第15讲 · 数列求和

本讲约定：凡涉及"取值范围"，一律用区间或集合（如 {x | …}、(a,b)、[a,b]）表示，不单独写成 x > a 之类。文中首次出现取值范围处即以此格式给出。

一、作业讲评：等比数列前 n 项和易错点

（讲评昨日作业"等比数列前 n 项和"，以下为典型易错点。）

公比 q = −1 的陷阱：判断 S₁₀、S₈−S₄ 等时，若 q = −1 可能使中间段和为 0，选 B 项时要小心，这是命题人设的坑。
第3题：求得 λ = 36/13。
第5题：首项为 1，奇数项之和为 21，偶数项之和为 10。
- 去掉 a₁ = 1 后，奇偶项项数相同，且偶数项 = 对应奇数项 × q；
- 由 (21 − 1) / 10 = 2 得 q = 2，故 aₙ = 2ⁿ⁻¹（前若干项和 1+2+4+8+16 = 31）。
第6题：某条件是该数列满足的充分不必要条件——要警惕 aₙ 恒为 0 这一反例：此时 Sₙ = Sₙ₊₁ = aₙ = 0，前推后成立，但后推前不成立。
第7题：S₃、S₆−S₃、S₉−S₆ 成等比数列，故 (S₆−S₃)² = S₃ · (S₉−S₆)，即 S₆² = S₃(S₉−S₆)（D 项）。
第8题：Sₙ = 2·3ⁿ + 9，选 D。
第9题（压轴）：已知 Sₙ 与 aₙ 在同一式中，用作差法求通项：
- Sₙ − Sₙ₋₁ 得：aₙ = (1/3)·aₙ₋₁（n ≥ 2），故 {aₙ} 是首项 2/3、公比 1/3 的等比数列；
- 整理得 Sₙ = −10n² + 15n − 3 + 1/3ⁿ⁻¹；
- 单调性：−10n²+15n 的对称轴 n = 3/4，n ≥ 1 时递减；1/3ⁿ⁻¹ 也递减，故 n ≥ 1 时 Sₙ 单调递减，最大值在 n = 1；
- n = 1 时 S₁ = −10 + 15 − 3 + 1 = 3，于是条件化为 a(a+2) ≥ 3（或 > 3，存疑）恒成立，解得： a ∈ (−∞, −3] ∪ [1, +∞)（端点是否取等存疑待核）。

二、数列求和的两大主线与常用方法

数列两大基本问题：求通项与求和。常用求和方法：

公式法：直接套用等差、等比及幂和公式。
分组转化法：把"等差 + 等比"拆成两部分分别求和。
分奇偶项求和：奇数项、偶数项分别构成新数列处理（重点在"换项数"）。
倒序相加法：利用首尾对称性配对求和。
裂项相消法（最重要，下讲专题）。
错位相减法：等差 × 等比型，配合"苹果公式"记忆。

公式法需背诵：

Σk = n(n+1)/2
Σk² = n(n+1)(2n+1)/6
Σk³ = [n(n+1)/2]²

三、分组转化与分奇偶项求和（例题）

例1 绝对值数列求和

已知 aₙ = |22 − 2n|，求 S₅₀。

n = 1~10：20, 18, …, 2，和为 (20+2)×10/2 = 110；
n = 11：a₁₁ = 0；
n = 12~50：2, 4, …, 78，共 39 项，和为 (2+78)×39/2 = 1560；
故 S₅₀ = 110 + 0 + 1560 = 1670。

例2 等差 + 等比

已知 {aₙ} 为等差，a₅ = 13，且 a₂、a₆、a₂₂ 成等比。

用 a₅、d 表示：a₂ = 13 − 3d，a₆ = 13 + d，a₂₂ = 13 + 17d；
(13 + d)² = (13 − 3d)(13 + 17d) ⟹ 52d(3 − d) = 0，取 d = 3（d = 0 为退化情形）；
aₙ = 3n − 2；又 bₙ = 2ⁿ⁻¹（公比 2）；
Tₙ = n(3n−1)/2 + (2ⁿ − 1)。

例3（大题）"多写 / 少写一项"法求通项

已知

a₁ + 3a₂ + 5a₃ + … + (2n−1)aₙ = n(2n−1)(2n+1)/3 ……（*）

求 aₙ：

方法：把第 n−1 项也写出来（少写一项）： a₁ + 3a₂ + … + (2n−3)aₙ₋₁ = (n−1)(2n−3)(2n−1)/3；
两式相减，左边只剩 (2n−1)aₙ，右边提取公因式得 (2n−1)²；
故 aₙ = 2n−1（n = 1 时亦满足）。
同理可求 bₙ（由 bₙ₊₁ = Sₙ₊₁ 关系），可得 {bₙ} 为等比数列 bₙ = 2ⁿ⁻¹。
奇偶交错数列：令 c₂ₖ₋₁ = aₖ = 2k−1，c₂ₖ = bₖ = 2ᵏ⁻¹，则 T₂ₙ = Σ(2k−1) + Σ2ᵏ⁻¹ = n² + (2ⁿ − 1)。（注：本例系数 / 末项细节 ASR 存疑，方法如上；原稿末项与 λ·2ⁿ⁻¹ 的比较用均值不等式求 λ 下界，思路见下。）

四、由 Sₙ 求 aₙ 的分段法则（S₀ ≠ 0 必分段）

判定口诀：从 Sₙ 推 aₙ 时，若 S₀ ≠ 0 必须分段：a₁ = S₁；n ≥ 2 时 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁。
例：某等比数列前 n 项和 Sₙ = λ − 3ⁿ，求 λ。因等比不分段的 Sₙ 必满足 S₀ = 0，而 S₀ = λ − 3⁰ = λ − 1 = 0，故 λ = 1。
原理：S₀ ≠ 0 相当于在第一项上额外加了一个常量增量，使所有 Sₙ 都带这个偏差（抹不掉），故 aₙ 必分段。
应用（"挖掉烂的"）：若数列第一项不等差、从第二项起才等差，则先把"偏差的第一段"单独拿出来，对剩余正常部分用错位相减（"小苹果"）公式，再补回偏差。

五、倒序相加法（对称性求和）例题

求 S = f(1/2022) + f(2/2022) + … + f(4043/2022)，其中函数满足 f(x) + f(2−x) = 2 且 f(1) = 1（关于点 (1,1) 中心对称），且含 sin(πx) 项在配对中互相抵消。

令 xₖ = k/2022（k = 1, 2, …, 4043），则 xₖ + x_{4044−k} = 4044/2022 = 2，关于 x = 1 对称；
配对：k 与 4044−k 一对，共 2021 对，每对 f(x) + f(2−x) = 2，和为 4042；
中间项 k = 2022（x = 1）单独一项，f(1) = 1；
故 S = 4042 + 1 = 4043。
验证：计算 f(2−x)，利用 sin(π(2−x)) = −sin(πx) 抵消，剩余部分与 f(x) 相加得 2，即证对称性。

技巧：凡遇"与年份 / 大数相关的首尾对称求和"，多半考对称性，直接代中间值最快（此处代 x = 1 得 4043 个 1）。

六、裂项相消法（下讲专题）与分期付款应用

裂项思想：若能写成 aₙ = bₙ − bₙ₋₁，则求和只剩首尾：Σaₙ = bₙ − b₀。
例：形如 1/[n(n+1)(n+2)] 的裂项（具体系数下讲细讲，基本形为两项之差，求和后剩首尾）。
应用——货币时间价值与分期付款（等比数列求和）：
- 今年 100 元 ≠ 明年 100 元（货币有时间价值），借款需付利息；
- 设半年利率 r，则 100 元半年后为 100(1+r)，一年后为 100(1+r)²（复利，利滚利）；
- 折现：未来 T 元现值 = T/(1+r)ᵏ；
- 分期付款方程：借 100 元，分两次每次还 t，则 t/(1+r) + t/(1+r)² = 100，解得 t = 100(1+r)²/(2+r)（≠ 105/2，因还款越晚占用资金越久、利息应越少）；
- 房贷实例：借 800 万、30 年（360 个月）等额本息，总还款约 1600 万；连续复利极限引出自然常数 e。

本讲修正/注意点

（口误 / ASR）"普及"在本讲未出现；本讲无集合论 / 补集（C_U A）相关表述，清洗规范第 5、6 条（普及→补集、集合符号还原）不适用。
（ASR 错转）作业第 9 题 a 的范围原口述被截断，按"a 小于等于 −3 或者 a 大于等于"及 a(a+2) ≥ 3 推断为 a ∈ (−∞, −3] ∪ [1, +∞)；是否应为严格不等式 a < −3 或 a > 1 存疑待核。
（ASR 错转）例 3 右端 Σ 式口述为 (n−1)(2n−3)(2n−1)/3，与结论 aₙ = 2n−1 矛盾；按 aₙ = 2n−1 反推应为 n(2n−1)(2n+1)/3，已修正。
（ASR 错转）例 3 中"奇偶交错数列"的系数（首项错误为 −1、公差 −4；等比首项 2、公比 4）与前面 aₙ = 2n−1、bₙ = 2ⁿ⁻¹ 不一致，疑为两题混录；本稿按 aₙ = 2n−1、bₙ = 2ⁿ⁻¹ 给出规范交错求和 T₂ₙ = n² + 2ⁿ − 1，原稿末项 / λ 表达式存疑待核。
（ASR 错转）倒序相加例题的函数形式含 sin(πx) 但系数不清；其配对和为 2、f(1) = 1、结论 S = 4043 为可靠结论，函数具体解析式存疑待核。
（口误）"乙炔就会错"应为"第一问就会错"（ASR 将"第一问"误转为"乙炔"）。
（符号还原）全篇未出现需改写的集合符号；凡上下标、希腊字母、区间括号、绝对值、根号已按规范还原（如 aₙ、q、q²、2ⁿ⁻¹、(2n−1)、|22−2n|、(−∞,−3]∪[1,+∞) 等）。
（规范）本讲首次出现取值范围（作业第 9 题）即注明"强制用区间 / 集合形式"，后续 a 的范围均以集合 / 区间给出。