第19讲 大纲 · 导数应用（求导公式、复合函数求导、切线方程与单调性）

【概念】

• 导数与单调性
  • f'(x) > 0 ⇒ 递增；f'(x) < 0 ⇒ 递减
  • f'(x) ≥ 0（不恒为 0）⇒ 单调递增（非严格）；f'(x) ≤ 0 ⇒ 单调递减
  • f'(x) = 0 处为极值点（驻点）
• 两类切线问题
  • 在某点处的切线：该点必在曲线上，直接求斜率代点斜式
  • 过某点的切线：该点不一定在曲线上，需先设切点反求
• 单调区间
  • 不同单调区间用「和」连接，不用 ∪
  • 端点通常开区间（极值点处不取）
• 充分/必要条件
  • a ∈ (0, +∞) 能推出 a > −1 ⇒ a > −1 是必要条件
  • a > −1 推不出 a > 0 ⇒ 非充分 ⇒ 「必要不充分条件」
• 取值范围书写规矩
  • 一律用区间或集合，绝不写 x > a 类松散不等式

【方法】

• 基本求导公式记忆法
  • 八类基本初等函数导数（常数、幂、三角、指数、对数）直接默写
• 四则运算型：先化简再求导
  • 含乘积/幂次/括号 → 先展开成多项式，逐项求导
  • 比硬套乘积法则省事且不易错
• 复合函数求导（链式法则 / 层层剥皮）
  • y = f(g(x)) ⇒ y' = f'(g(x))·g'(x)
  • 由外到内逐层求导再相乘
• 切线：点斜式
  • 在曲线上点：y − y₀ = f'(x₀)(x − x₀)
• 过曲线外点切线：设切点 + 待定系数法
  • 设切点 P(x₀, f(x₀))，写出切线方程，代入外点坐标解 x₀
  • 可能多解（对应多条切线）
• 对数切线：待定系数法固定形式
  • y = ln x 在 (x₀, ln x₀) 处切线恒为 y = (1/x₀)x + (ln x₀ − 1)
  • 与给定直线比较斜率、截距求解
• 单调性：求导 → 判号 → 定区间
  • 解 f'(x) > 0 / < 0，结合定义域写区间
  • 用「和」连接，不用 ∪
• 含参恒成立
  • 在 R 上递增 ⇒ f'(x) ≥ 0 恒成立（非 > 0）
  • 二次函数恒非负 ⇒ Δ ≤ 0（非 < 0）

【公式】

• 常数：(C)' = 0
• 幂函数：(x^α)' = α·x^(α−1)
• 三角函数：(sin x)' = cos x，(cos x)' = −sin x
• 指数：(a^x)' = a^x·ln a，(e^x)' = e^x
• 对数：(log_a x)' = 1/(x·ln a)，(ln x)' = 1/x
• 链式法则：y = f(g(x)) ⇒ y' = f'(g(x))·g'(x)
• 复合示例：[2(3x+1)^(−1/2)]' = −3(3x+1)^(−3/2)；[(1−2x)³]' = −6(1−2x)²；[8^(2x+B)]' = 6·ln2·8^(2x+B)；[cos(x/3)]' = −(1/3)sin(x/3)；(4^x)' = 4^x·ln4
• 点斜式：y − y₀ = k(x − x₀)
• 对数切线通式：y = (1/x₀)x + (ln x₀ − 1)（对 y = ln x）
• 恒成立判别：f'(x) = x² − a x + 1 ≥ 0 对 ∀x ⇔ Δ = a² − 4 ≤ 0

【例题结论】

• 155 页练习：x^(−2)→−2x^(−3)；x^14→14x^13；x^(−4)→−4x^(−5)；x^(3/5)→(3/5)x^(−2/5)；(1/3)^x→−(1/3)^x·ln3；常数导数为 0
• 展开后求导：x⁴−3x²−5x → 4x³−6x−5；12x^10−7x⁸−12x⁶ → 120x⁹−56x⁷−72x⁵；三项乘积展开后导数形如 3x²+12x+11
• 例题 4-1：选 E；例题 4-2：答案 10/3；变式一：M = 1
• 例题 4-3：核心方法——f'(1) 为常数，求导后消去，代 x=1 反求；选 B（原函数式存疑待核）
• 例题 5-1：送分，选 B；例题 5-2：切点 x=e，f'(e)=1/e，选 A
• 例题 5-3：y = ln x 过原点切线为 y = x/e，切点横坐标 x₀ = e
• 抛物线 y = x² 过 (−1/2, −2)：两条切线 2x − y − 1 = 0 与 4x + y + 4 = 0
• 例题 5-4：切线 y = (1/e²)x + 1，斜率 k = 1/e²
• 变式一：切线 y = x + C 与 y = ln x 相切 ⇒ C = −1
• 含参切线（2-3）：存在斜率 2 切线 ⇔ a ∈ (0, +∞)；a > −1 为必要不充分条件，选 B
• 单调性例 1：f(x) = (x²+1)/(x−1)，递增 (−∞, 1−√2) 和 (1+√2, +∞)；递减 (1−√2, 1) 和 (1, 1+√2)
• 单调性例 2：f(x) = x + 1/x（定义域 x>0），递减 (0,1)，递增 (1, +∞)
• 单调性例 3：三次型，递增 (−∞, −3) 和 (2, +∞)，递减 (−3, 2)
• 单调性例 4：f(x) = sin x − x（区间 (0,π)），f'(x) = cos x − 1 ≤ 0，递减 (0, π)
• 含参单调性（163 页）：f'(x) = x² − a x + 1，在 R 上递增 ⇒ a ∈ [−2, 2]（须用 ≥ 0 与 Δ ≤ 0）
• 对数单调性：f(x) = x² − x − 6 ln x（定义域 x>0），递减 (0, 2)，递增 (2, +∞)
• 抛物线作业（前期单元）：标准方程/焦点选 C；点 P、点 A 选 B；轨迹为抛物线；y₁+y₂=0；|AB|=4 选 C；斜率点差法选 C；9√3 选 ACD

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