第20讲 · 函数凹凸性与导数应用 · 直线、圆、圆锥曲线与数列综合复习

本讲主题：本讲为暑假课程末讲，分两块。其一是正式讲授「函数图像变化趋势与导数值大小的关系」即凹凸性，并用一阶导、二阶导刻画；配套教材 164–165 页单调区间求法、含参函数单调性的分类讨论，以及「不单调＝存在变号零点」的判定与若干变式。其二是依复习小册子对直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线、数列做暑期综合串讲，并收尾导数基础（求导公式、复合函数求导、单调区间写法、极值与切线）。

取值范围书写规矩（全讲通用）：凡涉及「取值范围」，一律用区间或集合形式作答，例如 a ∈ [1/2, +∞)、e ∈ (0, 1)、k ∈ (−∞, 1]，绝不可只写 a ≥ 1/2 或 x > a 这类松散不等式。本讲起严格遵守，正文首次出现取值范围处亦再作提示。

一、本讲定位：导数收官 + 暑期综合复习

本讲是 20 讲暑假课的最后一讲。前半段把教材上「函数图像变化趋势和导数值大小的关系」这一节讲透——它本质上在讲凹凸性；后半段借助一本复习小册子，把整个暑假学过的主干板块（直线、圆、圆锥曲线、数列）快速过一遍，并对导数基础作收尾。

此前已统一梳理过函数的四类基本性质——单调性、奇偶性、对称性、周期性，它们都在研究「自变量的某种关系」对应「函数值的何种关系」：

单调性：自变量越大时，函数值如何变化；
奇偶性：自变量互为相反数时，函数值的关系；
对称性：自变量之和定值时，函数值相等或和为定值；
周期性：自变量之差定值时，函数值的关系。

本讲新增的凹凸性，则是从「函数图像弯曲方向」这一新角度刻画函数。

二、函数的凹凸性（凸凹性的几何刻画）

教材位置：163–164 页，标题即「函数图像的变化趋势和导数值大小的关系」，本质是凹凸性。

几何刻画：在函数图像上任取两点 x₁ < x₂，记

弦中点函数值：m = (f(x₁) + f(x₂)) / 2；
中点横坐标处的函数值：M = f((x₁ + x₂) / 2)。

比较 M 与 m 的大小，即可判断弯曲方向：

碗形（开口朝上，如 y = x²）：图像在弦的下方，故 M < m，即
```
f((x₁ + x₂)/2) < (f(x₁) + f(x₂)) / 2
```
此类称下凸（凹函数），对应 f''(x) > 0。
拱形（开口朝下，如 y = −x² 或 y = √x）：图像在弦的上方，故 M > m，即
```
f((x₁ + x₂)/2) > (f(x₁) + f(x₂)) / 2
```
此类称上凸（凸函数），对应 f''(x) < 0。

记法说明：不同教材对「凸/凹」的命名并不统一。本讲一律以二阶导符号为准——f''(x) > 0 为下凸，f''(x) < 0 为上凸，避免命名歧义。

三、一阶导与二阶导：凹凸性的导数语言（含 `x³` 实例）

一阶导决定增减：f'(x) > 0 时 f(x) 递增，f'(x) < 0 时 f(x) 递减。导数的绝对值越大，函数值变化越快。

二阶导刻画凹凸与增减的「加速度」：

f'(x) 单调递增 ⇔ f''(x) > 0：图像上升且越来越陡（碗形）；
f'(x) > 0 但 f''(x) < 0：图像上升但越来越平缓；
f'(x) 单调递减 ⇔ f''(x) < 0：图像下降且越来越陡（拱形特征）。

实例——f(x) = x³：

f(x) = x³，  f'(x) = 3x²，  f''(x) = 6x

在 (0, +∞) 上：f''(x) = 6x > 0，故 f'(x) = 3x² 单调递增，且 f'(x) > 0，于是 x³ 越增长越快；
在 (−∞, 0) 上：f''(x) = 6x < 0，故 f'(x) = 3x² 单调递减（但始终为正），于是 x³ 虽仍在增长，但增长越来越慢；
注意：x³ 在 ℝ 上恒递增（f'(x) ≥ 0），凹凸性在 x = 0 处改变（此处为拐点）。

小结：x³ 的一阶导 3x²、二阶导 6x 可作为「二阶导判断凹凸」的标准例子记在教材该页旁。

四、单调区间的求法（教材 164–165 页基础题）

即学即练四（图像题）：给出函数图像，要求据图判断 f'(x) 符号。递减段对应 f'(x) < 0，据此用排除法（不选 C）。重点是「看图说话」的方法，而非死记选项。

165 页习题口述答案：

第 1 题：选 B。
第 2 题（关于原点对称，且在 (0, +∞) 上递增）：选 C。

「求下列函数的单调区间」前两题（单调区间用「和」连接，不写 ∪）：

① 单调递增区间：(−∞, −1) 和 (1, +∞)；单调递减区间：(−1, 1)。
② 单调递增区间：(−∞, −√2) 和 (√2, +∞)；单调递减区间：(−√2, 0) 和 (0, √2)。

注意 0 是定义域断点，必须单独分开，不能把 (−√2, 0) 与 (0, √2) 合并。该函数与对勾函数 x + a/x 形态相近。

五、含参函数单调性的分类讨论（核心例题）

例题：设 f(x) 在 x > 0 上有定义（a > 0），求 f(x) 的单调区间。

先求导并通分：

f'(x) = 2x − 2 + a/x = (2x² − 2x + a) / x

分子为二次函数 g(x) = 2x² − 2x + a，判别式

Δ = (−2)² − 4·2·a = 4 − 8a = 4(1 − 2a)

取值范围书写提示（本讲首处）：下面出现的参数范围一律用区间/集合表示，如 a ∈ [1/2, +∞)、a ∈ (0, 1/2)，不写 a ≥ 1/2 之类的松散不等式。

第一种情形：Δ ≤ 0 ⇔ a ∈ [1/2, +∞)。此时 g(x) ≥ 0 恒成立（开口向上、A = 2 > 0），又 x > 0，故 f'(x) ≥ 0 恒成立，f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增。

第二种情形：0 < a < 1/2（即 Δ > 0）。g(x) = 0 两根为

x₁ = (1 − √(1 − 2a)) / 2,   x₂ = (1 + √(1 − 2a)) / 2      （两根均为正）

按 g(x) 的符号分段：

x ∈ (0, x₁) ∪ (x₂, +∞)：g(x) > 0 ⇒ f'(x) > 0 ⇒ f 递增；
x ∈ (x₁, x₂)：g(x) < 0 ⇒ f'(x) < 0 ⇒ f 递减。

故：

增区间：(0, (1 − √(1 − 2a))/2) 和 ((1 + √(1 − 2a))/2, +∞)
减区间：((1 − √(1 − 2a))/2, (1 + √(1 − 2a))/2)

方法提炼：含参单调性的第一问本质是「对 f'(x) 分子的正负作分类讨论」，通常只考分类讨论本身，是最容易拿分的送分题。一般高考导数大题第一问也多是讨论单调性。

补充一题（165 页含参题，口述答案）：某含参函数增区间为 (−3/2, −1) 和 (−1/2, +∞)，减区间为 (−1, −1/2)。其本质是一元二次方程根的分布 + 含参分类讨论，需对参数分类后再定符号。

六、「不单调」的判定：变号零点与相关变式

核心定义：f(x) 在某区间不单调 ⇔ f'(x) 在该区间内存在变号零点——即 f'(x) = 0 的根，其左右两侧 f' 符号相反（若左右同号，则不是变号零点，不影响单调性）。

方法：求参数使 f 在指定区间不单调，等价于让 f'(x) 在该区间内有变号零点。

教材第三问（口述）：不单调的区间为 (0, 1)。说明：区间内「既有增又有减」，正是 f' 在该处发生了变号。

变式一（x·f'(x) ≤ 0 型，选 A）：由 x·f'(x) ≤ 0 得

x > 0 时 f'(x) ≤ 0 ⇒ f 在 (0, +∞) 递减；
x < 0 时 f'(x) ≥ 0 ⇒ f 在 (−∞, 0) 递增。

据此判读图像可得答案（区间自 −3/2 起，选 A）。

变式二（偶函数型）：设 f 为偶函数，f(−1) = 0，在 (0, +∞) 上递增，求 x·f(x) < 0 的解集。

由偶函数 + (0, +∞) 递增 + f(1) = f(−1) = 0：得 f(x) < 0 当 |x| < 1（x ≠ 0），f(x) > 0 当 |x| > 1。
x·f(x) < 0 ⇔ x 与 f(x) 异号：
- x > 0 需 f(x) < 0 ⇒ 0 < x < 1；
- x < 0 需 f(x) > 0 ⇒ x < −1。

解集：

{x | x < −1 或 0 < x < 1} = (−∞, −1) ∪ (0, 1)

变式三（奇函数型）：设 f 为奇函数，定义在 ℝ 上，f(0) = 0，在 (0, +∞) 上递增，求 f(x − 1) = 0 的解。

奇函数 + 在 (0, +∞) 递增 + f(0) = 0 ⇒ f(t) = 0 ⇔ t = 0（仅原点一处零点）。
故 f(x − 1) = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1。

七、直线复习（五种形式、直线系、对称点）

斜率与倾斜角：斜率取值范围须注意倾斜角含 90°（此时斜率不存在）。
五种形式：点斜式、斜截式 y = kx + b、两点式、截距式、一般式 Ax + By + C = 0（最常用，可表任意直线）。方向向量 (B, −A)、法向量 (A, B)；点到直线距离公式由法向量投影得到。
两直线位置关系：用 k₁, k₂ 判定时须保证斜率存在，故一般式更稳妥。
直线系（过两定直线交点的直线族）：可设为 λ·l₁ + μ·l₂ = 0，或整理为含参式，再分离参数求定点。例：
```
(2k + 3)x + (5k + 2)y + (7k + 6) = 0
⇒ k(2x + 5y + 7) + (3x + 2y + 6) = 0
```
令 2x + 5y + 7 = 0 且 3x + 2y + 6 = 0，联立解得该直线系恒过的定点。
点关于直线的对称点：例求点 A(6, 5) 关于直线 y = 3x + 2 的对称点 B(x, y)。 ① 中点在直线上：(y + 5)/2 = 3·(x + 6)/2 + 2； ② 连线垂直于已知直线（斜率乘积为 −1）：(y − 5)/(x − 6) = −1/3。联立这个二元一次方程组即可解出 B。

八、圆复习（方程形式、圆系、位置关系、六类最值）

方程形式：标准方程 (x − a)² + (y − b)² = r²；一般方程 x² + y² + Dx + Ey + F = 0（D² + E² − 4F > 0）；直径式（已知两端点）；参数方程（类比单位圆 x = cosθ, y = sinθ；椭圆的参数方程即 x = a cosθ, y = b sinθ）。
求法：待定系数法；或几何法求圆心（垂直平分线交点等）。
圆系方程：过圆 C 与直线 L 的两交点、或过圆 C₁ 与 C₂ 的两交点（后者即公共弦所在直线方程）；轨迹方程用相关点法（代入法），如定点为中点时轨迹是半径为 1/2 的小圆。
两圆位置关系（5 种）：相交、相切时两圆方程相减得公共弦（或公切线）所在直线；相离或内含时相减意义不大（基本不考）。
与圆有关的六类最值： ① 过圆内定点 M 的最长弦（直径）、最短弦（垂直于 OM 的垂径）； ② 圆内定点到圆上点距离的最大值/最小值（d ± r）； ③ 圆外一点到圆上点距离的最大值/最小值（d ± r）； ④ 相离两圆上两动点距离的最大/最小值（圆心距 ± 两半径之和）等。
切线：切线长；切线方程替换法则 x² → x₀x, y² → y₀y（一般式同理）。
直线与圆位置：优先几何法（比较 d 与 r），联立备用。

九、椭圆复习

定义：到两定点距离之和为定值 2a（2a > |F₁F₂|）。
标准方程：x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）。
几何性质：x ∈ [−a, a]、y ∈ [−b, b]；对称性；离心率 e = c/a，其中 c² = a² − b²。
求离心率：关于 a, b, c 的齐次方程，先把 b² 换成 a² − c²，化为关于 a, c 的二次齐次式再求 e（e ∈ (0, 1)）。
通径（过焦点垂直于长轴）：2b²/a。
联立技巧（y = kx + m 与椭圆）：① 不急着去分母；② 按次数从高到低逐项展开；③ 同类项合并（典型式括号可不展开）；再用弦长公式。
椭圆上点到直线的最大距离：参数方程法 / 平行切线法。
第二定义：到定点距离与到定直线距离之比 = e（0 < e < 1）；准线 x = ±a²/c。
焦点三角形：点 P 在短轴顶点（B₁, B₂）时面积最大；面积公式
```
S = b²·tan(θ/2)      （θ = ∠F₁PF₂，亦等于 c·|y₀|）
```
焦半径：P(x₀, y₀) 到左、右焦点距离分别为 a + ex₀、a − ex₀（即 a ± c·x₀/a）。
光学性质：从一焦点出发的光线经椭圆反射后必过另一焦点。

十、双曲线复习

定义：到两定点距离之差的绝对值 = 2a。
标准方程：x²/a² − y²/b² = 1；c² = a² + b²（注意与椭圆不同）。
几何性质：实轴、虚轴；离心率 e = c/a（e > 1）；渐近线 y = ±(b/a)x；通径 2b²/a。
「过焦点弦最短」的严谨说法：过焦点且垂直于实轴的弦（通径）是过该焦点的弦中最短的；但「过焦点的直线所截得的弦」不一定过焦点本身（可能落在水平段），故最短弦须区分「过焦点」与「被焦点所在直线所截」。
准线：存在（类比椭圆）；参数方程一般不要求（sec/tan 不常用）。
切线方程：同样用 x² → x₀x, y² → y₀y 替换。
焦点三角形性质、焦半径：|ex₀ ± a|（左加右减，带绝对值）。
光学性质：从一焦点出发的光线经双曲线反射后，其反向延长线过另一焦点。
注意：直线与双曲线只有一个公共点时，可能平行渐近线（算相交，非相切）。

十一、抛物线复习

定义：到定点（焦点）距离 = 到定直线（准线）距离。
标准方程（以 y² = 2px 为例）：焦点 (p/2, 0)，准线 x = −p/2；通径（过焦点最短弦）= 2p。
开放图形：可平行对称轴（仍算相交）；与椭圆（封闭）不同，研究时不必「框在区域内」。
距离转化核心：抛物线上点到焦点距离 ⇄ 到准线距离；从而把「到定点 / 定直线距离和最小」转化为「到定直线 / 准线的水平或平行距离」问题（找和或找差）。
焦点弦性质（二级结论）：以焦点弦 AB 两端点 A、B 及 AB 为直径的圆均与 y 轴相切（以 AF、BF 为直径的圆也与 y 轴相切）。可证：两半径之和等于 |AB| 的一半。
光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于对称轴向外射出（应用于抛物面天线、电磁波发射）。

十二、圆锥曲线的统一定义

到定点距离 / 到定直线距离 = e，按 e 分三类：

0 < e < 1   ⇔  椭圆
e = 1       ⇔  抛物线
e > 1       ⇔  双曲线

十三、数列复习

常用通项/求和模型：n, 2n−1, 2ⁿ−1, 3ⁿ−1, n², n(n+1) 等；(−1)ⁿ 的表达；增减性、周期数列。
等差数列：
- 判定：aₙ₊₁ − aₙ = 常数；或 aₙ = kn + b；或中项 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁。
- 通项 aₙ = a₁ + (n − 1)d；前 n 项和 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = na₁ + n(n−1)d/2（过原点的二次函数）。
- 性质：连续等长片段和仍成等差；若 Sₘ = Sₙ（m ≠ n）则 Sₘ₊ₙ = 0，可由 Sₙ 二次函数的对称轴（根为 0 与 m，轴 m/2）理解。
- 比值技巧：若 Sₙ/Tₙ 为多项式比值，可设 Sₙ = k·n·(分子)、Tₙ = k·n·(分母)（同系数 k）处理。
- 由正到负数列：所有非负项对应最大项。
等比数列：
- 分 q = 1 与 q ≠ 1 求和；q ≠ 1 时 Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q)。
- 注意 q ≠ −1 的前提（连续 m 项和互推时）；等比中不能有 0。
递推数列：aₙ、Sₙ、aₙ 与 aₙ₋₁ 三者互推（对应求通项、求和、递推）；主要任务是「由递推求通项」。
求通项/求和：
- 裂项相消：看分母是否为「连续两项同结构之积」，如 1/[n(n+1)] = 1/n − 1/(n+1)。
- 错位相减：等差×等比型求和。
- 递推：多写一项相减；除以 qⁿ 构造新数列。
- Sₙ − Sₙ₋₁ 求 aₙ 时务必讨论 n = 1（验证 a₁ 是否满足通项），即「定义法优先」，极易失分。
数列不等式证明：放缩（转化为可裂项相消的形式）。

十四、导数基础收官

变化率与导数：基本求导公式须熟记。
四则运算求导；复合函数求导（链式法则）：如外层为 f = k·(内层) + b，求导会带出内层导数（例 (3x)' 带出 3）。
单调区间写法：用逗号或「和」隔开，例如「在 (0, 1) 和 (2, +∞) 上递增」，绝不可写 ∪ 或「并」。
极值：在附近比左右都大/小者，为极大/极小值点；出现在 f' = 0 的变号零点处。
切线：「在某点处」切线（点必在图上）；「过某点」切线（点可在图内/外，可能有多条）。
教学特点：导数基础知识少，重在后续大题技巧；暑假内容足以支撑上 110 分，130+ 的后几问技巧留待秋冬系统讲解。

本讲修正/注意点

以下为静默修正项（口误 / ASR 错转 / 存疑项），便于追溯：

「X 立方它的导函数是 23x 平方」「(x³)' = 2x 平方」→ 3x²：ASR 把「3」误转成「2 / 23」。已修正为 (x³)' = 3x²、(3x²)' = 6x。
「10 到 / ten 到这种球」→ (0, +∞)：ASR 误转区间，统一还原为 (0, +∞)。
「data / 德塔」→ Δ（判别式）：希腊字母 Δ 还原（全讲多处）。
「德塔等于 B 平方减 CC 是四倍的一减 2a」→ Δ = 4(1 − 2a)：按 Δ = B² − 4AC = 4 − 8a 还原并化简。
「终点」→ 「中点」：多处「弦中点 / 中点横坐标」被 ASR 误转为「终点」，已统一修正。
「复存到零 / 正无床 / 正 50 / 负乘到」→ (0, +∞) / (+∞) / (−∞, …)：ASR 对区间与无穷符号的误转，统一还原。
「F 一撇 S / f1撇 X / s1撇 S / f1这个 X」→ f'(x)：「一撇」即导数符号 '，统一记为 f'(x)。
「二阶导航 / 二号导航」→ 「二阶导」：ASR 误转，统一为「二阶导（函数）」。
「2 分之 fx1 加上 fx 二大于 F. 2 分之 x1 加 X 二」→ 凹凸性不等式：还原为 (f(x₁)+f(x₂))/2 ≷ f((x₁+x₂)/2)，并据碗形/拱形分两种情形。
「负二分之三到负一逗号负二分之一到正 50」→ (−3/2, −1) 和 (−1/2, +∞)：区间与「和」连接还原。
「负二分之三要开头……选 a」→ 区间自 −3/2 起，选 A：x·f'(x) ≤ 0 型变式，答案区间首项为 −3/2，选 A。
「并上」（单调区间误用 ∪）→ 「和」：按本讲规则将 ∪/「并」统一改为「和」或逗号（如 ① 增区间 (−∞, −1) 和 (1, +∞)）。
焦点三角形面积公式「B 方二分之 C」→ S = b²·tan(θ/2)（存疑待核）：口述严重失真，按标准焦点三角形面积公式复原；若原意为其它形式（如 bc 等），待核教材。
「交半径 a 减 10 / a 加 10」→ 焦半径 a ∓ ex₀：「10」即 ex₀，还原为 a − ex₀、a + ex₀（即 a ± c·x₀/a）。
双曲线焦半径「等于减 a 和 ESA 加 a」→ |ex₀ ± a|：还原为带绝对值的焦半径公式（左加右减）。
「F 等于 X 加 B」复合求导 → f = kx + b，链式法则带出系数：外层线性函数求导会带出内层导数（如 (3x)' 带出 3）。
「SM 等于 SNS，M 加 N 等于零」→ 等差数列性质 Sₘ = Sₙ ⇒ Sₘ₊ₙ = 0（存疑待核）：口述混乱，按标准等差数列前 n 项和性质复原；具体表述以教材为准。
「SN 比 TN……我们可以设」→ Sₙ/Tₙ 比值技巧：按「设 Sₙ = k·n·(分子)、Tₙ = k·n·(分母)（同系数 k）」的标准处理复原。
「线交 / 相直平 / 相离平」→ 相交 / 相切 / 相离：圆锥曲线位置关系术语还原。
含参单调性中「F 大于零」→ 按定义域 x > 0 理解（存疑待核）：口述「F 大于零」失真，结合通分后 x 在分母及根为正的答案，判定定义域为 x > 0；若原题定义域为 ℝ\{0} 或含负值，需另行核对。
「不单调」原题具体函数未给出：仅口述「不单调区间为 (0, 1)」及「既有增又有减 ⇔ f' 变号」。按方法复原「变号零点」判定逻辑；具体函数式待核教材 165 页该题。
本讲未触发集合论术语规则：全讲内容未出现「普及」「补集」「∈ / ⊆ / ⊊ / ∪ / ∩ / C_U A」等集合论符号，亦未出现「0⁰ 无意义」等细节，故相关修正规则本讲不适用（留待后续涉及集合论的讲次）。