第11讲：等差数列

学习目标

需要熟悉函数、正整数、代数变形和基本不等式。

数列题先写清下标范围。由前 n 项和求通项必须单独验证 n=1，等比求和必须先判断 q=1。

观察法写通项
- 正负交替用 $(-1)^n$ / $(-1)^{n-1}$
- 分式拆整数、小数部分
由递推求指定项
- 正向代入 / 逆向回代
最大项判定
- 乘积（商）型：比值法 $a_{n+1}/a_n\ ?\ 1$
- 和（差）型：差法 $a_{n+1}-a_n\ ?\ 0$
周期性：多写几项找循环节
$S_n$ 求 $a_n$ ： $a_1=S_1$ ； $n\ge2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}$
等差数列判定（五法）
- 定义法 / 等差中项法 / 通项一次函数 / $S_n=An^2+Bn$ / $\{S_n/n\}$ 等差
等差数列性质应用
- 对称下标和性质（ $m+n=p+q$ ）
- 「常数列」特值法（偷鸡）
构造法（换元）求通项
- 取倒数 $b_n=1/a_n$
- 取平方 $b_n=a_n^2$
- 取根号 $b_n=\sqrt{a_n+2}$
- 除以 $2^n$ ： $c_n=a_n/2^n$
公共项：公差取最小公倍数
取值范围：化为函数图像，由渐近线位置定区间（用集合 / 区间表示）

$\displaystyle a_n=a_1+(n-1)d,\qquad 2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}.$

通项（观察）： $a_n=2n-1,\ \dfrac{n+1}{2},\ (-1)^n\dfrac{n}{(n+1)^2},\ \dfrac32+\dfrac12(-1)^{n-1}$ 等
递推猜想： $a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)\ \Rightarrow\ a_n=2^{n-1}+1$
等差通项： $a_n=a_1+(n-1)d=a_m+(n-m)d$
公差： $d=\dfrac{a_n-a_m}{n-m}$
等差中项： $A=\dfrac{a+b}{2}$
判定·和： $S_n=An^2+Bn$ （无常数项）
性质： $m+n=p+q\ \Rightarrow\ a_m+a_n=a_p+a_q$ ； $2a_k=a_{k-r}+a_{k+r}$
构造：
- $b_n=1/a_n$ 等差 $\Rightarrow\ a_n=\dfrac{3}{n+2}$
- $b_n=a_n^2$ 等差 $\Rightarrow\ a_n=2\sqrt n$
- $b_n=\sqrt{a_n+2}$ 等差 $\Rightarrow\ a_n=n^2+2n-1$
- $c_n=a_n/2^n$ 等差 $\Rightarrow\ a_n=2^n(n-\tfrac12)$
公共项公差： $\operatorname{lcm}(d_1,d_2)$

递推求项： $a_{n+1}=\dfrac{n}{a_n}+1,\ a_4=6\ \Rightarrow\ a_1=-\dfrac16$
最大项： $a_n=n(2/3)^n\ \Rightarrow\$ 最大项 $a_2=a_3=\dfrac89$
周期性： $a_n=a_{n-1}-a_{n-2},\ a_1=1,a_2=-2\ \Rightarrow\$ 周期 $6$ ， $a_{2022}=a_6=3$ （选 C）
$S_n=(1/2)^n\ \Rightarrow\ a_1=\frac12,\ n\ge2$ 时 $a_n=-(1/2)^n$ ，且 $S_n>a_n$ （选 A）
$S_n=2^{n+1}-1\ \Rightarrow\ a_1=3,\ n\ge2$ 时 $a_n=2^n$ （选 B）
等差中项题：由 $a_3-1=(a_2+a_5)/2$ 得 $d=-2$ （选 A）
特值法： $a_3+a_{11}=50\ \Rightarrow\ a_6+a_7+a_8=75$
公共项：两数列（公差 $3$ 、 $4$ ）公共项共 $25$ 个（选对应项）
取值范围： $b_n=1/(n+a-1)$ 且 $b_8$ 最小 $\Rightarrow\ a\in(-8,-7)$

不要把适用于 n≥2 的递推关系直接代入 n=1，也不要忘记等比数列不能含零项。

学习时先明确对象、条件和范围，再从下表选择公式；做完后回到原题检查特殊情形与答案格式。

我能用定义、通项或等差中项判定等差数列。

我能运用等差数列的下标性质求未知项。

我能通过取倒数或除以指数项构造新的等差数列。

我能用作差或作商判断数列的单调性和最值。