第19讲：导数的运算与应用

学习目标

能正确求幂函数、指数函数、对数函数及复合函数的导数。
能区分“在某点处的切线”和“过某点的切线”，并通过设切点完成求解。
能由导数符号求单调区间，并把恒成立条件转化为参数范围问题。

前置知识

需要熟悉函数图像、单调性、极限的直观意义和基本代数运算。

核心概念

概念与定义

导数与单调性
- $f'(x) > 0$ ⇒ 递增； $f'(x) < 0$ ⇒ 递减
- $f'(x) ≥ 0$ （不恒为 0）⇒ 单调递增（非严格）； $f'(x) ≤ 0$ ⇒ 单调递减
- $f'(x) = 0$ 处为极值点（驻点）
两类切线问题
- 在某点处的切线：该点必在曲线上，直接求斜率代点斜式
- 过某点的切线：该点不一定在曲线上，需先设切点反求
单调区间
- 不同单调区间用「和」连接，不用 ∪
- 端点通常开区间（极值点处不取）
充分/必要条件
- $a ∈ (0, +∞)$ 能推出 $a > −1$ ⇒ $a > −1$ 是必要条件
- $a > −1$ 推不出 $a > 0$ ⇒ 非充分 ⇒ 「必要不充分条件」
取值范围书写规矩
- 一律用区间或集合，绝不写 $x > a$ 类松散不等式

老师讲解

方法与解题路线

导数题先写定义域，再求导、判断符号并回到原函数；单调区间用中文的和字连接，不把不同区间写成一个并集性质。

基本求导公式记忆法
- 八类基本初等函数导数（常数、幂、三角、指数、对数）直接默写
四则运算型：先化简再求导
- 含乘积/幂次/括号 → 先展开成多项式，逐项求导
- 比硬套乘积法则省事且不易错
复合函数求导（链式法则 / 层层剥皮）
- $y = f(g(x))$ ⇒ $y' = f'(g(x))·g'(x)$
- 由外到内逐层求导再相乘
切线：点斜式
- 在曲线上点： $y − y₀ = f'(x₀)(x − x₀)$
过曲线外点切线：设切点 + 待定系数法
- 设切点 $P(x₀, f(x₀))$ ，写出切线方程，代入外点坐标解 $x₀$
- 可能多解（对应多条切线）
对数切线：待定系数法固定形式
- $y = \ln x$ 在 $(x₀, \ln x₀)$ 处切线恒为 $y = (1/x₀)x + (\ln x₀ − 1)$
- 与给定直线比较斜率、截距求解
单调性：求导 → 判号 → 定区间
- 解 $f'(x) > 0 / < 0$ ，结合定义域写区间
- 用「和」连接，不用 ∪
含参恒成立
- 在 R 上递增 ⇒ $f'(x) ≥ 0$ 恒成立（非 $> 0$ ）
- 二次函数恒非负 ⇒ $Δ ≤ 0$ （非 $< 0$ ）

数学公式

公式与适用条件

$\displaystyle (f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).$

常数： $(C)' = 0$
幂函数： $(x^α)' = α·x^(α−1)$
三角函数： $(\sin x)' = \cos x$ ， $(\cos x)' = −\sin x$
指数： $(a^x)' = a^x·\ln a$ ， $(e^x)' = e^x$
对数： $(log_a x)' = 1/(x·\ln a)$ ， $(\ln x)' = 1/x$
链式法则： $y = f(g(x))$ ⇒ $y' = f'(g(x))·g'(x)$
复合示例： $[2(3x+1)^(−1/2)]' = −3(3x+1)^(−3/2)$ ； $[(1−2x)³]' = −6(1−2x)²$ ； $[8^(2x+B)]' = 6·ln2·8^(2x+B)$ ； $[\cos(x/3)]' = −(1/3)\sin(x/3)$ ； $(4^x)' = 4^x·ln4$
点斜式： $y − y₀ = k(x − x₀)$
对数切线通式： $y = (1/x₀)x + (\ln x₀ − 1)$ （对 $y = \ln x$ ）
恒成立判别： $f'(x) = x² − a x + 1 ≥ 0$ 对 ∀x ⇔ $Δ = a² − 4 ≤ 0$

典型例题

课堂例题结论

155 页练习： $x^(−2)→−2x^(−3)$ ； $x^14→14x^13$ ； $x^(−4)→−4x^(−5)$ ； $x^(3/5)→(3/5)x^(−2/5)$ ； $(1/3)^x→−(1/3)^x·ln3$ ；常数导数为 0
展开后求导： $x⁴−3x²−5x → 4x³−6x−5$ ； $12x^10−7x⁸−12x⁶ → 120x⁹−56x⁷−72x⁵$ ；三项乘积展开后导数形如 $3x²+12x+11$
例题 4-1：选 E；例题 4-2：答案 $10/3$ ；变式一： $M = 1$
例题 5-1：送分，选 B；例题 5-2：切点 $x=e$ ， $f'(e)=1/e$ ，选 A
例题 5-3： $y = \ln x$ 过原点切线为 $y = x/e$ ，切点横坐标 $x₀ = e$
抛物线 $y = x²$ 过 $(−1/2, −2)$ ：两条切线 $2x − y − 1 = 0$ 与 $4x + y + 4 = 0$
例题 5-4：切线 $y = (1/e²)x + 1$ ，斜率 $k = 1/e²$
变式一：切线 $y = x + C$ 与 $y = \ln x$ 相切 ⇒ $C = −1$
含参切线（2-3）：存在斜率 2 切线 ⇔ $a ∈ (0, +∞)$ ； $a > −1$ 为必要不充分条件，选 B
单调性例 1： $f(x) = (x²+1)/(x−1)$ ，递增 $(−∞, 1−√2)$ 和 $(1+√2, +∞)$ ；递减 $(1−√2, 1)$ 和 $(1, 1+√2)$
单调性例 2： $f(x) = x + 1/x$ （定义域 $x>0$ ），递减 $(0,1)$ ，递增 $(1, +∞)$
单调性例 3：三次型，递增 $(−∞, −3)$ 和 $(2, +∞)$ ，递减 $(−3, 2)$
单调性例 4： $f(x) = \sin x − x$ （区间 $(0,π)$ ）， $f'(x) = \cos x − 1 ≤ 0$ ，递减 $(0, π)$
含参单调性（163 页）： $f'(x) = x² − a x + 1$ ，在 R 上递增 ⇒ $a ∈ [−2, 2]$ （须用 $≥ 0$ 与 $Δ ≤ 0$ ）
对数单调性： $f(x) = x² − x − 6 \ln x$ （定义域 $x>0$ ），递减 $(0, 2)$ ，递增 $(2, +∞)$
抛物线作业（前期单元）：标准方程/焦点选 C；点 P、点 A 选 B；轨迹为抛物线； $y₁+y₂=0$ ； $|AB|=4$ 选 C；斜率点差法选 C； $9√3$ 选 ACD

常见错误

易错边界

不要跳过定义域，也不要只由 f'(x)=0 就断定极值；必须检查导数在零点两侧是否变号。

方法总结

本讲速查表

学习时先明确对象、条件和范围，再从下表选择公式；做完后回到原题检查特殊情形与答案格式。

名称	公式 / 结论
常数导数	$(C)' = 0$
幂函数导数	$(x^α)' = α·x^(α−1)$
正弦/余弦	$(\sin x)' = \cos x$ ， $(\cos x)' = −\sin x$
指数导数	$(a^x)' = a^x·\ln a$ ， $(e^x)' = e^x$
对数导数	$(\ln x)' = 1/x$ ， $(log_a x)' = 1/(x·\ln a)$
链式法则	$y = f(g(x))$ ⇒ $y' = f'(g(x))·g'(x)$
复合示例	$[2(3x+1)^(−1/2)]' = −3(3x+1)^(−3/2)$
点斜式	$y − y₀ = k(x − x₀)$
对数切线通式	$y = (1/x₀)x + (\ln x₀ − 1)$ （对 $y = \ln x$ ）
单调性判据	$f'(x) > 0$ 增； $f'(x) < 0$ 减； $f'(x) = 0$ 极值点
单调区间连接	用「和」，不用 $\cup$
5-3 结论	$y = \ln x$ 过原点切线： $y = x/e$
抛物线 $y=x²$ 过 $(−1/2,−2)$	切线： $2x−y−1=0$ 、 $4x+y+4=0$
5-4 结论	斜率 $k = 1/e²$
变式一结论	$C = −1$
必要不充分（2-3）	存在斜率 2 切线 ⇔ $a ∈ (0, +∞)$ ； $a > −1$ 必要不充分
含参恒成立（163 页）	$f'(x)=x²−ax+1 ≥ 0$ ∀x ⇔ $a ∈ [−2, 2]$
取值范围规矩	一律区间/集合，不写 $x > a$ 类松散式

自我检查

完成后请确认

我能正确求幂、指数、对数及复合函数的导数。

我能区分「在某点处」与「过某点」两类切线题。

我能由 f′(x) 的符号写出单调区间。

我能把导数恒正或恒非负转化为参数范围。