第十二讲：几种特殊函数的图象与性质、函数图象的变换

学习目标

会从解析式读出一次分式函数的渐近线、定点和取值范围。
掌握对勾函数的最值、取等点与单调区间。
能正确完成函数图像的平移、伸缩、对称与翻折。
会用“点的运动”解释图像变换，而不是只背口诀。

前置知识

需要掌握一次分式函数、均值不等式、函数单调性和奇偶性。

核心概念

本讲的两类典型函数是：

$\displaystyle y=\frac{cx+d}{ax+b}\qquad(a\ne0)$

与

$\displaystyle y=ax+\frac bx\qquad(x\ne0).$

图像变换要始终分清：

改变括号内的 $x$ ，作用在横坐标；
改变函数整体，作用在纵坐标。

“左加右减”只针对括号里的自变量，“上加下减”只针对函数值。最可靠的方法是拿图像上的一个点跟着公式移动。

老师讲解

一次分式函数

将

$\displaystyle y=\frac{cx+d}{ax+b}$

分离成

$\displaystyle y=\frac ca+\frac{ad-bc}{a(ax+b)}.$

由此可以直接读出：

竖直渐近线 $x=-\frac ba$ ；
水平渐近线 $y=\frac ca$ ；
图像中心为两条渐近线的交点。

若 $ad-bc=0$ ，原式会退化，应单独处理。

对勾函数的最值

当 $a,b>0$ 且 $x>0$ 时，

$\displaystyle ax+\frac bx\ge2\sqrt{ab},$

等号在

$\displaystyle ax=\frac bx,\qquad x=\sqrt{\frac ba}$

时成立。

因此函数在

$\displaystyle \left(0,\sqrt{\frac ba}\right]$

上递减，在

$\displaystyle \left[\sqrt{\frac ba},+\infty\right)$

上递增，最小值为 $2\sqrt{ab}$ 。

当系数异号时，不能继续机械套均值不等式。例如 $x-\frac1x$ 可以看成“增函数减减函数”，所以在每个定义区间内递增，课堂称为“飘带函数”。

平移

由 $y=f(x)$ 得：

$y=f(x+a)$ ：向左平移 $a$ 个单位；
$y=f(x-a)$ ：向右平移 $a$ 个单位；
$y=f(x)+a$ ：向上平移 $a$ 个单位；
$y=f(x)-a$ ：向下平移 $a$ 个单位。

若原图上点 $(x_0,y_0)$ 满足 $y_0=f(x_0)$ ，那么在 $y=f(x+a)$ 上对应点横坐标变成 $x_0-a$ 。

伸缩

$y=f(kx)$ ：横坐标变为原来的 $\frac1{|k|}$ ；
$y=kf(x)$ ：纵坐标变为原来的 $|k|$ 倍。

当 $k<0$ 时，还会同时发生相应的轴对称。

对称

$y=f(-x)$ ：关于 $y$ 轴对称；
$y=-f(x)$ ：关于 $x$ 轴对称；
$y=-f(-x)$ ：关于原点对称。

翻折

$y=f(|x|)$ ：保留右半边，再关于 $y$ 轴翻到左边；
$y=|f(x)|$ ：保留 $x$ 轴上方部分，把下方部分翻到上方。

前者处理自变量，后者处理函数值，不能混淆。

典型例题

对 $f(x)=ax+\frac bx$ （ $a,b>0$ ），最值点由两项相等得到 $x=\sqrt{b/a}$ ，最小值为 $2\sqrt{ab}$ 。必须同时写出 $x>0$ 与取等条件。

已知 $f(1)=1$ 。在 $y=f(x+2)-3$ 上，对应点变为 $(-1,-2)$ 。跟踪单点可以同时检验左右、上下平移方向。

常见错误

把 $f(x+a)$ 误判为向右平移，忘记横坐标变化与括号符号相反。

把 $f(|x|)$ 与 $|f(x)|$ 的翻折方向混为一谈。

使用均值不等式求对勾函数最值时，没有检查变量为正，也没有写取等条件。

方法总结

一次分式函数先分离常数，读渐近线与中心；对勾函数先看定义域和系数符号，再决定能否用均值不等式。图像变换分清“括号内管横坐标、函数外管纵坐标”，必要时用单点运动校验。

自我检查

一次分式函数的两条渐近线如何从解析式读出？

对勾函数的最值点为什么是 $\sqrt{b/a}$ ？

$f(|x|)$ 与 $|f(x)|$ 分别保留哪部分图像？

如何用一个已知点验证平移方向？