第18讲 · 导数概念与基本运算（含数列收尾）

规范说明：按课程统一规范，凡涉及取值范围 / 定义域，一律用区间或集合 {x | …} 形式回答，绝不可只写 x > a 这类不等式。本讲导数公式涉及的常见定义域为：常数与多项式定义域为 R；1/x 定义域为 {x | x ≠ 0}；√x、x^{3/2} 定义域为 {x | x > 0}；ln x 定义域为 {x | x > 0}。以下口述凡涉及范围处均已按此规矩改写。此外，本讲未出现"普及"一词，故无需替换为"补集"，也未涉及 ∅ ⊆ ⊊ ∪ ∩ C_U A 等集合运算。

一、数列收尾：递推数列求通项（构造法总览）

（本讲前段对教材第 136 页练习题作收尾，所用方法均为此前已讲，此处按"构造法"体系重新梳理。）

1. 隐藏 Sₙ 型（错位相减）

已知 a₁ + 3a₂ + 5a₃ + … + (2n−3)a_{n−1} = 2(n−1) ……① 将 n 换成 n+1 得 a₁ + 3a₂ + … + (2n−3)a_{n−1} + (2n−1)aₙ = 2n ……② ② − ① 得 (2n−1)aₙ = 2，故

aₙ = 2 / (2n − 1) （n ≥ 1，验证 n = 1 成立）

2. 因式分解法（等比放缩）

由递推式可整理为 (aₙ − 2a_{n+1})(aₙ + 1) = 0。因数列为正项数列，aₙ + 1 ≠ 0，故 aₙ − 2a_{n+1} = 0，即 a_{n+1} = aₙ / 2。这是公比为 1/2 的等比数列，结合 a₁ = 1 得

aₙ = (1/2)^{n−1}

3. 累加法

a₁ = 1，且 a₂ − a₁ = 2，a₃ − a₂ = 3，…，aₙ − a_{n−1} = n。左右两边累加得

aₙ = 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2

（口述末句"结果就是个 N 分之一"指代不清，疑为后续倒数裂项法的铺垫，存疑待核，见文末注意点。）

4. 待定系数法（一次线性递推）

形如 a_{n+1} = 3aₙ + 1，a₁ = 1。两边同配常数：a_{n+1} + 1 = 3(aₙ + 1)，则 {aₙ + 1} 是公比为 3、首项 a₁ + 1 = 2 的等比数列，故 aₙ + 1 = 2·3^{n−1}，即

aₙ = 2·3^{n−1} − 1

5. 同除法构造等差

对递推式两边同除以 3^{n+1}，化为 a_{n+1}/3^{n+1} = aₙ/3ⁿ + 2/3 令 bₙ = aₙ/3ⁿ，则 b_{n+1} = bₙ + 2，{bₙ} 是首项 b₁ = 1、公差 2 的等差数列，故 bₙ = 2n − 1，即

aₙ = (2n − 1)·3ⁿ

6. 取倒数（分式型）

分式型递推直接取倒数即可化为等差 / 等比。配合裂项相消使用：

1/[(2k−1)(2k+1)] = (1/2)·[1/(2k−1) − 1/(2k+1)]

求和：Σ = (1/2)·[1 − 1/(2n+1)] = n/(2n+1)。课堂例题结论为该和等于 1/3，答案选 B（具体题设项数与 ASR 略有出入，存疑待核）。

7. 周期数列

周期数列靠"找规律"：当项呈现大幅重复时，往往与周期有关。本讲仅作提示，不展开。

二、导数引入：平均变化率与瞬时变化率

1. 平均变化率 = 割线斜率

在函数 y = f(x) 图像上取两点 P(x₁, y₁)、Q(x₂, y₂)，平均变化率为

Δy / Δx（即两点连线的斜率，也叫割线斜率）

当 Q 沿曲线无限靠近 P 时，割线逐渐变为切线。

2. 抛物线实例（平均变化率计算）

已知抛物线 y = 3x − x²，在 x₀ = 2 处取 Δx = 0.1（即从 x = 2 走到 x = 2.1）：

• x = 2 时，y = 3·2 − 2² = 2；
• x = 2.1 时，y = 3·2.1 − 2.1² = 6.3 − 4.41 = 1.89；
• Δy = 1.89 − 2 = −0.11，Δx = 0.1；
• 平均变化率 = Δy/Δx = −0.11 / 0.1 = −1.1。

结论：在 x = 2、步长 0.1 时，该抛物线的平均变化率为 −1.1。

3. 瞬时速度 / 极限

质点运动规律 S = S(t)，在 t₀ 到 t₀ + ΔT 内的平均速度为 [S(t₀+ΔT) − S(t₀)] / ΔT。当 ΔT → 0 时，平均速度无限趋近于一个常数，此常数即瞬时速度 v：

v = lim_{ΔT→0} [S(t₀+ΔT) − S(t₀)] / ΔT

（ΔT 可正可负，但不可为 0；lim 即"极限"，表示无限趋近时的取值。）

三、导数的概念与定义

1. 导数定义式

函数 y = f(x) 在 x₀ 处的导数：

f'(x₀) = lim_{Δx→0} [f(x₀+Δx) − f(x₀)] / Δx

2. 导函数 f'(x) 与单点导数值 f'(x₀)

• f'(x) 是导函数：在每一点都可导时定义出的一个新函数 y = f'(x)。
• f'(x₀) 是单点导数值：f'(x) 在 x₀ 处的确定数值。 两者不可混淆：f'(x) 是函数，f'(x₀) 是一个数。

3. 物理实例（求导定系数）

设 S(t) = at² + 1（a 为待定系数）。由定义： [S(t+Δt) − S(t)] / Δt = a[(t+Δt)² − t²] / Δt = a(2t + Δt)。 令 Δt → 0 得瞬时变化率 = 2at。 已知在 t = 2 时该值为 8，即 2a·2 = 4a = 8 ⇒ a = 2，故 S(t) = 2t² + 1。

另一例 S(t) = 3t²，瞬时速度 = 6t；若 v = 18 m/s，则 t = 3。

四、导函数与单调性关系

• 在某区间内 f'(x) > 0 ⇒ f(x) 单调递增；f'(x) < 0 ⇒ f(x) 单调递减`。
• 单调区间之间用"和"连接，不写 ∪。例如："在 (0, 1) 和 (2, +∞) 上递增"。

例题（由导数值符号判单调）： 若 f'(x₁) > 0、f'(x₂) < 0，说明 x₁ 附近单调递增、x₂ 附近单调递减，对应图像特征选 D。

例题（由导函数图像比大小）： 已知 f'(x) 在 R 上的图像如图（C 处切线斜率最大，a 处为负），则

f'(a) < f'(b) < f'(c) （导数值的几何意义就是该点切线斜率。）答案选 A。

五、基本初等函数的导数公式

下列公式须熟记、熟练运用（本讲要求 80%–90% 的题目围绕这些展开）。

tan x 求导推导（商法则）： tan x = sin x / cos x， (tan x)' = [ (sin x)'·cos x − sin x·(cos x)' ] / cos²x = (cos²x + sin²x)/cos²x = 1/cos²x。

log_a x 求导（换底公式）： log_a x = ln x / ln a，故 (log_a x)' = (1/ln a)·(1/x) = 1/(x·ln a)。

六、导数的四则运算法则

设 f、g 可导，c 为常数：

• 加减：(f ± g)' = f' ± g'
• 数乘：(c·f)' = c·f'（常数系数直接保留）
• 乘法（前导后不倒 + 后导前不倒）：(f·g)' = f'·g + f·g'
• 除法（分母平方，交叉相减）：(f/g)' = (f'·g − f·g') / g²

示例：

• (x·sin x)' = 1·sin x + x·cos x = sin x + x·cos x
• (eˣ·x)' = eˣ·x + eˣ·1 = eˣ(x + 1)
• (eˣ / x)' = (eˣ·x − eˣ·1)/x² = eˣ(x − 1)/x²
• (sin x / x)' = (cos x·x − sin x·1)/x² = (x·cos x − sin x)/x²

七、复合函数求导（链式法则）

1. 法则

若 y = f(u)、u = g(x)，则

dy/dx = (dy/du)·(du/dx) （即"y 对 x 的导数 = y 对 u 的导数 × u 对 x 的导数"。可读作 d f / d u · d u / d x，形似分式约分，但本质是链式法则。）

2. 例题

① y = cos(x²)： 令 u = x²，则 y = cos u。 dy/du = −sin u = −sin(x²)，du/dx = 2x， 故 y' = −2x·sin(x²)。

② y = √(3x² + 2)： 令 u = 3x² + 2，则 y = √u。 dy/du = 1/(2√u)，du/dx = 6x， 故 y' = 6x/(2√(3x² + 2)) = 3x/√(3x² + 2)。

③ y = (x² − 1)ⁿ： 令 u = x² − 1，则 y = uⁿ。 dy/du = n·u^{n−1}，du/dx = 2x， 故 y' = n·(x² − 1)^{n−1}·2x。对应选项 D。

八、切线方程求法（应用）

求曲线在某点（或某斜率处）的切线：

1. 由 f'(x) 确定切点横坐标（令导数值等于已知斜率）；
2. 求出切点纵坐标；
3. 点斜式写出切线方程并化简。

例题： 求 y = ln x 上斜率为 2 的切线。

• (ln x)' = 1/x = 2 ⇒ x = 1/2；
• 切点 (1/2, ln(1/2)) = (1/2, −ln 2)；
• 点斜式：y − (−ln 2) = 2(x − 1/2) ⇒ y + ln 2 = 2x − 1；
• 化简：2x − y − 1 − ln 2 = 0。

九、真题选讲：截距公式与圆锥曲线面积定值

1. 截距公式（两点求截距）

已知直线过 (x₁, y₁)、(x₂, y₂)，则：

x 轴截距 = (x₁y₂ − x₂y₁) / (y₂ − y₁) y 轴截距 = (x₁y₂ − x₂y₁) / (x₁ − x₂)

（记忆：分子都是 x₁y₂ − x₂y₁；求谁轴截距，分母就除以另一坐标之差。可由"令 x=0 或 y=0 求直线交点"直接验证。）

2. 椭圆面积定值问题（长沙市一中 / 雅礼中学期末真题）

椭圆 x²/4 + y² = 1（即 a = 2，b = 1），其通径长为 2b²/a = 2·1/2 = 1。 设动点 M(2cosθ, sinθ) 在椭圆上，A(−2, 0)（左顶点）、B(0, −1)（下顶点）。直线 MA 交 y 轴于 C，直线 MB 交 x 轴于 D。 四边形面积（因 AC ⊥ BD，面积 = ½·|AC|·|BD|）为定值：

面积 = 2

用截距公式可直接秒算：C 为 MA 的 y 轴截距，D 为 MB 的 x 轴截距，代入参数方程化简后分子分母相消，得 |AC|·|BD| = 4，故面积 = 2（定值）。具体代入与化简略，结论以"定值 2"为准（过程 ASR 较乱，存疑待核，见文末注意点）。

本讲修正/注意点

1. 口语剥离：已删除课前 / 课间所有签到点名、朋友圈闲聊、电子词典 / 游戏 / 五子棋 / 外卖等闲谈，以及 ASR 英文乱码（OK / yes / Thanks / what is your possibility / A bit wonderful / The. / So. 等）与口头禅（然后 / 就是 / 这个 / 嗯 / 那个 / 的话 / 对 / 好）。
2. 符号还原（Δ / 极限）：ASR"DATA X / DATA Y / datax"→ Δx / Δy；"德尔塔 T / 德塔 T"→ ΔT；"limit"→ 极限 lim；"t 的"→ "处"。
3. 符号还原（三角函数）：ASR"S→sin"、"C→cos"、"扩散→sin"、"扣三→cos"、"散→sin"、"science theta→sin θ"、"rcs theta / cosine theta / 再次→cos θ"、"波斯塔→cos θ"、"foursx→cos x"、"SINE→sin"、"cosine→cos"；"EX/e的x→eˣ"。
4. 符号还原（导数记号）：ASR"f1撇 / F一撇 / f一 px / 一竖杠"→ 导数记号 f'(x) / f'(x₀)；"Y等于F)"→ y = f(…)；"优→u"（链式法则中间变量 u）。
5. 符号还原（运算 / 根式）：ASR"二倍的根号X分之一"→ 1/(2√x)；"X的二分之三次方"→ x^{3/2}；"二分之三倍的X的二分之一次方"→ (3/2)√x；"三的N次方"→ 3ⁿ；"二倍的N减一"→ 2(n−1)。
6. 符号还原（正切）：ASR"tangent / tangax / tan"→ tan x；"C平方分之一"→ 1/cos²x。
7. 逻辑还原（待定系数法）：口述"把 AN 加一上面配上一个一等于三倍的 A N 加上一"→ a_{n+1}+1 = 3(aₙ+1)；首项"二"由 a₁+1 = 2 得出；已按正确逻辑还原。
8. 逻辑还原（同除法）：口述"同时去除以三的 N 加一次方"→ 两边同除以 3^{n+1}，令 bₙ = aₙ/3ⁿ 得等差；已还原。
9. 逻辑还原（抛物线实例）：ASR"从23得六减去四…6.3减去2.1的平方就是4.4…走到1.89…负1.1"混乱，依计算反推该抛物线为 y = 3x − x²（x=2 时 y=2，x=2.1 时 y=1.89，平均变化率 = −1.1），存疑待核。
10. 逻辑还原（物理实例）：口述"3D平方""德塔去应用时带三这个时刻""4a等于八 a等于二"等，还原为：S(t)=3t² 时 v=6t（t=3 时 v=18）；S(t)=at²+1 时由 t=2 处瞬时率 =8 推得 a=2。存疑待核系数细节。
11. 逻辑还原（裂项求和）：口述"一乘三分之一加上三乘五分之一…"实为 1/[(2k−1)(2k+1)] 型裂项；结论和 = 1/3 选 B，但具体项数与题设 ASR 不全，存疑待核。
12. 逻辑还原（累加末句）：口述"最后结果就是个 N 分之一"指代不明，疑为后续倒数裂项铺垫，未强行改写，存疑待核。
13. 术语核对：本讲口述未出现"普及"一词，故无需替换为"补集"；也未涉及 ∅ ⊆ ⊊ ∪ ∩ C_U A 等集合运算符号（导数与数列章节不涉及集合论）。
14. 取值范围规范：本讲无显式"求取值范围"大题，但凡涉及定义域（如 1/x、√x、x^{3/2}、ln x）均按规范以集合 / 区间表示，如 {x | x ≠ 0}、{x | x > 0}；单调区间严格用"和"连接（见第四节）。
15. 真值保留：第九节椭圆"面积定值 = 2"为口述结论；截距公式与代入化简过程 ASR 较乱，保留结论并标注存疑待核（详见第九节与本条）。