第15讲 大纲 · 数列求和

【概念】

• 数列两大主线：求通项、求和
• 由 Sₙ 求 aₙ 的分段判定：S₀ ≠ 0 ⟹ 必分段
• 货币时间价值 / 复利（利滚利）/ 折现
• 函数中心对称（倒序相加的对称性基础：f(x) + f(2−x) = 2）

【方法】

• 公式法（等差、等比、幂和）
• 分组转化法（等差 + 等比拆开分别求和）
• 分奇偶项求和（构造新数列，注意"换项数"：公差翻倍）
• 倒序相加法（首尾对称配对）
• 裂项相消法（aₙ = bₙ − bₙ₋₁，下讲专题）
• 错位相减法（等差 × 等比，"苹果公式"）
• "多写 / 少写一项"法：由 Σ 型等式求 aₙ
• "挖掉烂的"：处理首段偏差的分段数列
• 折现方程法：分期付款建模

【公式】

• Σk = n(n+1)/2
• Σk² = n(n+1)(2n+1)/6
• Σk³ = [n(n+1)/2]²
• 等比分段 Sₙ 必有 S₀ = 0（用于倒推 λ）
• 复利：A = P(1+r)ᵏ
• 折现：现值 = T/(1+r)ᵏ
• 分期方程：t/(1+r) + t/(1+r)² = 本金

【例题结论】

• 等比 q = −1 时中段和可为 0（命题坑点）
• 作业5：首项 1、奇和 21、偶和 10 ⟹ q = 2，aₙ = 2ⁿ⁻¹
• 作业7：S₃, S₆−S₃, S₉−S₆ 成等比 ⟹ S₆² = S₃(S₉−S₆)
• 作业9：a(a+2) ≥ 3 ⟹ a ∈ (−∞, −3] ∪ [1, +∞)（端点存疑）
• 例1 |22−2n| 前 50 项和 = 1670
• 例2 a₅ = 13 且 a₂,a₆,a₂₂ 成等比 ⟹ aₙ = 3n−2，bₙ = 2ⁿ⁻¹，Tₙ = n(3n−1)/2 + (2ⁿ−1)
• 例3 Σ(2k−1)aₖ = n(2n−1)(2n+1)/3 ⟹ aₙ = 2n−1；交错 T₂ₙ = n² + 2ⁿ−1
• 倒序相加：f(x)+f(2−x)=2, f(1)=1 ⟹ Σ_{k=1}^{4043} f(k/2022) = 4043

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