第14讲 · 等比数列前n项和、性质与等差×等比（错位相减）求和

本讲主题：等比数列前 n 项和公式（乘公比错位相减等三种推导）、等比数列的三条重要性质（分段和/分段积/奇偶项）、以及「等差×等比」型数列 a_n = (an+b)p^n 的求和（错位相减法与「苹果公式」），并梳理数列求和的三大手段与归零验算原则。

取值范围书写规矩（全讲通用）：凡涉及「取值范围」，一律用区间或集合形式作答，例如 q ∈ {−2}、n ∈ {20}、绝不可只写 q = −2 这类松散写法（注：本讲以方程求解与增根排除为主，凡出现取值结论均按此规矩以集合/区间呈现）。本讲起严格遵守。

一、等比数列前 n 项和公式

设等比数列 {a_n} 首项为 a_1、公比为 q、项数为 n，其前 n 项和 S_n 分两种情况：

当 q = 1（常数列）：S_n = n·a_1。
当 q ≠ 1：
```
S_n = a_1·(1 − q^n) / (1 − q) = a_1·(q^n − 1) / (q − 1)
```
这是用得最多的形式（q = 1 时退化为 n·a_1，不可用上式分母为零）。

推导一：乘公比错位相减法（核心方法）

S_n   = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + … + a_1 q^{n−1}
q·S_n =       a_1 q + a_1 q^2 + … + a_1 q^{n−1} + a_1 q^n

两式相减（上式减下式），中间项全部抵消，仅剩首尾：

(1 − q)·S_n = a_1 − a_1 q^n = a_1(1 − q^n)
⇒ S_n = a_1·(1 − q^n) / (1 − q)

「错位相减」的含义：乘 q 后，第二项对齐第一项、第三项对齐第二项……头尾各多出来一项，相减时中间整齐消去。

推导二：连比性质法

由 a_2/a_1 = a_3/a_2 = … = a_n/a_{n−1} = q，把这一串连等式相加可构造关于 S_n 的分式方程，解出 S_n 仍得同一结果。

推导三：递归构造法

S_n = a_1 + q(a_1 + … + a_{n−1}) = a_1 + q·S_{n−1}

又 S_{n−1} = S_n − a_n，代入得

S_n = a_1 + q(S_n − a_n)  ⇒  (1 − q)S_n = a_1 − q·a_n
⇒ S_n = (a_1 − q·a_n) / (1 − q)

与前述公式一致（将 a_n = a_1 q^{n−1} 代入即可验证）。三种思路殊途同归，最常用的是第一种。

教材第 109 页对此有梳理，重点是用方法推导而非死记公式。

二、等比数列的重要性质

性质 1：分段和成等比

设等比数列公比 q ≠ −1，S_n 为其前 n 项和，则

S_n,   S_{2n} − S_n,   S_{3n} − S_{2n}

三者成等比数列，公比为 q^n。

三段分别对应第 1~n 项、第 n+1~2n 项、第 2n+1~3n 项的和。
下一段每个数都是上一段对应数的 q^n 倍，故三段的和也成等比，公比 q^n。
坑点：q = −1 时数列形如 1, −1, 1, −1, …，则 S_2 = S_4 = S_6 = 0，出现 0 项；等比中项不能含 0，故必须 q ≠ −1。

性质 2：分段积成等比

设 T_n = a_1·a_2·…·a_n（前 n 项积），则

T_n,   T_{2n}/T_n,   T_{3n}/T_{2n}

三者成等比数列，公比为 q^{n²}。

解释：每段取连续 n 项之积；下一段每个数都是上一段对应数的 q^n 倍，n 个数相乘即 (q^n)^n = q^{n²}，故公比 q^{n²}。
此性质用得较少，但证明思路同性质 1（看图中每行均是上一行的 q 倍，连续 n 行相乘得 q^{n²}）。

性质 3：奇偶项关系

取偶数项、奇数项分别求和。当总项数为偶数 2n 时：

(a_2 + a_4 + … + a_{2n}) = q·(a_1 + a_3 + … + a_{2n−1})

即偶数项和 = q × 奇数项和（下面每行是上面每行的 q 倍）。项数为 2n+1（奇数）时有另一形式，本讲较少使用。

三、例题精讲

例题 1（课本练习：已知 `s_3=6, a_3=8, a_1+a_2=−2`）

由 a_3 = 8 得 a_2 = 8/q，a_1 = 8/q²；又 a_1 + a_2 = −2：

8/q² + 8/q = −2  ⇒  8 + 8q = −2q²  ⇒  q² + 4q + 4 = 0  ⇒  (q + 2)² = 0
⇒  q = −2

于是 a_2 = −4，a_1 = 2，数列前五项为 2, −4, 8, −16, 32。前五项之和：

S_5 = 2 − 4 + 8 − 16 + 32 = 22

结论：q = −2，S_5 = 22。

例题 2（分段和性质：已知各项为正，`s_10=10, s_30=30`，求 `s_20`）

设 s_20 = T。由性质 1，s_10, s_20−s_10, s_30−s_20 成等比，故

(s_20 − s_10)² = s_10·(s_30 − s_20)
(T − 10)² = 10·(30 − T)
⇒ T² − 20T + 100 = 300 − 10T  ⇒  T² − 10T − 200 = 0
⇒ T = 20  或  T = −10

检验排除增根：因各项为正，s_10 > 0；又 s_20 − s_10 = s_10·q^{10}，其中 q^{10} > 0，故 s_20 − s_10 > 0，即 s_20 > s_10 = 10。T = −10 与之矛盾，舍去。结论：s_20 = 20（此时 q = 1，为常数列，每项均 = 1）。

注意：等比中项只是必要条件，还需结合「各项为正」等条件排除增根。若分段取 3 段（如 s_3, s_6, s_9），乘数变为 q³，情形又不同，须具体分析。

例题 3（第 114 页练习）

题一：s_8 = 17。
题二（移项正确）：把右侧 s_3 移到左边，s_4 − s_3 = a_4；结合 a_2 + a_4 = 3a_1 + a_3 = 6，可解得公比为 1/2。答案选 A。

例题 4（比值/递减判断：选「不正确」项）

已知 a_{2021}·a_{2022} > 1，且后项比前项小（公比 q < 1，递减数列），首项为正。

A 项：「公比 > 1」——错误（应为递减，q < 1），故 A 不正确。
B 项：前 2022 项和 > 前 2021 项和（因所加 a_{2022} > 0）——正确。
C 项：a_{2021}·a_{2022} = a_{2022}² < 1——正确（两项一大于 1、一小于 1，乘积 < 1）。
D 项：T_{2021} 是最大项（前面各项均 > 1，乘到 a_{2022} < 1 后开始变小）——正确。

结论：选 A（不正确项）。

例题 5（`a_{n+1} = 2S_n`，第 115 页，选 A）

由 a_{n+1} = 2S_n 及 a_n = 2S_{n−1}（n ≥ 2）相减：

a_{n+1} − a_n = 2a_n  ⇒  a_{n+1} = 3a_n   (n ≥ 2)

故从第 2 项起是公比为 3 的等比数列。又

a_2 = 2S_1 = 2a_1

而 a_2 与 a_1 不成此比例，因此通项为分段函数：

a_n = a_1,                        n = 1
a_n = 2a_1·3^{n−2},              n ≥ 2

易错点：a_1 不满足 n ≥ 2 时的等比关系，必须分段，不能把整个数列当成等比数列。

四、等差×等比型数列 `a_n = (an+b)p^n` 的求和

形如「等差数列 × 等比数列」的数列，求和统一用乘公比错位相减法。

演示：`a_n = n·2^n`

S_n   = 1·2 + 2·2² + … + (n−1)·2^{n−1} + n·2^n
2S_n  =       1·2² + … + (n−1)·2^n     + n·2^{n+1}

相减：

−S_n = 2 + 2² + … + 2^n − n·2^{n+1}

中间为等比数列求和：2 + 2² + … + 2^n = 2^{n+1} − 2，故

−S_n = (2^{n+1} − 2) − n·2^{n+1}
S_n = (n − 1)·2^{n+1} + 2

验算：S_1 = 1·2 = 2，公式给 (1−1)·2² + 2 = 2 ✓；S_2 = 2 + 8 = 10，公式给 (2−1)·2³ + 2 = 10 ✓。

苹果公式（小苹果 / 大苹果口诀）——免错位相减繁算

一般形式：a_n = (an + b)·p^n（a, b 为等差部分系数，p 为等比公比）。

其前 n 项和形如

S_n = (A·n + B)·p^n − B

其中两个常数由口诀确定：

小苹果（A） = a·p / (p − 1)
大苹果（B） = (a_1 − A·p) / (p − 1)　（a_1 为数列首项）

求出 A, B 后直接套上式即可，再复杂的等差×等比求和都能秒杀。

示例：`a_n = (5n + 2)·4^n`

热身：老师先以 a_n = (1/3)·2^{n−1}·(5n+2) = (1/6)(5n+2)·2^n 引入（前面 1/6 为常数因子，求和中整体乘回），为演示方便将公比改为 4，得 a_n = (5n+2)·4^n 用于下面完整计算。

a = 5, b = 2, p = 4，首项 a_1 = (5·1 + 2)·4 = 28。

A = 5·4/(4−1) = 20/3
B = (a_1 − A·p)/(p−1) = (28 − (20/3)·4)/3 = (28 − 80/3)/3 = (4/3)/3 = 4/9

故

S_n = ((20/3)·n + 4/9)·4^n − 4/9

验算首项：S_1 = (20/3 + 4/9)·4 − 4/9 = (64/9)·4 − 4/9 = 252/9 = 28 = a_1 ✓。

若通项前有常数因子（如 c·(an+b)p^n），因求和是线性的，先算 (an+b)p^n 的和再乘 c 即可。

五、数列求和的三大手段、归零原则与列项相消

三类求和手段

对称求和（首尾配对定值）：如等差数列首尾相加、抽象函数的倒序相加。
错位相减：等比数列，以及等差×等比型（本讲重点）。
列项相消：将通项写成 b_{n+1} − b_n，则 S_n = b_{n+1} − b_1（中间全消）。

归零原则（`S_0 = 0`）

所有前 n 项和公式都满足「代 n = 0 得 0」：

等差：S_n = An² + Bn，n = 0 ⇒ 0；
等比：S_n = a_1(q^n − 1)/(q − 1)，n = 0 ⇒ 0；
苹果公式：S_n = (An+B)p^n − B，n = 0 ⇒ B − B = 0。

故求和公式可带 n = 0 验算，是最可靠的检验手段之一。

列项相消法（了解，非解题必需）

用待定系数法将 a_n = (an+b)p^n 写成 b_{n+1} − b_n 的形式（如 [μ(n+1)+ν]·p^{n+1} − [μn+ν]·p^n），解出的待定系数 μ, ν 即对应苹果公式的 A, B。考试中不必现场推导——用苹果公式更快。

验算的重要性

求和算完务必取前 1~2 项代入验算（如 S_1）；草稿纸上用苹果公式算好 A, B，正式作答可写出错位相减的框架步骤，再以「经计算」直接给出结果，既规范又保险。

六、本讲作业答案速览（第 9、10 讲）

第 9 讲（等差数列）答案要点

第 1 题（多选题）：下列一定是等差数列的 —— 选 A、C。
第 2 题：s_8 / s_16 = 5/14。
第 3 题：2n 项数列的项数 = 8。
第 4 题：S_n、T_n 是否有最大值 —— 选 C（一最小、一最大）。
第 5 题：s_6 < s_7, s_7 > s_8 的真命题 —— 选 A、B、D。
第 6 题：石板总数 = 3402。
第 7 题（多选题）：整数 n 的值 —— 选 A、C、D。
第 8 题：S_n = cn² − 3n + 1，正确项 —— 选 B。
第 9 题：n = 20。
第 10 题：前 20 项和 = 270（通项为 2n）。

第 10 讲（等比数列）答案要点

第 1 题：选 A、C。
第 2 题：选 C。
第 3 题：a_7 = −64。
第 4 题：a_1·a_4 = —— 选 B。
第 5 题：a_3 + a_5 = —— 选 A。
第 6 题：不正确项 —— 选 B。
第 7 题：最大项 —— 选 A、B。
第 8 题：K = 1；第二问通项含 (√2)^{n−1} 一类形式（具体表达式存疑待核，以教材为准）。

本讲修正/注意点

以下为静默修正项（口误 / ASR 错转 / 存疑项），便于追溯：

「弦 N 项和」→「前 n 项和」：全讲 ASR 将"前"误为"弦"，已统一修正。
「公里」→「公比 q」：多处将"公比"误为"公里"，已还原为 q。
「成功比」「乘积比」→「乘公比」：错位相减法的"乘公比"步骤，已修正（如"乘公比错位相减法"名称还原）。
「等差数类」→「等比数列」（原文第 29 行附近）：术语还原。
「N 项的 G」「积的情况下公比」中"G"→「积」：T_n 表示前 n 项积，已修正。
「the tnt rn」「t3除以t2n」等英文碎片 → 数学式 T_{2n}/T_n、T_{3n}/T_{2n}：ASR 残留英文，已还原为分式下标。
「good and 平方次方」「QN 的平方」→ q^{n²}：分段积性质的公比，已还原指数 n²。
「2n 加一项」→「2n+1 项」：性质 3 中项数为奇数时的另一种形式。
「爱豆」「偶像」→「各项」：如"各项均为正数"，多处已修正。
「横为一」→「各项为 1（常数列，q = 1）」：s_10=10, s_20=20, s_30=30 对应 q=1 常数列。
「圆圆一半」→「公比为 1/2」：例题 3 的公比。
「过圆点」→「过原点（S_0 = 0）」：归零原则表述，已修正。
例题 2 增根检验逻辑：原文含"Q 的十次方可以是复数"等混乱表述，实为"各项为正 ⇒ s_20−s_10 = s_10·q^{10} > 0 ⇒ s_20 > 10"，已据数学逻辑修正并删除"复数"误述。
苹果公式常数规范：原文"小苹果/大 APP/A/B"混用，已统一为 小苹果 A = a·p/(p−1)、大苹果 B = (a_1 − A·p)/(p−1)，并明确 A 为 n 的系数、B 为常数项。
示例 a_n = (5n+2)·4^n 的首项：原文"4728"等乱码，按 (5·1+2)·4 = 28 还原 a_1 = 28；并用 A=20/3, B=4/9 反验 S_1 = 28 自洽。
「列相消法」「列下香消法」→「列项相消法」；「列相减」即错位相减，已规范。
待定系数法推导中的"缪""MBA""nbda""LAMBDA"→ 希腊字母 μ, λ（形如 μ(n+1)+ν）：属了解性内容，按数学惯例还原。
老师玩笑"经周密计算"：指考试作答可写"经计算"直接给出求和结果，但需在草稿纸上用苹果公式 + 验算确认；非数学错误，按原意保留为解题技巧提示。
本讲未触发集合论术语规则：全讲为数列内容，未出现"普及→补集"、"∈/⊆/⊊/∪/∩/C_U A"等集合论符号，相关修正规则本讲不适用。
存疑待核 — 作业第 10 讲第 8 题第二问："根号二的 N 减一的平方次方"表述失真，原通项含 (√2)^{n−1} 一类形式，具体表达式以教材为准。
存疑待核 — 例题 4 完整题干：老师口述仅给出判断结论（选 A 为不正确项），原题出自课本"辨识题"，完整题号与选项以教材为准。