第17讲 大纲 · 数列求和进阶（裂项相消、放缩夹逼）与递推求通项

【概念】

• 裂项相消（列项相消）：前后两项连续同形，方可拆成「两项之差」抵消
• 对数型裂项：ln(商) → ln(差)，把商的形式变两项差
• 幂型（平方分母）裂项：1/n² − 1/(n+1)² 方向为小分母减大分母
• 定义优先：Sₙ 与 aₙ 关系求通项，a₁ 必单独验证
• 放缩（放大 / 缩小）：把不可求和式子变成可裂项求和
  • 证 > X → 缩小仍 > X ⇒ 缩小
  • 证 < X → 放大仍 < X ⇒ 放大
• 夹逼（放缩后裂项）：造上下界，均裂项相消，锁出整数部分
• 构造法：先构造好求的、有前后关系的数列，求完再还原 aₙ
• 二阶线性递推：a_{n+2}=p a_{n+1}+q a_n，特征方程 / 构造等比差

【方法】

• 对数裂项：\ln\frac{(n+1)^2}{n^2} = 2[\ln(n+1)-\ln n]
• 幂型裂项：(4n+2)/[n²(n+1)²] = 2[1/n² − 1/(n+1)²]
• 定义优先（两式相减）：
  • 写 n 与 n−1 两式相减消「带系数和」
  • aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁，n ∈ {n | n ∈ N*, n ≥ 2}；a₁ = S₁ 必验
• 交错裂项：(-1)ⁿ[1/(2n−1)+1/(2n+1)] 正负抵消留首尾
• 放缩夹逼（根式整数部）：
  • 下界：1/(√(2k−1)+√(2k)) > 1/2(√(2k+1)−√(2k−1))
  • 上界：1/(√(2k−1)+√(2k)) < 1/2(√(2k)−√(2k−2))（取 √0=0）
• 构造法五型：
  • 型1 aₙ₊₁=p aₙ+q：配 aₙ₊₁+t=p(aₙ+t)，t=q/(p−1)
  • 型2 aₙ₊₁=p aₙ+qⁿ：同除 pⁿ⁺¹ 化相邻差
  • 型3 aₙ₊₁=p aₙ+an+b：配 aₙ₊₁+k(n+1)+b₀=p(aₙ+kn+b₀)
  • 型4 分式型：取倒数转线性
  • 型5 二阶：aₙ₊₂−αaₙ₊₁=β(aₙ₊₁−αaₙ)，特征方程 r²−pr−q=0
• 累加法 / 累乘法：相邻差累加、相邻比累乘
• 取值范围强制集合 / 区间形式（沿用项目规矩）

【公式】

• 对数裂项：\ln\frac{(n+1)^2}{n^2}=2[\ln(n+1)-\ln n]，Sₙ=2\ln(n+1)
• 幂型裂项：(4n+2)/[n²(n+1)²]=2[1/n²−1/(n+1)²]，Tₙ=2−2/(n+1)²
• Sₙ/aₙ：aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ (n≥2)，a₁=S₁ 必验
• 例题一：3a₁+5a₂+…+(2n+1)aₙ=n ⇒ aₙ=1/(2n+1)
• 交错裂项：bₙ=(−1)ⁿ·4n/[(2n−1)(2n+1)]，Tₙ=−1+(−1)ⁿ/(2n+1)
• 根式夹逼：1/(√(2k−1)+√(2k))=√(2k)−√(2k−1)
  • 下界和：(√101−1)/2 ≈ 4.52
  • 上界和：5
• 构造型1：aₙ₊₁+t=p(aₙ+t)，t=q/(p−1)
• 构造型2：aₙ₊₁/pⁿ⁺¹ − aₙ/pⁿ = (1/p)(q/p)ⁿ
• 构造型3：aₙ₊₁+k(n+1)+b₀=p(aₙ+kn+b₀)
• 二阶：aₙ₊₂=4aₙ₊₁−3aₙ ⇒ aₙ₊₂−aₙ₊₁=3(aₙ₊₁−aₙ)

【例题结论】

• 对数型：aₙ=n²，bₙ=\ln(aₙ₊₁/aₙ)，则 Sₙ=2\ln(n+1)
• 幂型：bₙ=(4n+2)/[n²(n+1)²]，Tₙ=2−2/(n+1)²
• 例题一（定义优先）：aₙ=1/(2n+1)，n=1 满足通式，合并
• 例题二（交错）：Tₙ=−1+(−1)ⁿ/(2n+1)
• 放缩夹逼题：S = Σ 1/(√(2k−1)+√(2k))，S ∈ (4,5)，[S]=4
• 135页 2–7：含 aₙ=2n²、aₙ=4n−1、aₙ=2·3ⁿ⁻¹+2（验 a₁）、 1/Sₙ₊₁−1/Sₙ=1 ⇒ {1/Sₙ} 等差、Sₙ=3ⁿ⁻¹ 且 a₅+a₆+a₇=S₇−S₄=729−27=702
• 递推构造：4Sₙ₊₂−8Sₙ₊₁+4Sₙ 化出 aₙ₊₂−aₙ₊₁=(1/2)(aₙ₊₁−aₙ)
• 高考格局：数列大题属较易大题；本讲覆盖第15–17题、第18题前两问，第19题难预测；次日进导数

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