第十四讲 知识大纲：抽象函数（单调性 · 赋值法）· 幂函数
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一、103 页函数题衔接
- Q1 B、Q2 D、Q3 C（对称中心 (0,0)→(1,0)→(1/2,0)）。
- 平移法则：左加右减（括号内 x）、上加下减（整体 y）。
- y=2^x 左移 → 2^(x+1)；y=2^(−x) 左移 → 2^(−(x+1))。
二、抽象函数单调性（定义法）
例一（加法型 f(x+y)=f(x)+f(y)，x>0 时 f(x)<0）
- 设 x₁<x₂，Δx=x₂−x₁>0；
- f(x₂)−f(x₁)=f(Δx)<0 ⇒ R 上递减。
- 构造套路：x₂ = x₁ + Δx。
例二（乘法型 f(xy)=f(x)f(y)，x>1 时 0<f<1，0<x<1 时 f>1）
- 先证 f(1)=1、f(x)>0（f(x)=f(√x)²>0）。
- 设 x₁<x₂，Δ=x₂/x₁>1；f(x₂)−f(x₁)=f(x₁)(f(Δ)−1)<0 ⇒ (0,+∞) 递减。
- 口诀：有和就做差，有积就做商。
三、小测 Q5（对勾综合）
- f(x)=x+t/x，讨论 f(0.5)≤f(1.5)≤f(2.5)… 两种情形：
- 全程单增；2. 0.5 与 1.5 等值（对勾对称），列 0.5+0.5/t = 1.5+t/1.5 做差求 t。
四、赋值法（求特定值）
- 加法型 f(x+y)=f(x)+f(y)：y=0→f(0)=0；y=−x→f(−x)=−f(x)；递推整数点（f(−3)…）。
- 乘法型 f(x+y)=f(x)f(y)：y=0→f(0)=1；f(x)f(1/x)=f(1)=1；往整数/幂次递推（f(3)、f(9)…）。
- 要诀：不断代入 0、1、−1、倒数找规律。
五、幂函数
形式与性质
- y = x^α：系数=1、无常数项；α∈R（x^π 用逼近理解）。
- 单调性：α>0 在 (0,+∞) 增；α<0 减。
- 奇偶性（最简分数 mn 互素）：整数看奇偶；分数 p/q——q 奇看 p（p 奇→奇，p 偶→偶），q 偶→非奇非偶。
- 幂比较：x>1 时 α 越大越强；0<x<1 时 α 越大越慢。
常见幂函数速查表
| 函数 | 奇偶性 | (0,+∞) 单调性 |
|---|---|---|
| x² | 偶 | 增 |
| x / x³ | 奇 | 增 |
| x^(1/3) | 奇 | 增 |
| √x=x^(1/2) | 非奇非偶 | 增 |
| 1/x=x^(−1) | 奇 | 减（(−∞,0) 和 (0,+∞)） |
| x^(−1/2) | 非奇非偶 | 减（(0,+∞)） |
六、幂函数例题（111 页）速查
- Q1 C（m,n 互素；n 为分母→偶/非奇非偶）
- Q2 f(3)=a；Q3 m=1；Q4 B（m∈Z，α=m²+2m−3 为负偶数 ⇒ m=−1）
- Q5/Q6 D、D
- Q7 图像：c1=x²，c2=x^(1/3)，c3=x^(−1/2)，c4=x^(−1)（代值 x=4：x^(−1)=1/4，x^(−1/2)=1/2 区分高低）
- Q8 B（定义域优先）
- Q9 D：幂函数为 x^(−1/2)（减）；定义域优先（x+1>0、10−2x>0 ⇒ x∈(−1,5)）+ 减函数比较 ⇒ x∈(3,5)（区间形式）
七、错题本方法（学习建议）
- 信息密度优先；打标签分类（分类讨论/充分不必要/均值不等式…）；合入易错点；必须回头复习。
必考提醒
- 抽象函数单调性证明（定义法 + "有和做差、有积做商"）是月考/高考难点，必考。
- 幂函数奇偶看最简分数分母奇偶；解不等式第一原则：定义域优先。
- 凡问取值范围，必写集合/区间，不可只写纯不等式；单调区间用"和"连接，不用 ∪。