知知数 · 高中数学
第 15 讲 · 第三章 数列

第15讲：数列求和

归纳公式法、分组转化、倒序相加、错位相减与裂项相消。

对应讲义第 119–129 页按课堂重点重排
本讲原始资料完整大纲完整讲稿

学习目标

  • 能根据通项结构选择公式法、分组转化、倒序相加、错位相减或裂项相消。
  • 能由 Sₙ 求 aₙ，并根据 S₀ 是否为 0 判断是否需要分段及验证首项。
  • 能把复利、折现和函数中心对称问题转化为相应的数列求和模型。

前置知识

需要熟悉函数、正整数、代数变形和基本不等式。

核心概念

概念与定义

  • 数列两大主线：求通项、求和
  • 由 Sₙ 求 aₙ 的分段判定：S₀ ≠ 0 ⟹ 必分段
  • 货币时间价值 / 复利（利滚利）/ 折现
  • 函数中心对称（倒序相加的对称性基础：f(x) + f(2−x) = 2）

老师讲解

方法与解题路线

数列题先写清下标范围。由前 n 项和求通项必须单独验证 n=1，等比求和必须先判断 q=1。

  • 公式法（等差、等比、幂和）
  • 分组转化法（等差 + 等比拆开分别求和）
  • 分奇偶项求和（构造新数列，注意"换项数"：公差翻倍）
  • 倒序相加法（首尾对称配对）
  • 裂项相消法（aₙ = bₙ − bₙ₋₁，下讲专题）
  • 错位相减法（等差 × 等比，"苹果公式"）
  • "多写 / 少写一项"法：由 Σ 型等式求 aₙ
  • "挖掉烂的"：处理首段偏差的分段数列
  • 折现方程法：分期付款建模

数学公式

公式与适用条件

∑k=1nk=n(n+1)2,∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6.\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2,\qquad \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.

  • ∑k=1nk=n(n+1)2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2
  • ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6
  • ∑k=1nk3=[n(n+1)2]2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left[\dfrac{n(n+1)}2\right]^2
  • 等比分段 SnS_n 必有 S0=0S_0=0（用于倒推 λ\lambda）
  • 复利：A=P(1+r)kA=P(1+r)^k
  • 折现：现值=T(1+r)k\text{现值}=\dfrac{T}{(1+r)^k}
  • 分期方程：t1+r+t(1+r)2=本金\dfrac{t}{1+r}+\dfrac{t}{(1+r)^2}=\text{本金}

典型例题

课堂例题结论

  • 等比 q = −1 时中段和可为 0（命题坑点）
  • 作业5：首项 1、奇和 21、偶和 10 ⟹ q = 2，aₙ = 2ⁿ⁻¹
  • 作业7：S₃, S₆−S₃, S₉−S₆ 成等比 ⟹ S₆² = S₃(S₉−S₆)
  • 例1 |22−2n| 前 50 项和 = 1670
  • 例2 a₅ = 13 且 a₂,a₆,a₂₂ 成等比 ⟹ aₙ = 3n−2，bₙ = 2ⁿ⁻¹，Tₙ = n(3n−1)/2 + (2ⁿ−1)
  • 例3 Σ(2k−1)aₖ = n(2n−1)(2n+1)/3 ⟹ aₙ = 2n−1；交错 T₂ₙ = n² + 2ⁿ−1
  • 倒序相加：f(x)+f(2−x)=2, f(1)=1 ⟹ Σ_{k=1}^{4043} f(k/2022) = 4043

常见错误

易错边界

不要把适用于 n≥2 的递推关系直接代入 n=1，也不要忘记等比数列不能含零项。

方法总结

本讲速查表

学习时先明确对象、条件和范围，再从下表选择公式；做完后回到原题检查特殊情形与答案格式。

项目 内容
平方和 ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6
立方和 ∑k=1nk3=[n(n+1)2]2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left[\dfrac{n(n+1)}2\right]^2
分段判定 S0≠0⟹an 分段S_0\ne0\Longrightarrow a_n\text{ 分段}
等比 Sn=λ−3nS_n=\lambda-3^n λ=1\lambda=1（由 S0=0S_0=0）
例 1 S50=1670S_{50}=1670
例 2 an=3n−2,bn=2n−1a_n=3n-2,\quad b_n=2^{n-1}
例 3 an=2n−1,T2n=n2+2n−1a_n=2n-1,\quad T_{2n}=n^2+2^n-1
倒序相加 S=4043S=4043（对称配对）
分期方程 t1+r+t(1+r)2=本金\dfrac{t}{1+r}+\dfrac{t}{(1+r)^2}=\text{本金}

自我检查

完成后请确认

  1. 我能根据通项结构选择至少一种合适的求和方法。
  2. 我能由 Sₙ 求 aₙ，并判断答案是否必须分段。
  3. 我能解释倒序相加所利用的对称关系。
  4. 我能把复利或折现问题写成等比数列模型。