第十四讲 函数专题（抽象函数 · 赋值法 · 幂函数）

来源：20260708153722-转写_26暑0期-高一数学S4班（李）15_40-17_40-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑 0 期高一数学 S4 班，7/8 第 14 讲（15:40–17:40） 说明：已剔除课前闲聊（全勤奖发放、货币时间价值、教辅推荐、课间英文乱码）、点名与 ASR 乱码；修正口语口误；按内容逻辑重排分段。延续前序硬规矩：凡问取值范围，一律用集合/区间形式作答；单调区间用"和"连接，不用 ∪。

一、作业衔接：103 页函数题讲评（延续对勾函数）

昨天停在 102 页上方（对勾函数 Q3 第一问），本讲先把 103 页题目收尾。

• Q1：选 B；Q2：选 D。
• Q3：选 C。该函数对称中心由 (0,0) 经平移 (1,0)、(1/2,0) 得到，故选 C。
• Q4（平移变换）：回顾"左加右减、上加下减"，关键是操作对象不同：
  • 对括号内 x 操作：y = 2^x 向左平移 1 单位 → y = 2^(x+1)；y = 2^(−x) 向左平移 1 单位 → y = 2^(−(x+1))（把 x 整体披"外套"在括号里动，负号不会乱）。
  • 对整体 y 操作：上加下减。
• Q5：一元二次不等式，较简单，不展开。

二、新课（一）：抽象函数的单调性证明（定义法）

第 13 章还剩两讲——抽象函数与幂函数；第 14 章将引入指数函数。

1. 例一（加法型）：已知 f(x+y) = f(x) + f(y)，且当 x > 0 时 f(x) < 0

奇函数条件可由加法式推出（f(0)=0、f(−x)=−f(x)），故核心用"加法式 + x>0 时 f(x)<0"即可。

证明（取值—做差—定号）：

1. 任取 x₁ < x₂，构造新变量 Δx = x₂ − x₁ > 0。
2. 做差：f(x₂) − f(x₁) = f(x₁ + Δx) − f(x₁) = f(Δx)（用加法式 f(x₁+Δx)=f(x₁)+f(Δx)）。
3. 定号：因 Δx > 0，由条件知 f(Δx) < 0。
4. 结论：f(x₂) − f(x₁) < 0 ⇒ f(x₂) < f(x₁)，故 f(x) 在 R 上单调递减。

口诀记忆：抽象函数单调性证明，就设 x₂ = x₁ + Δx 这种构造。

2. 例二（乘法型）：已知 f(xy) = f(x)·f(y)，且 x > 1 时 0 < f(x) < 1，0 < x < 1 时 f(x) > 1

先定符号与 f(1)：

• 令 y = 1，得 f(x) = f(x)·f(1)；又由 f(x) = f(√x · √x) = f(√x)² > 0，知 f(x) 恒正，故 f(1) = 1。
• 从而对任意 x > 0，f(x) > 0（符号确定为正）。

证明单调性（设 x₁ < x₂）：

1. 因 x₂/x₁ > 1，令 Δ = x₂/x₁ > 1，则 f(Δ) ∈ (0,1)，即 f(Δ) < 1。
2. f(x₂) = f(Δ·x₁) = f(Δ)·f(x₁)。
3. 做差：f(x₂) − f(x₁) = f(x₁)·(f(Δ) − 1)。因 f(x₁) > 0、f(Δ) − 1 < 0，故 f(x₂) − f(x₁) < 0。
4. 结论：f(x₂) < f(x₁)，f(x) 在 (0,+∞) 上单调递减。

也可"做商"：f(x₂)/f(x₁) = f(x₂/x₁) = f(Δ) ∈ (0,1) ⇒ f(x₂) < f(x₁)。 核心方法论：有"和"就做差，有"积"就做商。 这是抽象函数性质讨论最难的应用，高考难度亦不过如此。

三、小测第五题讲评（对勾函数综合）

小测在第 10 页，前四题常规，重点讲 Q5。

已知增函数相关条件、K 为整数，考虑形如 f(x) = x + t/x 的对勾函数满足 f(0.5) ≤ f(1.5) ≤ f(2.5) ≤ … 的情形，分两种：

1. 全程单增：0.5、1.5、2.5… 函数值依次严格增大。
2. 0.5 与 1.5 处函数值相等（对勾对称形态）：此时图像先降后升，√t 出现得更早/更晚。列方程 0.5 + 0.5/t = 1.5 + t/1.5 做差即可解出 t。

这是"看图说话 + 分类讨论"的题，无追问，方法如上。老师口播"根号 t"的具体参数化存歧义，t 的精确值请以板书为准核对（见文末注意点）。

四、抽象函数赋值法（求特定值）

没有解析式，靠代入特殊值递推。

1. 加法型示例：f(x+y) = f(x) + f(y)，已知某整数点值求 f(−3)

• 令 y = 0 ⇒ f(0) = 0；
• 令 y = −x ⇒ f(−x) = −f(x)（奇函数）；
• 由 f(1) 与 f(0) 逐步往负方向推：f(−1) = −f(1)、f(−2) = f(−1)+f(−1)、f(−3) = f(−2)+f(−1)……依次减小自变量即可求出。

本质是"先带 0，再带 −1，一步步往前走"的递推逻辑。

2. 乘法型示例：f(x+y) = f(x)·f(y)，求 f(9)

• 令 y = 0 ⇒ f(0) = 1（取非零平凡解）；f(1) 由 f(1) = f(1)·f(1) 且 f(1) > 0 得 f(1) = 1。
• 利用 f(x)·f(1/x) = f(1) = 1，可往"倒数 / 整数倍 / 幂次"方向递推：先求 f(3) = f(1+1+1) = f(1)³，再求 f(9) = f(3+3) = f(3)²（或 f(1/3) 再利用倒数关系）。

赋值法的要诀：没有别的正常办法，就不断代入特殊值（0、1、−1、倒数）找规律。

五、新课（二）：幂函数

基本初等函数共 6 个：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。本讲只讲最简单的一类——幂函数。

1. 形式

幂函数严格长成 y = x^α：

• 系数必须为 1，不能带系数、不能加常数（如不能写 2x^α、x^α + 3）；
• α 为任意实数。整数（x、x²、x³、1/x）、分数（x^(1/2)=√x、x^(1/3)）、负数（x^(−1)）都算；
• 像 x^π 这种无理数指数无"实际含义"，只能用逼近法理解：用 x^3.14、x^3.15… 逐步逼近，但无需深究。

2. 图像与性质（先看第一象限，再借奇偶性延拓）

• 单调性：α > 0 时，在 (0,+∞) 上单调递增；α < 0 时，在 (0,+∞) 上单调递减。
• 奇偶性（强调 最简分数，即分子分母互素）：
  • α 为整数：偶 → 偶函数，奇 → 奇函数；
  • α = p/q（最简）：分母 q 为奇数时看分子 p（p 奇 → 奇，p 偶 → 偶）；分母 q 为偶数时只取正值 → 非奇非偶。
  • 例：x^(1/3) 奇；x^(2/3) 偶；x^(1/2) 非奇非偶。
  • 为何须最简：如 x^(9/3) 若理解成"先开三次方再九次方"与"先九次方再开三次方"在负数定义域上矛盾，故必须约分。
• 幂的大小比较：x > 1 时，α 越大函数"越强势"（增长越快）；0 < x < 1 时，α 越大增长越慢（值反而更小）。

3. 常见幂函数速查

六、幂函数例题（111 页）

• Q1：选 C。注意 m、n 须互素；n 作分母时对应偶函数 / 非奇非偶。
• Q2 / Q3 / Q4：Q2 中 f(3) = a；Q3 中 m = 1；Q4 选 B——既是偶函数、又在 (−∞,0) 上增 ⇒ 在 (0,+∞) 上减。因 m 为整数，指数 α = m² + 2m − 3 须为负偶数，解得 m = −1（选 B）。
• Q5 / Q6：均选 D、D。
• Q7（图像识别 c1~c4）：代值法最稳。c1 = x²（无疑）；c2 = x^(1/3)（增）；c3、c4 是减函数，取 x = 4 比较：x^(−1) = 1/4，x^(−1/2) = 1/2，故较高者为 x^(−1/2)、较低者为 x^(−1)。即 c1=x²，c2=x^(1/3)，c3=x^(−1/2)，c4=x^(−1)。
• Q8：选 B。y = 1/x 首要定义域优先。
• Q9：选 D。幂函数为 x^(−1/2)（减函数、定义域 (0,+∞)、非奇非偶）。解不等式时三句话：定义域优先（x+1 > 0 且 10−2x > 0 ⇒ x ∈ (−1, 5)），再利用减函数性质比较自变量（f 减 ⇒ 函数值大者自变量小 / 反之），化为 x+1 与 10−2x 的大小关系，综合得 x ∈ (3, 5)（区间形式，不可只写 "x > 3"）。

  规矩再强调：凡问取值范围，必须用集合/区间形式作答，否则扣分。

七、学习方法分享：错题本（课堂延展）

本讲尾声老师展示了数份学生错题本并做点评，提炼要点：

• 信息密度优先：一页纸承载的有价值信息越多越好，避免抄原题、抄选项等无效努力。
• 打标签分类：如"分类讨论""充分不必要条件""均值不等式""柯西"等，把同类题归到同一标签下，复习效率更高。
• 合入易错点：把教材每节的易错点直接搬进错题本，不必另留教材。
• 必须回头复习：写了不看的错题本等于白写（有高二学生考到错题本上的原题却因没复习而丢分）。

今日作业：整理近期错题到活页纸；幂函数例题见 111 页。

本讲修正 / 注意点

1. 取值范围一律用集合/区间形式作答（延续前序规矩）：如 Q9 必须写 x ∈ (3, 5)，不可只写 "x > 3"；单调区间用"和"连接（如 1/x 在 (−∞,0) 和 (0,+∞) 上减），不用 ∪。
2. 幂 Q9 不等式方向存歧义：转写口语"x+1 反而大于 10−2x"与"减函数"逻辑需结合题设不等号方向判定。此处按老师口述线（x+1 > 10−2x）+ 定义域 x∈(−1,5) 给出 x∈(3,5)；若原题不等号相反则应为 x∈(−1,3)。最终请以课堂板书核对。
3. 小测 Q5 参数歧义：老师口播"根号 t"，但列等式按 t 处理（0.5 + 0.5/t = 1.5 + t/1.5）。若原题确为 √t 形式，t 数值不同，建议对照板书。
4. 赋值法段 ASR 混乱：转写"F1 = 2 倍的 f1 所以 f1 是 0"为口语/识别杂音。已按赋值法常规逻辑还原——加法型由 f(0)=0、f(−x)=−f(x) 递推；乘法型由 f(0)=1、f(x)f(1/x)=f(1)=1 往幂次递推求 f(9)。
5. 抽象函数例一"○2 可推出 ○1"为老师口述，本质是用加法式 + "x>0 时 f(x)<0" 完成定号，逻辑无误，已按标准定义法重写。
6. 本讲未出现"补集/普及"误转情况，无需替换。
7. 课前全勤奖发放、货币时间价值、教辅推荐、课间英文乱码、点名等均属闲聊/ASR 噪音，已剔除。