第19讲 · 导数应用（求导公式、复合函数求导、切线方程与单调性）

本讲主题：复习基本初等函数求导公式与四则运算型求导；掌握复合函数求导（链式法则）；用导数求曲线的切线方程（区分「在某点处」与「过某点」两类问题）；用导数研究函数的单调性（求单调区间、含参恒成立问题）。

取值范围书写规矩（全讲通用）：凡涉及「取值范围」，一律用区间或集合形式作答，例如 a ∈ [−2, 2]、a ∈ (0, +∞)、k ∈ {k | k > 0}，绝不可只写 a > 0 这类松散不等式。本讲起严格遵守。

单调区间书写规矩：单调区间之间用「和」连接，不用并集符号 ∪。例如「在 (−∞, −3) 和 (2, +∞) 上递增」，不能写成 (−∞, −3) ∪ (2, +∞)。

一、基本初等函数求导公式回顾（课本 155–156 页）

导数工具先要「会求、求不错」，否则后面全错。本讲先复习基本初等函数的求导公式。

1.1 八大基本求导公式

函数	导数
`C`（常数）	`(C)' = 0`
`x^α`（`α` 为实数）	`(x^α)' = α·x^(α−1)`
`sin x`	`(sin x)' = cos x`
`cos x`	`(cos x)' = −sin x`
`a^x`（`a > 0，a ≠ 1`）	`(a^x)' = a^x·ln a`
`e^x`	`(e^x)' = e^x`
`log_a x`	`(log_a x)' = 1 / (x·ln a)`
`ln x`	`(ln x)' = 1 / x`

1.2 口述示例（对应 155 页练习）

逐题核对结果：

常数 0 → 导数为 0。
x^(−2) → 导数为 −2x^(−3)。
x^14 → 导数为 14x^13。
x^(−4) → 导数为 −4x^(−5)。
⁵√x³ = x^(3/5) → 导数为 (3/5)·x^(−2/5)。
(1/3)^x → 导数为 (1/3)^x·ln(1/3) = −(1/3)^x·ln 3。
x·ln(1/3) = −x·ln 3 → 导数为 −ln 3。
常数 −3 → 导数为 0。

说明：第 6、7 两题容易因 ln(1/3) = −ln 3 符号出错，务必先化好再写。

二、四则运算型函数：先化简（展开）再求导

对含乘积、幂次、括号的函数，不要硬套复杂法则，先展开成多项式，再逐项求导最稳妥。

2.1 示例

例：已展开多项式 f(x) = x⁴ − 3x² − 5x，则
```
f'(x) = 4x³ − 6x − 5
```
例：展开后得 f(x) = 12x^10 − 7x⁸ − 12x⁶，则
```
f'(x) = 120x⁹ − 56x⁷ − 72x⁵
```
例：形如 (x+1)(x+2)(x+3) 的三项乘积，先展开为 x³ + 6x² + 11x + 6 再求导，得
```
f'(x) = 3x² + 12x + 11
```
（直接展开比用「两撇」法则套乘积求导更省事、更不易错。）

教学强调：这类题纯粹练「熟练度」，考试一般不会直接考加减乘除求导，但它是应用的基础，务必一次练到位。

三、复合函数求导（链式法则 / 层层剥皮）

这是考试最常考、也最容易忘的点。复合函数求导核心：由外到内，逐层求导，再相乘。

3.1 法则

若 y = f(g(x))，则

y' = f'(g(x)) · g'(x)

口诀：「先对外层函数求导，再乘内层函数对 x 的导数」，一层层剥开。

3.2 示例（157 页左右复合函数练习）

y = 2(3x+1)^(−1/2)
```
y' = 2 · (−1/2)(3x+1)^(−3/2) · 3 = −3(3x+1)^(−3/2)
```
（外层 (·)^(−1/2) 求导得 −1/2 次幂，乘内层 3x+1 对 x 的导数 3；前面的 2 不动。）
y = (1 − 2x)³
```
y' = 3(1 − 2x)² · (−2) = −6(1 − 2x)²
```
（内层 1 − 2x 对 x 求导得 −2，乘出来得到 −6。）

y = 8^(2x+B)

y' = 8^(2x+B) · ln 8 · 2 = 2·ln 8 · 8^(2x+B) = 6·ln 2 · 8^(2x+B)

y = cos(x/3)
```
y' = −sin(x/3) · (1/3) = −(1/3)·sin(x/3)
```
（先把 x/3 整体当成一个量求 cos 的导，再乘 (x/3)' = 1/3。）
三角函数型（辅助角）：如 y = a·sin x + b·cos x 形式，可先用辅助角公式化为 y = √(a²+b²)·sin(x+φ)，再求导；本质是「外层三角函数求导 + 内层线性式求导」。
y = 4^x
```
y' = 4^x · ln 4
```

注意：复合函数求导只要「熟、且不出错」，后面所有应用才能做。本讲之后不再单独练纯求导，默认大家已会应用。

四、导数应用（一）：曲线的切线方程

切线问题是导数的第一个重要应用。关键是区分两类问法——一字之差，难度天差地别。

4.1 两类问题的区别

问法	含义	难度
在某点处的切线	该点一定在曲线上，直接求导得斜率，代入点斜式即可	简单（送分）
过某点的切线	该点不一定在曲线上（可在曲线外），需先设切点，再令切线过该点	较难（重点）

在曲线上点 P(x₀, y₀) 处切线：斜率 k = f'(x₀)，切线方程为
```
y − y₀ = k(x − x₀)
```
过曲线外一点 Q 的切线：先设切点 P(x₀, f(x₀))，写出在 P 处的切线方程，再代入 Q 的坐标解出 x₀（可能有多解，对应多条切线）。

4.2 例题 5-1、5-2（送分题）

5-1：基础求切线，答案选 B。
5-2：基础切线方程，答案选 A（切点在 x = e 处，f'(e) = 1/e）。

4.3 例题 5-3：对数函数过原点的切线

求 y = ln x 过原点 (0,0) 的切线。

解：

设切点为 (x₀, ln x₀)，则 f'(x) = 1/x，斜率 k = 1/x₀。
切线方程（点斜式）：
```
y − ln x₀ = (1/x₀)(x − x₀)
```

切线过原点，代入 (0,0)：

−ln x₀ = (1/x₀)(−x₀) = −1   ⇒   ln x₀ = 1   ⇒   x₀ = e

切点横坐标为 x = e，斜率 k = 1/e，切线方程为
```
y = (1/e)·x
```

关键理解：「过某点」时，要找的是切点的位置，而不是已知点本身在曲线上。

4.4 抛物线型：过曲线外一点的两条切线

例：求过曲线外点 (−1/2, −2) 作抛物线 y = x² 的切线。

解：

设切点 P(x₀, x₀²)，则 y' = 2x，斜率 k = 2x₀。
切线方程：
```
y − x₀² = 2x₀(x − x₀)
```
代入外点 (−1/2, −2)：
```
−2 − x₀² = 2x₀(−1/2 − x₀) = −x₀ − 2x₀²
```
整理得 x₀² + x₀ − 2 = 0，即 (x₀+2)(x₀−1) = 0，解得 x₀ = 1 或 x₀ = −2。

两条切线分别为：

2x − y − 1 = 0       （对应 x₀ = 1）
4x + y + 4 = 0       （对应 x₀ = −2）

启示：过曲线外一点常得到两条切线；「在某点处」只有一条。

4.5 例题 5-4 与变式一：待定系数法

对 y = ln x，已知某直线与它相切，求斜率或截距，用待定系数法。

一般地，在 (x₀, ln x₀) 处的切线可写为：
```
y = (1/x₀)·x + (ln x₀ − 1)
```
例题 5-4：若切线为 y = (1/e²)·x + 1，则比较系数得 1/x₀ = 1/e² ⇒ x₀ = e²，且 ln x₀ − 1 = 2 − 1 = 1 吻合，故斜率
```
k = 1/e²
```
变式一：若切线为 y = x + C（斜率 1），由 1/x₀ = 1 ⇒ x₀ = 1，切点为 (1, 0)，则
```
C = ln 1 − 1 = −1
```

4.6 含参切线例（课本 2-3）：存在垂直切线的条件

已知函数含参，讨论「存在斜率为 2 的切线」（即存在与斜率 −1/2 直线垂直的切线）的充要条件。

解：

设 f'(x) = 1 + a·e^x，要求存在切线斜率 = 2，即方程
```
1 + a·e^x = 2   ⇒   a·e^x = 1   ⇒   a = e^(−x)
```
有解。
因 e^(−x) > 0，故存在解等价于
```
a ∈ (0, +∞)
```
问「a > −1」是「存在该切线」的什么条件？
- 若 a ∈ (0, +∞)，则必有 a > −1（必要性成立）；
- 但 a > −1 不能推出 a > 0（充分性不成立）。
- 故 a > −1 是必要不充分条件，答案选 B。

五、导数应用（二）：函数的单调性

导数为正函数增、导数为负函数减，这是导数最核心的应用。

5.1 符号与单调性的关系

f'(x) > 0   ⇒  f(x) 单调递增
f'(x) < 0   ⇒  f(x) 单调递减
f'(x) = 0   ⇒  该点为极值点（驻点）

更完整地：

f'(x) ≥ 0（且不恒为 0）  ⇒  f(x) 单调递增（非严格）
f'(x) ≤ 0（且不恒为 0）  ⇒  f(x) 单调递减（非严格）

关键易错点：判断「在 R 上单调递增」时，应要求 f'(x) ≥ 0，不是 f'(x) > 0。因为 f'(x) = 0 在个别点（如 y = x³ 在原点）出现不影响整体递增。例：y = x³，f'(0) = 0，但函数在 R 上递增。

5.2 单调区间的求法

步骤：① 求导 f'(x)；② 解 f'(x) > 0（或 < 0）；③ 结合定义域写出单调区间。单调区间之间用「和」连接，不用 ∪。

5.3 示例

例 1：f(x) = (x² + 1)/(x − 1)（定义域 x ≠ 1）。

求导（商法则）：

f'(x) = [2x(x−1) − x²] / (x−1)² = (x² − 2x − 1) / (x−1)²

分子 x² − 2x − 1 = (x − (1−√2))(x − (1+√2))，两根为 1−√2、1+√2。

结合定义域 x ≠ 1 判号，得四个单调区间：

递增区间：(−∞, 1−√2)  和  (1+√2, +∞)
递减区间：(1−√2, 1)  和  (1, 1+√2)

绝不能写成 (1−√2, 1) ∪ (1, 1+√2)——不同单调区间不能用并集连接（类比 y = 1/x 的递减区间是 (−∞, 0) 和 (0, +∞)）。

例 2：f(x) = x + 1/x（定义域 x > 0）。

f'(x) = 1 − 1/x²

f'(x) < 0 当 x ∈ (0, 1) ⇒ 递减；
f'(x) > 0 当 x ∈ (1, +∞) ⇒ 递增。

递减区间：(0, 1)
递增区间：(1, +∞)

例 3：三次型函数（导函数两根为 −3、2）。

递增区间：(−∞, −3)  和  (2, +∞)
递减区间：(−3, 2)

例 4：f(x) = sin x − x（考虑区间 (0, π)）。

f'(x) = cos x − 1 ≤ 0

在 (0, π) 上恒有 f'(x) ≤ 0，故

递减区间：(0, π)（在 (0, π) 上单调递减）

5.4 含参单调性（恒成立问题，课本 163 页）

例：已知函数在 R 上单调递增，求参数 a 的取值范围。设 f'(x) = x² − a·x + 1（由原函数求导得到，原函数形如 f(x) = (1/3)x³ − (a/2)x² + x）。

解：

「在 R 上单调递增」⇔ 对任意 x 都有 f'(x) ≥ 0。
二次函数 x² − a x + 1 恒非负 ⇔ 其判别式
```
Δ = a² − 4 ≤ 0   ⇒   a² ≤ 4
```

故参数取值范围（集合/区间形式）：

a ∈ [−2, 2]      （即 {a | −2 ≤ a ≤ 2}）

易错：此处必须用 f'(x) ≥ 0 与 Δ ≤ 0，不能写 f'(x) > 0 与 Δ < 0——否则会漏掉端点。

5.5 对数型单调性（课本 2-3 同类）

例：f(x) = x² − x − 6·ln x，定义域 x > 0。

f'(x) = 2x − 1 − 6/x = (2x² − x − 6)/x = (2x+3)(x−2)/x

在 x > 0 下，由 x−2 的符号得：

递减区间：(0, 2)
递增区间：(2, +∞)

六、收尾：抛物线几何性质作业速查（属前期圆锥曲线单元）

本讲末尾老师核对了抛物线（圆锥曲线）单元的作业答案，属前期内容，仅列速查，不作本讲推导：

抛物线的标准方程（选 C）；
焦点坐标（选 C）；
点 P 坐标（选 B）；
点 A 坐标（选 B）；
动点轨迹为抛物线；
点 M 到准线距离（数值偏小数，存疑待核）；
焦半径关系：y₁ + y₂ = 0；
弦长 |AB| = 4（选 C）；
直线 L 的斜率（点差法，选 C）；
相关长度 9√3（选 ACD）。

说明：以上抛物线题为上一单元作业，本讲仅对答案；其推导方法（点差法、焦半径等）属圆锥曲线板块，不在本讲导数内容范围内。

本讲修正/注意点

以下为本讲在清洗过程中所作的静默修正与存疑标注，供追溯。

说话人剥离：删除全部 李悦超5866(时间戳): 前缀；删除唯一一条学生 许可可 的插话（「你看一会就来」，与教学内容无关）。
口语/闲聊删除：删除课前点名、签到、KFC 疯狂星期四、点外卖、教室灯光、减肥、朋友圈、vlog 等全部与教学无关的闲聊与英文乱码（Go go, go true、Hey、Meaningless、author 等）。
ASR 符号/术语还原：
- 「lion3 / lin3 / linx / line x0」→ ln 3 / ln x / ln x₀；
- 「Cs / S（函数语境）」→ cos / sin；「F一撇S」→ f'(x)；
- 「一加根号阿尔法」→ 1+√2（「阿尔法」α 系 ASR 将数字 2 误读）；
- 「Y 减 y0等于 K 倍的 xx0」→ y − y₀ = k(x − x₀)；
- 「缺陷」→「条件」（如「存在某切线的什么条件」）；
- 「德塔」→ Δ（判别式）；
- 「赛某点 / 再某点 / 过摩点 / 再字」→「在某点 / 过某点」；
- 「层层剥皮」保留为链式法则的形象说法；「待定系数法」「辅助角」「点斜式」按标准术语统一。
取值范围规矩落实：凡参数范围均改为区间/集合形式，如 a ∈ [−2, 2]、a ∈ (0, +∞)，正文第三节起已注明此规矩；本讲未出现只写 x > a 的松散写法。
单调区间用「和」：例 1 的四个区间、例 3 的递增区间均用「和」连接，未用 ∪。
数学重建（已据上下文确定，直接改正）：
- 例 5-3 过原点切线重建为 y = x/e，切点 x₀ = e；
- 抛物线 y = x² 过 (−1/2, −2) 的两条切线重建为 2x − y − 1 = 0 与 4x + y + 4 = 0；
- 含参切线例（2-3）重建为 f'(x) = 1 + a e^x，存在斜率 2 切线 ⇔ a ∈ (0, +∞)，a > −1 为必要不充分条件；
- 含参单调性（163 页）重建为 f'(x) = x² − a x + 1，在 R 上递增 ⇔ a ∈ [−2, 2]，对应 Δ ≤ 0；
- 对数单调性例重建为 f(x) = x² − x − 6 ln x，递减 (0,2)、递增 (2,+∞)；
- 复合函数示例 3 重建为 y = 8^(2x+B)，示例 4 重建为 y = cos(x/3)。
存疑待核项：
- 例题 4-3：原题函数式 ASR 严重失真（涉及 f'(1) 为常数、求导后「消失」的解法），具体原函数形式无法确定，仅能确认核心方法——「f'(1) 是常数，代入求导后消掉，再代 x = 1 反求」，答案选 B；原多项式/解析式存疑待核。
- 三角函数辅助角示例（3.2 第 5 题）：a·sin x + b·cos x 的具体系数与最终导数结果 ASR 失真，方法可确认、具体数值存疑待核。
- 155–156 页部分展开示例（如 4x³−6x−5、12x^10−7x^8−12x^6、3x²+12x+11）按口述整理，原多项式具体形式以口述为准，个别系数存疑待核。
- 163 页区间表述：口述为「在 R 上单递增」与「零到…上单递增」混用，按「在 R 上单调递增（Δ ≤ 0）」处理；若原题区间实为 [0, 50] 或 [0, +∞)，结论可能需调整，存疑待核。
- 抛物线作业答案：末段抛物线题为前期单元作业，仅对答案、未推导，数值（如点 M 到准线距离）ASR 失真，存疑待核。
术语「普及」→「补集」：本讲内容为导数应用，全文未出现「普及」字样，无需替换；集合符号 ∅ ⊆ ⊊ ∪ ∩ C_U A 本讲亦未涉及，故未改动。