知知数 · 高中数学
第 12 讲 · 第三章 数列

第12讲：等差数列的前 n 项和

掌握等差求和公式、基本量运算、最值和前 n 项和性质。

对应讲义第 90–100 页按课堂重点重排
本讲原始资料完整大纲完整讲稿

学习目标

  • 能熟练使用等差数列两种前 n 项和公式，并根据条件选择基本量。
  • 能从二次函数视角理解 Sₙ，处理片段和、中间项及分段数列。
  • 能结合 Sₙ 与 aₙ 的关系解决最值、参数范围和构造数列问题。

前置知识

需要熟悉函数、正整数、代数变形和基本不等式。

核心概念

概念与定义

  • 等差数列前 nn 项和 SnS_n
  • SnS_n 的二次函数本质：常数项为 00 的二次函数，图像过原点 (0,0)(0,0)
  • 中项（算术平均项）：a(n+1)/2a_{(n+1)/2}；偶数情形 an/2+0.5=an/2+an/2+12a_{n/2+0.5}=\dfrac{a_{n/2}+a_{n/2+1}}{2}（两项平均值，记为号）
  • 片段和（均匀分段后各段和）仍成等差
  • 分段数列（从第二项起成等差，首项单独写）
  • 构造数列 {1an+2}\left\{\dfrac{1}{a_n+2}\right\}

老师讲解

方法与解题路线

数列题先写清下标范围。由前 n 项和求通项必须单独验证 n=1，等比求和必须先判断 q=1。

  • 两种求和公式相互转化（首项末项型 ↔\leftrightarrow 首项公差型）
  • 二次函数图像法：由 Sm=SnS_m=S_n 推 Sm+n=0S_{m+n}=0（找对称轴）
  • 中项法快速求 SnS_n（避免待定系数解二元一次）
  • 片段和性质求 S3n,S4n,…S_{3n},S_{4n},\dots
  • 高考实际背景建模（天坛圜丘坛石板数 →\rightarrow 等差求和）
  • 比值技巧 ak/bk=S2k−1/T2k−1a_k/b_k=S_{2k-1}/T_{2k-1}；下标不同时还原未约分的 Sn,TnS_n,T_n
  • 最值"穿零"判定：ana_n 与 an+1a_{n+1} 异号处 SnS_n 取极值
  • 对称轴秒杀：Si=Sj  ⟺  i,jS_i=S_j\iff i,j 关于 SnS_n 对称轴对称
  • 取值范围一律用区间 / 集合 {x∣… }\{x\mid\dots\} 表示（本讲统一规矩）

数学公式

公式与适用条件

Sn=n(a1+an)2=na1+n(n−1)2d.\displaystyle S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2=na_1+\frac{n(n-1)}2d.

  • Sn=n(a1+an)2S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}
  • Sn=na1+n(n−1)2dS_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d
  • Sn=d2 n2+(a1−d2)nS_n=\dfrac d2\,n^2+\left(a_1-\dfrac d2\right)n
  • 对称零点：若 Sm=Sn (m≠n)S_m=S_n\ (m\neq n)，则 Sm+n=0S_{m+n}=0
  • 片段和：Sn, S2n−Sn, S3n−S2n,…S_n,\ S_{2n}-S_n,\ S_{3n}-S_{2n},\dots 成等差，公差为 n2dn^2d
  • 中项公式：S2k−1=(2k−1)akS_{2k-1}=(2k-1)a_k
  • 比值技巧：akbk=S2k−1T2k−1\dfrac{a_k}{b_k}=\dfrac{S_{2k-1}}{T_{2k-1}}
  • 和的组合：Sm+n=Sm+Sn+mn⋅dS_{m+n}=S_m+S_n+mn\cdot d
  • 项对称：若 ap=q, aq=pa_p=q,\ a_q=p，则 ap+q=0a_{p+q}=0
  • 和条件：若 Sm=n, Sn=m (m≠n)S_m=n,\ S_n=m\ (m\neq n)，则 Sm+n=−(m+n)S_{m+n}=-(m+n)
  • 最值判定：SnS_n 最大   ⟺  an>0>an+1\iff a_n>0>a_{n+1}；最小   ⟺  an<0<an+1\iff a_n<0<a_{n+1}
  • 构造等差：由 an+1an=−3an+1−an−4a_{n+1}a_n=-3a_{n+1}-a_n-4 可推 {1an+2}\left\{\dfrac{1}{a_n+2}\right\} 公差 11

典型例题

课堂例题结论

  • 例1：a3=1, a6=10 ⇒ S8=44a_3=1,\ a_6=10\ \Rightarrow\ S_8=44（四对和均为 1111）
  • 例3：d=3, a4=−1 ⇒ S20=370d=3,\ a_4=-1\ \Rightarrow\ S_{20}=370
  • 例4：S3=6, S6=−8 ⇒ S9=−42S_3=6,\ S_6=-8\ \Rightarrow\ S_9=-42
  • 例5（天坛）：2727 环，d=9d=9，两种条件均得 S27=3402S_{27}=3402 块
  • 例6：SnTn=7n+2n+3 ⇒ a5b5=6512\dfrac{S_n}{T_n}=\dfrac{7n+2}{n+3}\ \Rightarrow\ \dfrac{a_5}{b_5}=\dfrac{65}{12}
  • 例6 变式：a5b6=6514\dfrac{a_5}{b_6}=\dfrac{65}{14}（还原 Sn=k(7n2+2n), Tn=k(n2+3n)S_n=k(7n^2+2n),\ T_n=k(n^2+3n)）
  • 例7：S7=S8 ⇒ a8=0S_7=S_8\ \Rightarrow\ a_8=0，S7=S8S_7=S_8 最大，S15=0S_{15}=0
  • 例8：a1=2020, d=−2 ⇒ S2022=−2022a_1=2020,\ d=-2\ \Rightarrow\ S_{2022}=-2022（口述 −202-202 有误，已修正）
  • 例9：S3=4S_3=4，片段公差 4 ⇒ S12=404\ \Rightarrow\ S_{12}=40
  • 作业：a13=12, d=±3a_{13}=12,\ d=\pm 3；an=n2+10⇒a50=99a_n=\tfrac n2+10\Rightarrow a_{50}=99；C 组选 B
  • 证明1：{1an+2}\left\{\dfrac{1}{a_n+2}\right\} 是公差为 11 的等差数列
  • 证明2：a2021a_{2021} 为最小项 ⇒a1∈(−40412020, −40432021)\Rightarrow a_1\in\left(-\dfrac{4041}{2020},\ -\dfrac{4043}{2021}\right)

常见错误

易错边界

不要把适用于 n≥2 的递推关系直接代入 n=1，也不要忘记等比数列不能含零项。

方法总结

本讲速查表

学习时先明确对象、条件和范围，再从下表选择公式；做完后回到原题检查特殊情形与答案格式。

项目 公式 / 结论
求和（首末） Sn=n(a1+an)2S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}
求和（公差） Sn=na1+n(n−1)2dS_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d
二次函数式 Sn=d2 n2+(a1−d2)nS_n=\dfrac d2\,n^2+\left(a_1-\dfrac d2\right)n
对称零点 Sm=Sn (m≠n) ⇒ Sm+n=0S_m=S_n\ (m\neq n)\ \Rightarrow\ S_{m+n}=0
片段和性质 Sn, S2n−Sn, S3n−S2n,…S_n,\ S_{2n}-S_n,\ S_{3n}-S_{2n},\dots 成等差，公差 n2dn^2d
中项公式 S2k−1=(2k−1)akS_{2k-1}=(2k-1)a_k
比值技巧 akbk=S2k−1T2k−1\dfrac{a_k}{b_k}=\dfrac{S_{2k-1}}{T_{2k-1}}
和的组合 Sm+n=Sm+Sn+mn⋅dS_{m+n}=S_m+S_n+mn\cdot d
项对称 ap=q, aq=p ⇒ ap+q=0a_p=q,\ a_q=p\ \Rightarrow\ a_{p+q}=0
和条件 Sm=n, Sn=m (m≠n) ⇒ Sm+n=−(m+n)S_m=n,\ S_n=m\ (m\neq n)\ \Rightarrow\ S_{m+n}=-(m+n)
最值判定 最大   ⟺  an>0>an+1\iff a_n>0>a_{n+1}；最小   ⟺  an<0<an+1\iff a_n<0<a_{n+1}
构造等差 由 an+1an=−3an+1−an−4a_{n+1}a_n=-3a_{n+1}-a_n-4 得 {1an+2}\left\{\dfrac{1}{a_n+2}\right\} 公差 11
取值范围 a1∈(−40412020, −40432021)a_1\in\left(-\dfrac{4041}{2020},\ -\dfrac{4043}{2021}\right)（证明2）

自我检查

完成后请确认

  1. 我能根据题目条件选择等差数列的两种求和公式。
  2. 我能说明 Sₙ 为什么具有过原点的二次函数结构。
  3. 我能处理片段和、中间项与分段数列。
  4. 我能由 Sₙ 与 aₙ 的关系求最值或参数范围。