知知数 · 高中数学
第 18 讲 · 第四章 导数及其应用

第18讲：导数的概念与基本运算

从平均变化率建立导数，学习基本求导、链式法则和切线方程。

对应讲义第 130–160 页按课堂重点重排
本讲原始资料完整大纲完整讲稿

学习目标

  • 能从平均变化率理解瞬时变化率，写出导数定义并说明其几何意义。
  • 能区分导函数与某点导数值，熟练使用基本求导公式、四则运算和链式法则。
  • 能根据切点求切线斜率与方程，并检查切点是否在原函数图像上。

前置知识

需要熟悉函数图像、单调性、极限的直观意义和基本代数运算。

核心概念

概念与定义

  • 平均变化率：函数两点连线斜率 = Δy/ΔxΔy/Δx（割线斜率）
  • 瞬时变化率：ΔT→0ΔT → 0 时平均速度的极限
  • 导数定义：f′(x0)=limΔx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]/Δxf'(x₀) = lim_{Δx→0} [f(x₀+Δx) − f(x₀)] / Δx
  • 导函数 f′(x)f'(x) 与单点导数值 f′(x0)f'(x₀) 的区别（前者是函数，后者是一个数）
  • 单调性判定：f′(x)>0f'(x) > 0 递增，f′(x)<0f'(x) < 0 递减
  • 导数的几何意义：该点切线斜率
  • 链式法则：dy/dx=(dy/du)⋅(du/dx)dy/dx = (dy/du)·(du/dx)（换元 u=g(x)u = g(x)）
  • 截距公式：已知两点求坐标轴截距

老师讲解

方法与解题路线

导数题先写定义域，再求导、判断符号并回到原函数；单调区间用中文的和字连接，不把不同区间写成一个并集性质。

  • 数列构造法总览：隐藏 SnSₙ 型（错位相减）、因式分解、累加、待定系数、同除构造等差、取倒数
  • 裂项相消：1/[(2k−1)(2k+1)]=(1/2)[1/(2k−1)−1/(2k+1)]1/[(2k−1)(2k+1)] = (1/2)[1/(2k−1) − 1/(2k+1)]
  • 周期数列找规律
  • 导数四则运算：加减 / 数乘 / 乘法（前导后不倒 + 后导前不倒）/ 除法（分母平方、分子交叉相减）
  • 复合函数求导：换元 u=g(x)u = g(x) 后链式相乘
  • 切线方程：由 f′(x)f'(x) 定位切点横坐标 → 求纵坐标 → 点斜式化简
  • 截距公式法求圆锥曲线面积定值（避免联立）

数学公式

公式与适用条件

f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.

  • 基本初等函数导数公式表（见速查表）
  • 四则运算：(f±g)′=f′±g′(f±g)' = f'±g'；(c⋅f)′=c⋅f′(c·f)' = c·f'；(f⋅g)′=f′⋅g+f⋅g′(f·g)' = f'·g + f·g'；(f/g)′=(f′⋅g−f⋅g′)/g2(f/g)' = (f'·g − f·g')/g²
  • 链式法则：dy/dx=(dy/du)⋅(du/dx)dy/dx = (dy/du)·(du/dx)
  • 截距公式：x 截距 =(x1y2−x2y1)/(y2−y1)= (x₁y₂ − x₂y₁)/(y₂ − y₁)；y 截距 =(x1y2−x2y1)/(x1−x2)= (x₁y₂ − x₂y₁)/(x₁ − x₂)
  • 数列（本讲）：an=2/(2n−1)aₙ = 2/(2n−1)；an=(1/2)n−1aₙ = (1/2)^{n−1}；an=n(n+1)/2aₙ = n(n+1)/2；an=2⋅3n−1−1aₙ = 2·3^{n−1} − 1；an=(2n−1)⋅3naₙ = (2n−1)·3ⁿ
  • 通径长：2b2/a2b²/a
  • 椭圆 x2/4+y2=1x²/4 + y² = 1（a=2,b=1a=2, b=1）

典型例题

课堂例题结论

  • 隐藏 SnSₙ 型：an=2/(2n−1)aₙ = 2/(2n−1)
  • 因式分解型（正项）：an=(1/2)n−1aₙ = (1/2)^{n−1}
  • 累加型：an=n(n+1)/2aₙ = n(n+1)/2
  • 待定系数型 an+1=3an+1a_{n+1}=3aₙ+1：an=2⋅3n−1−1aₙ = 2·3^{n−1} − 1
  • 同除构造等差：an=(2n−1)⋅3naₙ = (2n−1)·3ⁿ
  • 抛物线 y=3x−x2y = 3x − x²，x=2x=2、Δx=0.1Δx=0.1 平均变化率 =−1.1= −1.1
  • S(t)=3t2S(t) = 3t²，v=6tv = 6t，v=18v=18 时 t=3t = 3
  • S(t)=at2+1S(t) = at² + 1，t=2t=2 处瞬时率 =8= 8 ⇒ a=2a = 2
  • 导函数图像比大小：f′(a)<f′(b)<f′(c)f'(a) < f'(b) < f'(c)，选 A
  • 切线：y=ln⁡xy = \ln x 斜率 2 ⇒ 2x−y−1−ln⁡2=02x − y − 1 − \ln 2 = 0
  • 复合函数：(cos⁡(x2))′=−2x⋅sin⁡(x2)(\cos(x²))' = −2x·\sin(x²)；(√(3x2+2))′=3x/√(3x2+2)(√(3x²+2))' = 3x/√(3x²+2)；((x2−1)n)′=n⋅(x2−1)n−1⋅2x((x²−1)ⁿ)' = n·(x²−1)^{n−1}·2x（选 D）
  • 椭圆 x2/4+y2=1x²/4 + y² = 1，通径 =1= 1，四边形面积定值 =2= 2

常见错误

易错边界

不要跳过定义域，也不要只由 f'(x)=0 就断定极值；必须检查导数在零点两侧是否变号。

方法总结

本讲速查表

学习时先明确对象、条件和范围，再从下表选择公式；做完后回到原题检查特殊情形与答案格式。

类别 关键公式 / 结论
平均变化率 Δy/ΔxΔy/Δx（割线斜率）
导数定义 f′(x0)=limΔx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]/Δxf'(x₀) = lim_{Δx→0}[f(x₀+Δx) − f(x₀)]/Δx
单调性 f′(x)>0f'(x)>0 递增；f′(x)<0f'(x)<0 递减（区间用"和"连接，不写 ∪∪）
常数 (C)′=0(C)' = 0
幂函数 (xn)′=n⋅xn−1(xⁿ)' = n·x^{n−1}
根号 / 倒数 (√x)′=1/(2√x)(√x)' = 1/(2√x)；(1/x)′=−1/x2(1/x)' = −1/x²
三角 (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x；(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = −\sin x；(tan⁡x)′=1/cos⁡2x(\tan x)' = 1/\cos²x
指数 (ex)′=ex(eˣ)' = eˣ；(ax)′=ax⋅ln⁡a(aˣ)' = aˣ·\ln a
对数 (ln⁡x)′=1/x(\ln x)' = 1/x；(logax)′=1/(x⋅ln⁡a)(log_a x)' = 1/(x·\ln a)
四则运算 (f±g)′=f′±g′(f±g)'=f'±g'；(cf)′=cf′(cf)'=cf'；(fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'；(f/g)′=(f′g−fg′)/g2(f/g)'=(f'g−fg')/g²
链式法则 dy/dx=(dy/du)⋅(du/dx)dy/dx = (dy/du)·(du/dx)
切线(ln x, 斜率2) 2x−y−1−ln⁡2=02x − y − 1 − \ln 2 = 0
复合例 (cos⁡(x2))′=−2x⋅sin⁡(x2)(\cos(x²))' = −2x·\sin(x²)；(√(3x2+2))′=3x/√(3x2+2)(√(3x²+2))' = 3x/√(3x²+2)
截距公式 x 截距 =(x1y2−x2y1)/(y2−y1)=(x₁y₂−x₂y₁)/(y₂−y₁)；y 截距 =(x1y2−x2y1)/(x1−x2)=(x₁y₂−x₂y₁)/(x₁−x₂)
椭圆 x2/4+y2=1x²/4 + y² = 1，通径 =2b2/a=1= 2b²/a = 1，面积定值 =2= 2
数列(本讲) an=2/(2n−1)aₙ=2/(2n−1)；an=(1/2)n−1aₙ=(1/2)^{n−1}；an=n(n+1)/2aₙ=n(n+1)/2；an=2⋅3n−1−1aₙ=2·3^{n−1}−1；an=(2n−1)3naₙ=(2n−1)3ⁿ

自我检查

完成后请确认

  1. 我能用极限形式写出某点的导数定义。
  2. 我能区分 f′(x) 与 f′(x₀) 的含义。
  3. 我能使用基本求导公式、四则运算和链式法则。
  4. 我能由切点求出切线斜率和切线方程。