第20讲：导数应用与综合复习

学习目标

• 能用一阶导数判断增减，用二阶导数判断图像凹凸及变化快慢。
• 能识别导数的变号零点，并据此处理“不单调”和含参数分类讨论。
• 能在导数综合题中调用圆锥曲线与数列结论，同时检查定义域、范围和特殊情形。

前置知识

需要熟悉函数图像、单调性、极限的直观意义和基本代数运算。

核心概念

概念与定义

• 凹凸性（函数图像变化趋势与导数值大小的关系）
  • 弦中点函数值 $m = (f(x₁)+f(x₂))/2$
  • 中点处函数值 $M = f((x₁+x₂)/2)$
  • 碗形（下凸）：$M < m$ ⇔ $f''(x) > 0$（如 $x²$）
  • 拱形（上凸）：$M > m$ ⇔ $f''(x) < 0$（如 $−x²$、$√x$）
  • 命名以二阶导符号为准，避免「凸/凹」歧义
• 一阶导与二阶导
  • $f'(x)$ 符号决定增减；$|f'(x)|$ 越大变化越快
  • $f'(x)$ 单调递增 ⇔ $f''(x) > 0$（上升越来越陡）
  • $f'(x)$ 单调递减 ⇔ $f''(x) < 0$（下降越来越陡）
• 变号零点
  • $f$ 在区间不单调 ⇔ $f'(x)$ 在该区间有变号零点（$f'=0$ 且左右异号）
• 圆锥曲线统一定义
  • 到定点距离 / 到定直线距离 $= e$
  • $0 < e < 1$ 椭圆；$e = 1$ 抛物线；$e > 1$ 双曲线
• 数列基本概念
  • 等差判定：$aₙ₊₁−aₙ=常数$ / $aₙ=kn+b$ / $2aₙ=aₙ₋₁+aₙ₊₁$
  • 等比中不能有 0；求和须分 $q=1$ 与 $q≠1$

老师讲解

方法与解题路线

导数题先写定义域，再求导、判断符号并回到原函数；单调区间用中文的和字连接，不把不同区间写成一个并集性质。

• 凹凸性几何判断：比较 $f((x₁+x₂)/2)$ 与 $(f(x₁)+f(x₂))/2$
• 二阶导判凹凸：看 $f''(x)$ 符号
• 单调区间求法：求导 → 通分 → 对分子符号分段
• 含参单调性分类讨论：对 $f'(x)$ 分子判别式 $Δ$ 分类（$Δ≤0$ 与 $Δ>0$）
• 「不单调」参数求解：令 $f'(x)$ 在指定区间有变号零点
• 偶函数/奇函数解不等式
  • 偶函数：$f(−x)=f(x)$，结合 $(0,+∞)$ 单调性画图
  • 奇函数：$f(−x)=−f(x)$，零点仅原点一处（$f(0)=0$ 且在正半轴递增时）
• 直线系定点：分离参数 ⇒ 令两部分各为 0 ⇒ 解交点
• 点关于直线对称点：① 中点在线上 ② 连线垂直（斜率乘积 $−1$）
• 圆系/公共弦：两圆方程相减得公共弦（相交/相切时）
• 圆有关最值：最长/最短弦、圆上点到定点距离 $d±r$、相离圆动点距离 $圆心距 ± 半径和$
• 离心率求法：齐次方程，把 $b²$ 换 $a²−c²$ 化为 $a,c$ 二次齐次
• 联立技巧（$y=kx+m$ 与椭圆）：不去分母、按次数展开、合并同类项
• 抛物线距离转化：焦点距离 ⇄ 准线距离（和最小 / 差最值）
• 数列求通项/求和
  • 裂项相消（分母=连续两项同结构之积）
  • 错位相减（等差×等比）
  • 递推：多写一项相减、除以 $qⁿ$ 构造新数列
  • $Sₙ−Sₙ₋₁$ 求 $aₙ$ 必讨论 $n=1$（定义法优先）
• 复合函数求导（链式法则）：外层求导带出内层导数

数学公式

公式与适用条件

$\displaystyle f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\qquad f''(x)>0\Rightarrow f\text{ 下凸}.$

• 凹凸性：$f((x₁+x₂)/2) ≷ (f(x₁)+f(x₂))/2$
• $x³$：$f'(x)=3x²$，$f''(x)=6x$
• 含参例：$f'(x)=(2x²−2x+a)/x$，$Δ=4(1−2a)$
  • $a ∈ [1/2, +∞)$：$f$ 在 $(0,+∞)$ 单调递增
  • $a ∈ (0,1/2)$：增 $(0,(1−√(1−2a))/2)$ 和 $((1+√(1−2a))/2,+∞)$；减两者之间
• 椭圆：$x²/a²+y²/b²=1$，$c²=a²−b²$，$e=c/a∈(0,1)$
  • 通径 $2b²/a$；准线 $x=±a²/c$
  • 焦半径 $a±ex₀$（即 $a±c·x₀/a$）
  • 焦点三角形面积 $S=b²·\tan(θ/2)$（$θ=∠F₁PF₂$）
• 双曲线：$x²/a²−y²/b²=1$，$c²=a²+b²$，$e=c/a>1$
  • 通径 $2b²/a$；焦半径 $|ex₀±a|$；渐近线 $y=±(b/a)x$
• 抛物线（以 $y²=2px$）：焦点 $(p/2,0)$，准线 $x=−p/2$，通径 $2p$
• 直线一般式：$Ax+By+C=0$，方向向量 $(B,−A)$，法向量 $(A,B)$
• 点到直线距离：$d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)$
• 圆切线替换：$x²→x₀x$，$y²→y₀y$
• 等差：$aₙ=a₁+(n−1)d$，$Sₙ=n(a₁+aₙ)/2=na₁+n(n−1)d/2$
• 等比（$q≠1$）：$Sₙ=a₁(1−qⁿ)/(1−q)$
• 弦中点函数值公式见【概念】

典型例题

课堂例题结论

• 凹凸性看图：碗形 $f((x₁+x₂)/2) < 均值$；拱形相反，均可用二阶导判定
• $x³$ 实例：$(0,+∞)$ 越增越快，$(−∞,0)$ 增但越来越慢，整体恒增
• 单调区间写法：用「和」或逗号，绝不写 ∪（如 $(−∞,−1)$ 和 $(1,+∞)$）
• 165 页基础题：第 1 题选 B；第 2 题选 C
• 含参单调性：第一问即分类讨论送分；$Δ$ 分 $≤0$ / $>0$ 两种情形
• 「不单调」：区间 $(0,1)$ 内 $f'$ 变号；本质是「既有增又有减」
• 变式一（$x·f'(x)≤0$）：$x>0$ 递减、$x<0$ 递增，选 A
• 变式二（偶函数）：$xf(x)<0$ 解集 $(−∞,−1)∪(0,1)$
• 变式三（奇函数）：$f(x−1)=0$ ⇒ $x=1$（仅原点零点）
• 直线系定点：$(2k+3)x+(5k+2)y+(7k+6)=0$ 恒过「$2x+5y+7=0$ 与 $3x+2y+6=0$」交点
• 点关于直线对称点：中点在线 + 连线垂直，解二元一次组
• 圆最值：最长弦=直径，最短弦=垂径；点到圆上距离 $d±r$
• 椭圆离心率：齐次化 $b²=a²−c²$ 后求 $e$
• 双曲线「过焦点弦最短」：须区分「过焦点」与「被焦点所在直线所截」
• 抛物线焦点弦：以 $AF$、$BF$、$AB$ 为直径的圆均与 y 轴相切
• 统一定义：$e$ 三分天下（椭圆/抛物线/双曲线）
• 等差性质：$Sₘ=Sₙ(m≠n)$ ⇒ $Sₘ₊ₙ=0$（对称轴 $m/2$）
• 数列易错：$Sₙ−Sₙ₋₁$ 求 $aₙ$ 必验 $n=1$；等比 $q≠−1$ 前提；等比无 0 项
• 取值范围规矩：一律区间/集合，绝不只写 $x>a$、$a≥1/2$ 类松散式

常见错误

易错边界

不要跳过定义域，也不要只由 f'(x)=0 就断定极值；必须检查导数在零点两侧是否变号。

方法总结

本讲速查表

学习时先明确对象、条件和范围，再从下表选择公式；做完后回到原题检查特殊情形与答案格式。

自我检查

完成后请确认

1. 我能分别说明一阶导数和二阶导数控制的图像性质。
2. 我能用二阶导数判断图像的凹凸与变化趋势。
3. 我能找出导数的变号零点并判断函数是否单调。
4. 我能在综合题结束时检查定义域、参数范围和特殊情形。