第18讲 大纲 · 导数概念与基本运算（含数列收尾）

【概念】

• 平均变化率：函数两点连线斜率 = Δy/Δx（割线斜率）
• 瞬时变化率：ΔT → 0 时平均速度的极限
• 导数定义：f'(x₀) = lim_{Δx→0} [f(x₀+Δx) − f(x₀)] / Δx
• 导函数 f'(x) 与单点导数值 f'(x₀) 的区别（前者是函数，后者是一个数）
• 单调性判定：f'(x) > 0 递增，f'(x) < 0 递减
• 导数的几何意义：该点切线斜率
• 链式法则：dy/dx = (dy/du)·(du/dx)（换元 u = g(x)）
• 截距公式：已知两点求坐标轴截距

【方法】

• 数列构造法总览：隐藏 Sₙ 型（错位相减）、因式分解、累加、待定系数、同除构造等差、取倒数
• 裂项相消：1/[(2k−1)(2k+1)] = (1/2)[1/(2k−1) − 1/(2k+1)]
• 周期数列找规律
• 导数四则运算：加减 / 数乘 / 乘法（前导后不倒 + 后导前不倒）/ 除法（分母平方、分子交叉相减）
• 复合函数求导：换元 u = g(x) 后链式相乘
• 切线方程：由 f'(x) 定位切点横坐标 → 求纵坐标 → 点斜式化简
• 截距公式法求圆锥曲线面积定值（避免联立）

【公式】

• 基本初等函数导数公式表（见速查表）
• 四则运算：(f±g)' = f'±g'；(c·f)' = c·f'；(f·g)' = f'·g + f·g'；(f/g)' = (f'·g − f·g')/g²
• 链式法则：dy/dx = (dy/du)·(du/dx)
• 截距公式：x 截距 = (x₁y₂ − x₂y₁)/(y₂ − y₁)；y 截距 = (x₁y₂ − x₂y₁)/(x₁ − x₂)
• 数列（本讲）：aₙ = 2/(2n−1)；aₙ = (1/2)^{n−1}；aₙ = n(n+1)/2；aₙ = 2·3^{n−1} − 1；aₙ = (2n−1)·3ⁿ
• 通径长：2b²/a
• 椭圆 x²/4 + y² = 1（a=2, b=1）

【例题结论】

• 隐藏 Sₙ 型：aₙ = 2/(2n−1)
• 因式分解型（正项）：aₙ = (1/2)^{n−1}
• 累加型：aₙ = n(n+1)/2
• 待定系数型 a_{n+1}=3aₙ+1：aₙ = 2·3^{n−1} − 1
• 同除构造等差：aₙ = (2n−1)·3ⁿ
• 抛物线 y = 3x − x²，x=2、Δx=0.1 平均变化率 = −1.1
• S(t) = 3t²，v = 6t，v=18 时 t = 3
• S(t) = at² + 1，t=2 处瞬时率 = 8 ⇒ a = 2
• 导函数图像比大小：f'(a) < f'(b) < f'(c)，选 A
• 切线：y = ln x 斜率 2 ⇒ 2x − y − 1 − ln 2 = 0
• 复合函数：(cos(x²))' = −2x·sin(x²)；(√(3x²+2))' = 3x/√(3x²+2)；((x²−1)ⁿ)' = n·(x²−1)^{n−1}·2x（选 D）
• 椭圆 x²/4 + y² = 1，通径 = 1，四边形面积定值 = 2

速查表