第11讲 大纲 · 数列：通项公式与等差数列

【概念】

• 数列的通项公式 $a_n$
• 递推公式（相邻项关系）
• 数列的单调性 / 最值 / 周期性
• 前 $n$ 项和 $S_n$ 与通项的关系
• 等差数列（AP）定义、公差 $d$
  • 对应等比数列（GP）
• 等差中项 $A=\dfrac{a+b}{2}$
• 公共项（两数列公共项构成新等差）

【方法】

• 观察法写通项
  • 正负交替用 $(-1)^n$ / $(-1)^{n-1}$
  • 分式拆整数、小数部分
• 由递推求指定项
  • 正向代入 / 逆向回代
• 最大项判定
  • 乘积（商）型：比值法 $a_{n+1}/a_n\ ?\ 1$
  • 和（差）型：差法 $a_{n+1}-a_n\ ?\ 0$
• 周期性：多写几项找循环节
• $S_n$ 求 $a_n$：$a_1=S_1$；$n\ge2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}$
• 等差数列判定（五法）
  • 定义法 / 等差中项法 / 通项一次函数 / $S_n=An^2+Bn$ / $\{S_n/n\}$ 等差
• 等差数列性质应用
  • 对称下标和性质（$m+n=p+q$）
  • 「常数列」特值法（偷鸡）
• 构造法（换元）求通项
  • 取倒数 $b_n=1/a_n$
  • 取平方 $b_n=a_n^2$
  • 取根号 $b_n=\sqrt{a_n+2}$
  • 除以 $2^n$：$c_n=a_n/2^n$
• 公共项：公差取最小公倍数
• 取值范围：化为函数图像，由渐近线位置定区间（用集合 / 区间表示）

【公式】

• 通项（观察）：$a_n=2n-1,\ \dfrac{n+1}{2},\ (-1)^n\dfrac{n}{(n+1)^2},\ \dfrac32+\dfrac12(-1)^{n-1}$ 等
• 递推猜想：$a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)\ \Rightarrow\ a_n=2^{n-1}+1$
• 等差通项：$a_n=a_1+(n-1)d=a_m+(n-m)d$
• 公差：$d=\dfrac{a_n-a_m}{n-m}$
• 等差中项：$A=\dfrac{a+b}{2}$
• 判定·和：$S_n=An^2+Bn$（无常数项）
• 性质：$m+n=p+q\ \Rightarrow\ a_m+a_n=a_p+a_q$；$2a_k=a_{k-r}+a_{k+r}$
• 构造：
  • $b_n=1/a_n$ 等差 $\Rightarrow\ a_n=\dfrac{3}{n+2}$
  • $b_n=a_n^2$ 等差 $\Rightarrow\ a_n=2\sqrt n$
  • $b_n=\sqrt{a_n+2}$ 等差 $\Rightarrow\ a_n=n^2+2n-1$
  • $c_n=a_n/2^n$ 等差 $\Rightarrow\ a_n=2^n(n-\tfrac12)$
• 公共项公差：$\operatorname{lcm}(d_1,d_2)$

【例题结论】

• 递推求项：$a_{n+1}=\dfrac{n}{a_n}+1,\ a_4=6\ \Rightarrow\ a_1=-\dfrac16$
• 最大项：$a_n=n(2/3)^n\ \Rightarrow\$ 最大项 $a_2=a_3=\dfrac89$
• 周期性：$a_n=a_{n-1}-a_{n-2},\ a_1=1,a_2=-2\ \Rightarrow\$ 周期 $6$，$a_{2022}=a_6=3$（选 C）
• $S_n=(1/2)^n\ \Rightarrow\ a_1=\frac12,\ n\ge2$ 时 $a_n=-(1/2)^n$，且 $S_n>a_n$（选 A）
• $S_n=2^{n+1}-1\ \Rightarrow\ a_1=3,\ n\ge2$ 时 $a_n=2^n$（选 B）
• 等差中项题：由 $a_3-1=(a_2+a_5)/2$ 得 $d=-2$（选 A）
• 特值法：$a_3+a_{11}=50\ \Rightarrow\ a_6+a_7+a_8=75$
• 公共项：两数列（公差 $3$、$4$）公共项共 $25$ 个（选对应项）
• 取值范围：$b_n=1/(n+a-1)$ 且 $b_8$ 最小 $\Rightarrow\ a\in(-8,-7)$

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