第20讲 大纲 · 函数凹凸性与导数应用 · 直线、圆、圆锥曲线与数列综合复习

【概念】

• 凹凸性（函数图像变化趋势与导数值大小的关系）
  • 弦中点函数值 m = (f(x₁)+f(x₂))/2
  • 中点处函数值 M = f((x₁+x₂)/2)
  • 碗形（下凸）：M < m ⇔ f''(x) > 0（如 x²）
  • 拱形（上凸）：M > m ⇔ f''(x) < 0（如 −x²、√x）
  • 命名以二阶导符号为准，避免「凸/凹」歧义
• 一阶导与二阶导
  • f'(x) 符号决定增减；|f'(x)| 越大变化越快
  • f'(x) 单调递增 ⇔ f''(x) > 0（上升越来越陡）
  • f'(x) 单调递减 ⇔ f''(x) < 0（下降越来越陡）
• 变号零点
  • f 在区间不单调 ⇔ f'(x) 在该区间有变号零点（f'=0 且左右异号）
• 圆锥曲线统一定义
  • 到定点距离 / 到定直线距离 = e
  • 0 < e < 1 椭圆；e = 1 抛物线；e > 1 双曲线
• 数列基本概念
  • 等差判定：aₙ₊₁−aₙ=常数 / aₙ=kn+b / 2aₙ=aₙ₋₁+aₙ₊₁
  • 等比中不能有 0；求和须分 q=1 与 q≠1

【方法】

• 凹凸性几何判断：比较 f((x₁+x₂)/2) 与 (f(x₁)+f(x₂))/2
• 二阶导判凹凸：看 f''(x) 符号
• 单调区间求法：求导 → 通分 → 对分子符号分段
• 含参单调性分类讨论：对 f'(x) 分子判别式 Δ 分类（Δ≤0 与 Δ>0）
• 「不单调」参数求解：令 f'(x) 在指定区间有变号零点
• 偶函数/奇函数解不等式
  • 偶函数：f(−x)=f(x)，结合 (0,+∞) 单调性画图
  • 奇函数：f(−x)=−f(x)，零点仅原点一处（f(0)=0 且在正半轴递增时）
• 直线系定点：分离参数 ⇒ 令两部分各为 0 ⇒ 解交点
• 点关于直线对称点：① 中点在线上 ② 连线垂直（斜率乘积 −1）
• 圆系/公共弦：两圆方程相减得公共弦（相交/相切时）
• 圆有关最值：最长/最短弦、圆上点到定点距离 d±r、相离圆动点距离 圆心距 ± 半径和
• 离心率求法：齐次方程，把 b² 换 a²−c² 化为 a,c 二次齐次
• 联立技巧（y=kx+m 与椭圆）：不去分母、按次数展开、合并同类项
• 抛物线距离转化：焦点距离 ⇄ 准线距离（和最小 / 差最值）
• 数列求通项/求和
  • 裂项相消（分母=连续两项同结构之积）
  • 错位相减（等差×等比）
  • 递推：多写一项相减、除以 qⁿ 构造新数列
  • Sₙ−Sₙ₋₁ 求 aₙ 必讨论 n=1（定义法优先）
• 复合函数求导（链式法则）：外层求导带出内层导数

【公式】

• 凹凸性：f((x₁+x₂)/2) ≷ (f(x₁)+f(x₂))/2
• x³：f'(x)=3x²，f''(x)=6x
• 含参例：f'(x)=(2x²−2x+a)/x，Δ=4(1−2a)
  • a ∈ [1/2, +∞)：f 在 (0,+∞) 单调递增
  • a ∈ (0,1/2)：增 (0,(1−√(1−2a))/2) 和 ((1+√(1−2a))/2,+∞)；减两者之间
• 椭圆：x²/a²+y²/b²=1，c²=a²−b²，e=c/a∈(0,1)
  • 通径 2b²/a；准线 x=±a²/c
  • 焦半径 a±ex₀（即 a±c·x₀/a）
  • 焦点三角形面积 S=b²·tan(θ/2)（θ=∠F₁PF₂）
• 双曲线：x²/a²−y²/b²=1，c²=a²+b²，e=c/a>1
  • 通径 2b²/a；焦半径 |ex₀±a|；渐近线 y=±(b/a)x
• 抛物线（以 y²=2px）：焦点 (p/2,0)，准线 x=−p/2，通径 2p
• 直线一般式：Ax+By+C=0，方向向量 (B,−A)，法向量 (A,B)
• 点到直线距离：d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)
• 圆切线替换：x²→x₀x，y²→y₀y
• 等差：aₙ=a₁+(n−1)d，Sₙ=n(a₁+aₙ)/2=na₁+n(n−1)d/2
• 等比（q≠1）：Sₙ=a₁(1−qⁿ)/(1−q)
• 弦中点函数值公式见【概念】

【例题结论】

• 凹凸性看图：碗形 f((x₁+x₂)/2) < 均值；拱形相反，均可用二阶导判定
• x³ 实例：(0,+∞) 越增越快，(−∞,0) 增但越来越慢，整体恒增
• 单调区间写法：用「和」或逗号，绝不写 ∪（如 (−∞,−1) 和 (1,+∞)）
• 165 页基础题：第 1 题选 B；第 2 题选 C
• 含参单调性：第一问即分类讨论送分；Δ 分 ≤0 / >0 两种情形
• 「不单调」：区间 (0,1) 内 f' 变号；本质是「既有增又有减」
• 变式一（x·f'(x)≤0）：x>0 递减、x<0 递增，选 A
• 变式二（偶函数）：xf(x)<0 解集 (−∞,−1)∪(0,1)
• 变式三（奇函数）：f(x−1)=0 ⇒ x=1（仅原点零点）
• 直线系定点：(2k+3)x+(5k+2)y+(7k+6)=0 恒过「2x+5y+7=0 与 3x+2y+6=0」交点
• 点关于直线对称点：中点在线 + 连线垂直，解二元一次组
• 圆最值：最长弦=直径，最短弦=垂径；点到圆上距离 d±r
• 椭圆离心率：齐次化 b²=a²−c² 后求 e
• 双曲线「过焦点弦最短」：须区分「过焦点」与「被焦点所在直线所截」
• 抛物线焦点弦：以 AF、BF、AB 为直径的圆均与 y 轴相切
• 统一定义：e 三分天下（椭圆/抛物线/双曲线）
• 等差性质：Sₘ=Sₙ(m≠n) ⇒ Sₘ₊ₙ=0（对称轴 m/2）
• 数列易错：Sₙ−Sₙ₋₁ 求 aₙ 必验 n=1；等比 q≠−1 前提；等比无 0 项
• 取值范围规矩：一律区间/集合，绝不只写 x>a、a≥1/2 类松散式

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