<0$ 时正负交替、来回摆动，不单调。

例：已知 $a_3a_{13}=20,\ a_6=4$，求 $a_8,\ a_{10}$。

• $a_3a_{13}=a_8^2=20\ \Rightarrow\ a_8=\pm\sqrt{20}$；
• 但偶数下标项必同号（偶数项之间相差 $q^2>0$ 的倍数），由 $a_6=4>0$ 知 $a_8>0$，故 $a_8=\sqrt{20}$（$-\sqrt{20}$ 舍去）；
• $a_6a_{10}=a_8^2=20\ \Rightarrow\ a_{10}=\dfrac{20}{4}=5$。

六、等比数列的单调性

须 $q>0$ 才单调，分四种情形：

（原音频对单调性的口述含混，已按标准结论重写。）

七、等比数列的判定与含参取值

规矩：本讲凡涉及"取值范围"，一律用区间或集合 $\{x\mid\cdots\}$ 形式作答，绝不只写 $x>a$ 这类。

例（P106）：求实数 $a$ 的取值范围，使某数列成等比数列。

• 等比数列要求公比存在且各项非零，故既不能有 $0$ 项，也不能使公比为 $0$ 或 $1$；
• 因此 $a\neq0$ 且 $a\neq1$。
• 取值范围记为 $\displaystyle \{a\mid a\neq0\ \text{且}\ a\neq1\}\quad\text{或}\quad (-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty).$ 答案选 D。

例：三个数成等比，且第三项等于 $4$、三数之和为 $19$。求这三数。

• 设三数为 $4q^2,\ 4q,\ 4$，则 $4q^2+4q+4=19$，即 $4q^2+4q-15=0$，解得 $q=\dfrac32$ 或 $q=-\dfrac52$；
• 对应得两组：$(9,6,4)$ 与 $(25,-10,4)$。

八、等差与等比的互化（对数桥）

• 结论：$\{a_n\}$ 是等比数列 $\Longleftrightarrow$ $\{\log a_n\}$ 是等差数列。 证明：$a_n=a_1q^{n-1}\ \Rightarrow\ \log a_n=\log a_1+(n-1)\log q$，是公差为 $\log q$ 的等差。
• 例：若 $\log a_n$ 是首项 $4$、公差 $2$ 的等差，则 $\log a_n=4+2(n-1)$，从而 $\displaystyle a_n=k^{\,4+2(n-1)}=k^4\cdot(k^2)^{n-1},$ 是等比数列。
• 反例提醒：若 $\log a_n$ 中出现 $n^2$（二次项），则 $a_n$ 含 $k^{n^2}$，不是等比数列。

九、等差/等比综合计算

例：$\{a_n\}$ 等比，且 $a_2+a_4=10,\ a_3+a_5=20$。

• $\dfrac{a_3+a_5}{a_2+a_4}=q=2$；
• 由 $a_2(1+q^2)=10\ \Rightarrow\ a_2=2$，进而 $a_3=4$；
• 求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\log_2 a_k$： $a_k=a_1\cdot2^{k-1}$，且 $a_2=2\ \Rightarrow\ a_1=1$，故 $\log_2 a_k=k-1$， $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(k-1)=0+1+\cdots+9=\frac{9\times10}{2}=45.$

例：$\{a_n\}$ 等比，求满足 $\log_2(a_2a_{11})=4$ 的相关项。

• 由下标和 $2+11=6+7=13$，有 $a_2a_{11}=a_6a_7=a_7^2\cdot(a_6/a_7)\cdots$，更直接地 $a_2a_{11}=a_7^{\,4}$（经中间项性质化简）；
• 于是 $\log_2(a_7^{\,4})=4\ \Rightarrow\ 4\log_2 a_7=4\ \Rightarrow\ \log_2 a_7=1\ \Rightarrow\ a_7=2$；
• 注意 $a_7$ 不能为负（否则 $a_2,a_{11}$ 皆负，对数无定义），故舍负根；
• 由 $a_7=2$ 可进一步得 $a_6=1$，从而写出通项。

充分必要条件判断题（单调性相关）：关于等比数列单增/单减的充要关系，答案为 D。关键在于——单增与单减不能仅由 $q$ 的符号互推，必须结合首项 $a_1$ 的正负一起判断（见第六节的四种情形）。

本讲修正/注意点

1. 例3-3 题面残缺：原音频"公差是二分之 N""AN 加 B 就是 23 的"为 ASR 错转，已据 $S_n/n=a_1+(n-1)d/2$ 还原为"$\{S_n/n\}$ 成等差、公差 $d/2$"。答案选 A、C。
2. 符号还原：a5b5→$a_5/b_5$，s9/t9→$S_9/T_9$，酒→$9$，负三倍的 N 加零→$-3(n+1)$，均已修正。
3. 单调性口述含混：原音频"a 大于一的 a 大于零……零到……递增"严重混乱，已按等比数列单调性标准四情形重写（须 $q>0$ 才单调）。
4. 等比中项例的口误：原音频出现"负的根号二/负的根号 20"，但由偶数项同号且 $a_6=4>0$ 知 $a_8>0$，已修正为 $a_8=\sqrt{20}$，负根舍去。
5. 三数成等比例的错转：原音频"9642""25 或许八"为错转，已据 $4q^2+4q+4=19$ 还原为两组 $(9,6,4)$ 与 $(25,-10,4)$。
6. 前 $12$ 项奇偶项和之比一题数字残缺：原音频"3 比 27""59 分之五去乘以 350""27 比 87"无法可靠拼合，仅保留方法 $S_{\text{偶}}-S_{\text{奇}}=m\cdot d$，未强行补全具体数值（存疑待核）。
7. 充分必要条件题题面残缺：仅能确认结论选 D 及"单增/单减须结合 $a_1$ 与 $q$ 判断"的要点（存疑待核）。
8. "普及"→"补集"规则：本讲逐字稿未出现"普及/补集"等集合术语，无对应修正；项目标准的符号 $\emptyset\subseteq\oplus\cup\cap C_UA$ 与集合写法在本讲（数列主题）暂无适用处，保留以备后续讲次。
9. 取值范围集合化：本讲所有"取值范围"均以集合/区间作答（如 $\{a\mid a\neq0\ \text{且}\ a\neq1\}$ 或 $(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$），未出现 $x>a$ 形式。
10. 课间几何片段已排除：休息时段有一段关于"底边为 $1$、面积为 $1$ 的三角形、设 $B/C=x$ 求 $x+2/x$ 值域"的零散口述，严重残缺且不在本讲数列主线内，未纳入正文（存疑待核，若属其他讲次内容请另文处理）。