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高二第 11 次课 · 原始课堂资料

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等差数列

知识点大纲课堂清洗讲稿

第11讲 · 数列：通项公式与等差数列

规范说明：本讲承接上节课（讲义第 77 页），从数列通项公式入手，逐步过渡到等差数列。按课程统一规范，凡涉及取值范围，一律用区间或集合 {x | …} 形式回答，绝不可只写 x > a 这类不等式；以下口述中涉及参数范围处均已按此规矩改写。术语方面，本讲未出现「普及」一词，也无集合运算，故 ∅ ⊆ ⊊ ∪ ∩ C_U A 等集合符号规则本讲不适用。

一、数列的通项公式（观察法与递推猜想）

寻找通项公式的常用思路：

  • 正负交替：用 (−1)n(-1)^n 或 (−1)n−1(-1)^{n-1} 控制符号；
  • 分式结构：拆分整数、小数部分；
  • 由相邻项的递推关系进行猜想。

典型例题（口述解法整理）：

  1. an=2n−1a_n=2n-1。
  2. an=n+12a_n=\dfrac{n+1}{2}。
  3. an=(−1)n⋅n(n+1)2a_n=(-1)^n\cdot\dfrac{n}{(n+1)^2}（正负交替，整体为「nn 除以 (n+1)2(n+1)^2」）。
  4. an=(−1)n−1⋅46n−4a_n=(-1)^{n-1}\cdot\dfrac{4}{6n-4}（即 (−1)n−1⋅23n−2(-1)^{n-1}\cdot\dfrac{2}{3n-2}，存疑，见注意点）。
  5. an=32+12(−1)n−1a_n=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}(-1)^{n-1}，即 2,1,2,1,…2,1,2,1,\dots 交替。
  6. 递推特征题：由 an+2−an+1=2(an+1−an)a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n) 且 a1=2, a2=3a_1=2,\ a_2=3，可知相邻两项之差构成公比为 22 的等比数列（1,2,4,8,16,…1,2,4,8,16,\dots），从而 an=2 n−1+1a_n=2^{\,n-1}+1。

二、由递推公式求指定项

数列三大问题：递推、求和、通项。本节练习由递推式求某个具体项。

  • 例1（选 B）：a6=63a_6=63。
  • 例3（逆向回代）：递推关系为 an+1=nan+1a_{n+1}=\dfrac{n}{a_n}+1，已知 a4=6a_4=6，逐层回代： a3=35,a2=−5,a1=−16.\displaystyle a_3=\frac{3}{5},\quad a_2=-5,\quad a_1=-\frac{1}{6}. 故 a1=−16a_1=-\dfrac16。

三、数列的单调性、最值与周期性

1. 单调性

当 ana_n 是 nn 的二次函数时，单调性由「对称轴」直接判断（如例四-1，可跳过繁算）。

2. 最大项的求法

对数列 an=n(23)na_n=n\left(\dfrac23\right)^n，比较相邻项的比值： an+1an=(n+1)(2/3)n+1n(2/3)n=23⋅n+1n.\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)(2/3)^{n+1}}{n(2/3)^n}=\frac23\cdot\frac{n+1}{n}.

  • n=1n=1：43>1 ⇒ a2>a1\dfrac43>1\ \Rightarrow\ a_2>a_1；
  • n=2n=2：32⋅23=1 ⇒ a3=a2\dfrac32\cdot\dfrac23=1\ \Rightarrow\ a_3=a_2；
  • n=3n=3：43⋅34=89<1 ⇒ a4<a3\dfrac43\cdot\dfrac34=\dfrac89<1\ \Rightarrow\ a_4<a_3。

故数列先增后减，a2=a3a_2=a_3 为最大项，且 a2=a3=89a_2=a_3=\dfrac89。

方法小结：乘积（商）型数列用「比值法」an+1/ana_{n+1}/a_n 与 11 比较；和（差）型数列用「差法」an+1−ana_{n+1}-a_n 与 00 比较。

3. 周期性

递推 an=an−1−an−2 (n≥3)a_n=a_{n-1}-a_{n-2}\ (n\ge3)，且 a1=1, a2=−2a_1=1,\ a_2=-2： a3=−3, a4=−1, a5=2, a6=3, a7=1=a1, a8=−2=a2, …\displaystyle a_3=-3,\ a_4=-1,\ a_5=2,\ a_6=3,\ a_7=1=a_1,\ a_8=-2=a_2,\ \dots 周期为 66。因 2022=6×3372022=6\times337，故 a2022=a6=3a_{2022}=a_6=3（选 C）。

四、由前 nn 项和 SnS_n 求通项 ana_n

核心公式： a1=S1;n≥2 时 an=Sn−Sn−1.\displaystyle a_1=S_1;\qquad n\ge2\text{ 时 }a_n=S_n-S_{n-1}.

  • 例六-1（1）：Sn=(12)nS_n=\left(\dfrac12\right)^n。 a1=12a_1=\dfrac12；n≥2n\ge2 时 an=(12)n−(12)n−1=−(12)n<0a_n=\left(\dfrac12\right)^n-\left(\dfrac12\right)^{n-1}=-\left(\dfrac12\right)^n<0，故 Sn>anS_n>a_n（选 A）。
  • 例六-变1（2）：Sn=2 n+1−1S_n=2^{\,n+1}-1。 a1=22−1=3a_1=2^2-1=3；n≥2n\ge2 时 an=(2n+1−1)−(2n−1)=2na_n=(2^{n+1}-1)-(2^n-1)=2^n（选 B）。

五、等差数列的概念与通项

  • 定义：从第二项起，后一项与前一项的差等于同一个常数，该数列称为等差数列，公差记作 dd。递推式：an+1−an=da_{n+1}-a_n=d（或 an−an−1=d, n≥2a_n-a_{n-1}=d,\ n\ge2）。简记 AP；对应的等比数列简记 GP。
  • 单调性与 dd：d>0d>0 递增；d=0d=0 为常数列；d<0d<0 递减。
  • 通项公式： an=a1+(n−1)d=am+(n−m)d,\displaystyle a_n=a_1+(n-1)d=a_m+(n-m)d, d=an−amn−m(即「斜率」).\displaystyle d=\frac{a_n-a_m}{n-m}\quad(\text{即「斜率」}).
  • 等差中项：若 a,A,ba,A,b 成等差，则 A=a+b2A=\dfrac{a+b}{2} 称为 a,ba,b 的等差中项。

基础练习（熟悉公式）：

  1. 已知 d=3d=3，a10=a1+9×3=29 ⇒ a1=2a_{10}=a_1+9\times3=29\ \Rightarrow\ a_1=2。
  2. 已知 d=2d=2，an−a1=18 ⇒ n−1=9 ⇒ n=10a_n-a_1=18\ \Rightarrow\ n-1=9\ \Rightarrow\ n=10；又 a10=21 ⇒ a1=3a_{10}=21\ \Rightarrow\ a_1=3。
  3. a1=12, a6=27 ⇒ d=27−126−1=3a_1=12,\ a_6=27\ \Rightarrow\ d=\dfrac{27-12}{6-1}=3。
  4. 若 a3−1a_3-1 是 a2,a5a_2,a_5 的等差中项，即 a3−1=a2+a52a_3-1=\dfrac{a_2+a_5}{2}。利用 a2+a5=a3+a4=a3+(a3+d)a_2+a_5=a_3+a_4=a_3+(a_3+d)，得 2a3+d2=a3−1 ⇒ d2=−1 ⇒ d=−2\dfrac{2a_3+d}{2}=a_3-1\ \Rightarrow\ \dfrac d2=-1\ \Rightarrow\ d=-2（选 A）。

六、等差数列的判定（五种方法）

  1. 定义法：相邻两项差为常数。
  2. 等差中项法：2an+1=an+an+22a_{n+1}=a_n+a_{n+2} 恒成立。
  3. 通项法：ana_n 是 nn 的一次函数（an=kn+ba_n=kn+b）。
  4. 前 nn 项和法：Sn=An2+BnS_n=An^2+Bn（无常数项，此点极重要）。
  5. 均值法：若 {an}\{a_n\} 是等差，则 {Snn}\left\{\dfrac{S_n}{n}\right\} 也是等差。

七、等差数列的性质

  1. an−am=(n−m)da_n-a_m=(n-m)d，即 d=an−amn−md=\dfrac{a_n-a_m}{n-m}。
  2. 若 m+n=p+qm+n=p+q，则 am+an=ap+aqa_m+a_n=a_p+a_q；特别地 m+n=2km+n=2k 时 am+an=2aka_m+a_n=2a_k。
    • 应用（特值 / 「常数列」偷鸡法）：已知 a3+a11=50a_3+a_{11}=50，求 a6+a7+a8a_6+a_7+a_8。直接取常数列（每项 2525），得 a6+a7+a8=75a_6+a_7+a_8=75。
    • 应用：对称 kk 项之和 =k×=k\times 中间项（如三数之和 =3×=3\times 中间项，五数之和 =5×=5\times 中间项，等等）。
  3. 每隔 mm 项取数 ak,ak+m,ak+2m,…a_k,a_{k+m},a_{k+2m},\dots 仍成等差，新公差 =md=md。
  4. 等差 ±\pm 等差 == 等差；kk 倍等差 == 等差。两个等差数列的公共项构成新等差，新公差 == 两公差的最小公倍数。

其余应用小题：24 节气日影长度成等差、三角形三边成等差（如 3:4:53:4:5，通项 an=2n−3a_n=2n-3）等，均直接套用上述性质与等差中项即可。

八、构造法（换元）求通项

把难处理的递推，通过设新数列转化为等差。

  • 练三：设 bn=1anb_n=\dfrac1{a_n}，则 {bn}\{b_n\} 为等差，b1=1, d=13b_1=1,\ d=\dfrac13，故 bn=1+n−13=n+23b_n=1+\dfrac{n-1}{3}=\dfrac{n+2}{3}，an=3n+2a_n=\dfrac{3}{n+2}，从而 a13=15a_{13}=\dfrac15。
  • 变式一（平方差构造）：设 bn=an2b_n=a_n^2，则 {bn}\{b_n\} 等差、公差为 44，可得 an=2na_n=2\sqrt n。
  • 变式二（根号构造）：设 bn=an+2b_n=\sqrt{a_n+2}，则 bn+1=bn+1b_{n+1}=b_n+1，且 b1=a1+2=2b_1=\sqrt{a_1+2}=2，故 bn=n+1b_n=n+1，于是 an+2=(n+1)2 ⇒ an=n2+2n−1.\displaystyle a_n+2=(n+1)^2\ \Rightarrow\ a_n=n^2+2n-1. 验证 a2=7a_2=7，且随 nn 增大而递增（选 ABC）。
  • 例六·变式一（除以 2n2^n 构造）：设 cn=an2nc_n=\dfrac{a_n}{2^n}，则 {cn}\{c_n\} 为等差，c1=12, d=1c_1=\dfrac12,\ d=1，故 cn=n−12c_n=n-\dfrac12，从而 an=2n(n−12)=n⋅2n−2 n−1.\displaystyle a_n=2^n\left(n-\frac12\right)=n\cdot2^n-2^{\,n-1}.

九、公共项与取值范围问题

1. 公共项（例六-1）

两数列：

  • 甲：11,14,17,20,23,26,…11,14,17,20,23,26,\dots，公差 33，即 ak=3k+8a_k=3k+8；
  • 乙：3,11,15,19,23,…3,11,15,19,23,\dots，公差 44，即 bm=4m−1b_m=4m-1。

公共项构成公差 lcm⁡(3,4)=12\operatorname{lcm}(3,4)=12 的新等差：11,23,35,…11,23,35,\dots。在各自前 100100 项中，公共项共 2525 个（选对应项）。

2. 取值范围（例六-2，本讲最难）

已知 an=a+n−1a_n=a+n-1，令 bn=1an=1n+a−1b_n=\dfrac1{a_n}=\dfrac1{n+a-1}。问题：实数 aa 取何值时，b8b_8 为数列 {bn}\{b_n\} 的最小项？

将 bnb_n 视为反比例函数 f(x)=1x+(a−1)=1x−(1−a)f(x)=\dfrac1{x+(a-1)}=\dfrac1{x-(1-a)} 在正整数点上的取值，其竖直渐近线为 x=1−ax=1-a。要使 b8b_8 最小（即最靠渐近线左侧、取最负值），必须让渐近线落在 88 与 99 之间： 8<1−a<9⟺−8<a<−7.\displaystyle 8<1-a<9\quad\Longleftrightarrow\quad -8<a<-7.

按本讲取值集合化要求，答案为 a∈(−8,−7)或{a∣−8<a<−7}.\displaystyle \boxed{a\in(-8,-7)}\quad\text{或}\quad \boxed{\{a\mid -8<a<-7\}}.

本讲修正/注意点

  1. 剥离全部说话人前缀（「李悦超5866(时间戳)」）与时间戳，仅保留授课内容。
  2. 本讲内容为「数列 / 等差数列」，未涉及集合与补集，故项目标准中「普及→补集」「∅⊆⊊∪∩」等集合符号规则本讲不适用。
  3. ASR「二等长减一」→ an=2n−1a_n=2n-1；「二分之 NN 加一」→ an=n+12a_n=\dfrac{n+1}{2}。
  4. 第4题通项：口述中同时出现「三的 n−1n-1 分之四」与数值「4/2,4/8,4/144/2,4/8,4/14」两种矛盾表述；按数值推断 an=(−1)n−1⋅46n−4a_n=(-1)^{n-1}\cdot\dfrac{4}{6n-4}，存疑待核。
  5. 第5题「1.5 加减 0.5 交替」→ an=32+12(−1)n−1a_n=\dfrac32+\dfrac12(-1)^{n-1}（即 2,1,2,1,…2,1,2,1,\dots）。
  6. 递推猜想题：由 an+2−an+1=2(an+1−an)a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n) 及 a1=2,a2=3a_1=2,a_2=3 还原 an=2n−1+1a_n=2^{n-1}+1；口述中「2048 游戏」等为闲聊，已删。
  7. 由递推求 a1a_1 题：ASR「a3a_3 分之四 / 3加一 / 五国」等为乱码；据回代结果 a1=−16a_1=-\dfrac16 反推递推为 an+1=nan+1a_{n+1}=\dfrac{n}{a_n}+1。
  8. 最大项题：还原 an=n(23)na_n=n\left(\dfrac23\right)^n，用比值法得最大项 a2=a3=89a_2=a_3=\dfrac89。
  9. 周期题：还原递推 an=an−1−an−2 (n≥3)a_n=a_{n-1}-a_{n-2}\ (n\ge3)，周期 66，a2022=a6=3a_{2022}=a_6=3（选 C）；ASR「a8=a_8= 一减三等于八」实为 a8=1−3=−2a_8=1-3=-2。
  10. SnS_n 求通项：统一公式 an=Sn−Sn−1 (n≥2)a_n=S_n-S_{n-1}\ (n\ge2)；两例分别得 a1=12, n≥2a_1=\frac12,\ n\ge2 时 an=−(1/2)na_n=-(1/2)^n，及 a1=3, n≥2a_1=3,\ n\ge2 时 an=2na_n=2^n。
  11. 等差中项题：由 a3−1=a2+a52a_3-1=\dfrac{a_2+a_5}{2} 且 a2+a5=a3+a4a_2+a_5=a_3+a_4 推出 d=−2d=-2（选 A）。
  12. 判定法中保留标准结论 Sn=An2+BnS_n=An^2+Bn（无常数项）。
  13. 练三：设 bn=1/anb_n=1/a_n 为等差（b1=1,d=1/3b_1=1,d=1/3）得 a13=1/5a_{13}=1/5；递推具体形式 ASR 不清，按结果还原为 1an+1−1an=13\dfrac1{a_{n+1}}-\dfrac1{a_n}=\dfrac13，存疑待核。
  14. 构造变式一：ASR「NN 加一平方减 NN 平方等于四」实为 an+12−an2=4a_{n+1}^2-a_n^2=4，构造 bn=an2b_n=a_n^2 得 an=2na_n=2\sqrt n。
  15. 构造变式二：设 bn=an+2b_n=\sqrt{a_n+2}，得 an=n2+2n−1a_n=n^2+2n-1。
  16. 例六·变式一：设 cn=an/2nc_n=a_n/2^n 为等差（c1=1/2,d=1c_1=1/2,d=1），得 an=2n(n−1/2)a_n=2^n(n-1/2)。
  17. 公共项题：新公差取两公差最小公倍数 1212，共 2525 个。
  18. 取值范围难题：还原 bn=1/(n+a−1)b_n=1/(n+a-1)，由 b8b_8 最小推出 8<1−a<98<1-a<9，答案以区间 (−8,−7)(-8,-7) 表示（已遵从取值集合化规则）。
  19. 删除大量与授课无关的闲聊：课堂点名、耳机 / 学校、离婚与孩子、春节 / 24节气 / 元宵节、午餐蛋糕、冰箱与毯子、会议室等；并剔除 ASR 英文乱码（Thank / The. 等）及口头禅（然后 / 就是 / OK / 对 / 这个 / 嗯 / 那个 / 的话）。