第17讲：数列求和进阶与递推

学习目标

• 能处理对数型、幂型和交错型裂项，并准确写出相消后的首尾项。
• 能通过放缩构造可求和的上下界，再用夹逼确定范围或整数部分。
• 能用累加、累乘、配常数或特征关系处理一阶及二阶递推数列。

前置知识

需要熟悉函数、正整数、代数变形和基本不等式。

核心概念

概念与定义

• 裂项相消（列项相消）：前后两项连续同形，方可拆成「两项之差」抵消
• 对数型裂项：$\ln(商)$ → $\ln(差)$，把商的形式变两项差
• 幂型（平方分母）裂项：$1/n² − 1/(n+1)²$ 方向为小分母减大分母
• 定义优先：$Sₙ$ 与 $aₙ$ 关系求通项，$a₁$ 必单独验证
• 放缩（放大 / 缩小）：把不可求和式子变成可裂项求和
  • 证 $> X$ → 缩小仍 $> X$ ⇒ 缩小
  • 证 $< X$ → 放大仍 $< X$ ⇒ 放大
• 夹逼（放缩后裂项）：造上下界，均裂项相消，锁出整数部分
• 构造法：先构造好求的、有前后关系的数列，求完再还原 $aₙ$
• 二阶线性递推：$a_{n+2}=p a_{n+1}+q a_n$，特征方程 / 构造等比差

老师讲解

方法与解题路线

数列题先写清下标范围。由前 n 项和求通项必须单独验证 n=1，等比求和必须先判断 q=1。

• 对数裂项：$\ln\frac{(n+1)^2}{n^2} = 2[\ln(n+1)-\ln n]$
• 幂型裂项：$(4n+2)/[n²(n+1)²] = 2[1/n² − 1/(n+1)²]$
• 定义优先（两式相减）：
  • 写 $n$ 与 $n−1$ 两式相减消「带系数和」
  • $aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁$，$n ∈ {n | n ∈ N*, n ≥ 2}$；$a₁ = S₁$ 必验
• 交错裂项：$(-1)ⁿ[1/(2n−1)+1/(2n+1)]$ 正负抵消留首尾
• 放缩夹逼（根式整数部）：
  • 下界：$1/(√(2k−1)+√(2k)) > 1/2(√(2k+1)−√(2k−1))$
  • 上界：$1/(√(2k−1)+√(2k)) < 1/2(√(2k)−√(2k−2))$（取 $√0=0$）
• 构造法五型：
  • 型1 $aₙ₊₁=p aₙ+q$：配 $aₙ₊₁+t=p(aₙ+t)$，$t=q/(p−1)$
  • 型2 $aₙ₊₁=p aₙ+qⁿ$：同除 $pⁿ⁺¹$ 化相邻差
  • 型3 $aₙ₊₁=p aₙ+an+b$：配 $aₙ₊₁+k(n+1)+b₀=p(aₙ+kn+b₀)$
  • 型4 分式型：取倒数转线性
  • 型5 二阶：$aₙ₊₂−αaₙ₊₁=β(aₙ₊₁−αaₙ)$，特征方程 $r²−pr−q=0$
• 累加法 / 累乘法：相邻差累加、相邻比累乘
• 取值范围强制集合 / 区间形式（沿用项目规矩）

数学公式

公式与适用条件

$\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k).$

• 对数裂项：$\ln\frac{(n+1)^2}{n^2}=2[\ln(n+1)-\ln n]$，$Sₙ=2\ln(n+1)$
• 幂型裂项：$(4n+2)/[n²(n+1)²]=2[1/n²−1/(n+1)²]$，$Tₙ=2−2/(n+1)²$
• $Sₙ/aₙ$：$aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ (n≥2)$，$a₁=S₁$ 必验
• 例题一：$3a₁+5a₂+…+(2n+1)aₙ=n$ ⇒ $aₙ=1/(2n+1)$
• 交错裂项：$bₙ=(−1)ⁿ·4n/[(2n−1)(2n+1)]$，$Tₙ=−1+(−1)ⁿ/(2n+1)$
• 根式夹逼：$1/(√(2k−1)+√(2k))=√(2k)−√(2k−1)$
  • 下界和：$(√101−1)/2 ≈ 4.52$
  • 上界和：$5$
• 构造型1：$aₙ₊₁+t=p(aₙ+t)$，$t=q/(p−1)$
• 构造型2：$aₙ₊₁/pⁿ⁺¹ − aₙ/pⁿ = (1/p)(q/p)ⁿ$
• 构造型3：$aₙ₊₁+k(n+1)+b₀=p(aₙ+kn+b₀)$
• 二阶：$aₙ₊₂=4aₙ₊₁−3aₙ$ ⇒ $aₙ₊₂−aₙ₊₁=3(aₙ₊₁−aₙ)$

典型例题

课堂例题结论

• 对数型：$aₙ=n²$，$bₙ=\ln(aₙ₊₁/aₙ)$，则 $Sₙ=2\ln(n+1)$
• 幂型：$bₙ=(4n+2)/[n²(n+1)²]$，$Tₙ=2−2/(n+1)²$
• 例题一（定义优先）：$aₙ=1/(2n+1)$，$n=1$ 满足通式，合并
• 例题二（交错）：$Tₙ=−1+(−1)ⁿ/(2n+1)$
• 放缩夹逼题：$S = Σ 1/(√(2k−1)+√(2k))$，$S ∈ (4,5)$，$[S]=4$
• 135页 2–7：含 $aₙ=2n²$、$aₙ=4n−1$、$aₙ=2·3ⁿ⁻¹+2$（验 a₁）、 $1/Sₙ₊₁−1/Sₙ=1$ ⇒ ${1/Sₙ}$ 等差、$Sₙ=3ⁿ⁻¹$ 且 $a₅+a₆+a₇=S₇−S₄=729−27=702$
• 递推构造：$4Sₙ₊₂−8Sₙ₊₁+4Sₙ$ 化出 $aₙ₊₂−aₙ₊₁=(1/2)(aₙ₊₁−aₙ)$
• 高考格局：数列大题属较易大题；本讲覆盖第15–17题、第18题前两问，第19题难预测；次日进导数

常见错误

易错边界

不要把适用于 n≥2 的递推关系直接代入 n=1，也不要忘记等比数列不能含零项。

方法总结

本讲速查表

学习时先明确对象、条件和范围，再从下表选择公式；做完后回到原题检查特殊情形与答案格式。

自我检查

完成后请确认

1. 我能完成对数型、幂型或交错型裂项中的至少两类。
2. 我能根据证明方向选择放大还是缩小。
3. 我能构造可求和的上下界并用夹逼确定范围。
4. 我能用累加、累乘或特征关系处理递推数列。