第14讲 大纲 · 等比数列前n项和、性质与等差×等比（错位相减）求和

【概念】

• 等比数列前 n 项和 S_n
  • 定义：首项和 S_n = a_1 + a_1 q + … + a_1 q^{n−1}
  • 取值分支：q = 1 与 q ≠ 1 两种情形
• 分段和 / 分段积
  • S_n, S_{2n}−S_n, S_{3n}−S_{2n} 成等比（公比 q^n，须 q ≠ −1）
  • T_n, T_{2n}/T_n, T_{3n}/T_{2n} 成等比（T_n 为前 n 项积，公比 q^{n²}）
• 奇偶项关系
  • 项数 2n 时：偶数项和 = q × 奇数项和
• 苹果公式参数
  • 小苹果 A = a·p/(p−1)、大苹果 B = (a_1 − A·p)/(p−1)
• 归零原则
  • 一切前 n 项和公式满足 S_0 = 0

【方法】

• 乘公比错位相减法（核心）
  • 写出 S_n 与 q·S_n，错位对齐后相减，中间项抵消得 (1−q)S_n
• 连比性质法
  • 利用 a_{k+1}/a_k = q 构造分式方程解 S_n
• 递归构造法
  • S_n = a_1 + q·S_{n−1} = a_1 + q(S_n − a_n) 导出
• 分段和性质应用（排除增根）
  • 用等比中项列方程后，须结合"各项为正"等条件剔除使某段和为负的增根
• 奇偶项拆分
  • 总项数偶（2n）时直接套偶数项和 = q× 奇数项和
• a_{n+1}=2S_n 型分段法
  • 两式相减得 n≥2 时的等比关系，再单独求 a_2=2a_1，通项为分段函数
• 苹果公式套用
  • 识别 a_n=(an+b)p^n → 求 A, B → 代 S_n=(An+B)p^n − B
• 三类求和方法归集
  • 对称求和 / 错位相减 / 列项相消
• 归零原则验算
  • 代 n=0 或取前 1~2 项（S_1）验证求和公式
• 列项相消（待定系数，了解）
  • 将 a_n 写成 b_{n+1}−b_n，解 μ, ν 即对应 A, B

【公式】

• 前 n 项和（q=1）：S_n = n·a_1
• 前 n 项和（q≠1）：S_n = a_1(1−q^n)/(1−q) = a_1(q^n−1)/(q−1)
• 性质1（分段和）：S_n, S_{2n}−S_n, S_{3n}−S_{2n} 成等比，公比 q^n（q≠−1）
• 性质2（分段积）：T_n, T_{2n}/T_n, T_{3n}/T_{2n} 成等比，公比 q^{n²}
• 性质3（奇偶项）：(a_2+a_4+…+a_{2n}) = q(a_1+a_3+…+a_{2n−1})
• 苹果公式和：S_n = (A·n + B)·p^n − B
• 小苹果：A = a·p/(p−1)
• 大苹果：B = (a_1 − A·p)/(p−1)
• 等差前 n 项和：S_n = An² + Bn（满足 S_0=0）

【例题结论】

• 例题1（基本量）：由 s_3=6, a_3=8 得 q = −2，数列 2,−4,8,−16,32，S_5 = 22
• 例题2（分段和性质）：各项为正、s_10=10, s_30=30 ⇒ s_20 = 20（舍 −10 增根）；等比中项仅是必要条件
• 例题3（公比）：s_4−s_3=a_4，结合条件得公比 = 1/2，选 A
• 例题4（递减判断）：a_{2021}·a_{2022}>1 且递减 ⇒ 公比 <1，选 A（不正确项）
• 例题5（分段通项）：a_{n+1}=2S_n ⇒ n≥2 时 a_{n+1}=3a_n，a_2=2a_1，通项为分段函数，选 A
• 演示（错位相减）：a_n = n·2^n ⇒ S_n = (n−1)·2^{n+1} + 2
• 苹果公式示例：a_n = (5n+2)·4^n ⇒ A=20/3, B=4/9，S_n = ((20/3)n + 4/9)·4^n − 4/9
• 易错（分段）：a_{n+1}=2S_n 中 a_1 不满足 n≥2 的等比关系，必须分段写通项

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