第十三讲：抽象函数、幂函数

学习目标

会用赋值法从抽象函数关系中求特殊值。
会用定义法证明加法型、乘法型抽象函数的单调性。
能把抽象恒等式翻译成对称性或周期性。
掌握幂函数的定义、图像、单调性和奇偶性。
会利用幂函数单调性比较大小和解不等式。

前置知识

需要掌握函数解析式、单调性、奇偶性、图像变换和指数运算。

核心概念

抽象函数没有给出具体解析式，但题目给出的恒等关系就是可操作的规则。课堂归纳为：

有和的结构，比较时做差；
有积的结构，比较时做商；
求特殊值，不断尝试 $0,1,-1$ 、相反数和倒数；
自变量和为定值，看对称；
自变量差为定值，看周期。

抽象函数不是“无从下手”，而是不能靠代公式。先翻译恒等式，再选择赋值、作差、作商或换元。

老师讲解

加法型抽象函数的单调性

已知

$\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),$

且当 $x>0$ 时 $f(x)<0$ 。任取 $x_1<x_2$ ，令

$\displaystyle \Delta x=x_2-x_1>0.$

因为 $x_2=x_1+\Delta x$ ，

$\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=f(\Delta x)<0,$

所以 $f$ 在 $\mathbb R$ 上递减。

乘法型抽象函数的单调性

已知

$\displaystyle f(xy)=f(x)f(y),$

在正数范围讨论单调性时，先用

$\displaystyle f(x)=f(\sqrt{x})^2$

证明函数值为正。任取 $0<x_1<x_2$ ，令

$\displaystyle t=\frac{x_2}{x_1}>1.$

则

$\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=f(x_1)\bigl(f(t)-1\bigr).$

再根据题目对 $t>1$ 时函数值的限制判号。

赋值法

对于加法型关系，常令一个变量为 $0$ 或令两变量互为相反数；对于乘法关系，常代入 $1$ 、倒数或整数倍，通过递推求值。

例如由

$\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)$

可先得 $f(0)=0$ 、 $f(-x)=-f(x)$ ，再由已知整数点的值向其他整数点递推。

抽象恒等式与对称性

若

$\displaystyle f(x)+f(2-x)=4,$

两个自变量之和恒为 $2$ ，两个函数值之和恒为 $4$ ，图像关于

$\displaystyle (1,2)$

中心对称。

若两个自变量之和恒为 $2a$ ，而函数值相等，则图像关于直线 $x=a$ 轴对称。

课堂口诀是：和定看对称。

周期性

若

$\displaystyle f(x+6)=f(x),$

则 $6$ 是函数的一个周期。

若

$\displaystyle f(x+2)=\frac1{f(x)},$

再向后平移一次可得

$\displaystyle f(x+4)=f(x),$

因此 $4$ 是一个周期。

课堂口诀是：差定看周期。题目得到的周期不一定是最小正周期，除非另有证明。

幂函数

形如

$\displaystyle y=x^\alpha$

的函数称为幂函数。这里系数必须为 $1$ ，且没有额外常数项。

在 $(0,+\infty)$ 上：

$\alpha>0$ 时递增；
$\alpha<0$ 时递减。

比较正数的幂时：

当 $x>1$ ，指数越大，幂越大；
当 $0<x<1$ ，指数越大，幂越小。

幂函数的定义域与奇偶性

必须把指数化为最简分数后判断。整数指数直接看奇偶；分数指数还要看分母是否为奇数，因为偶次根会限制底数非负。

常见函数：

$x^2$ ：偶函数，在正半轴递增；
$x^3$ 、 $x^{1/3}$ ：奇函数，递增；
$x^{1/2}$ ：定义域为 $[0,+\infty)$ ，非奇非偶；
$x^{-1}$ ：奇函数，在两个定义区间内分别递减；
$x^{-1/2}$ ：定义域为 $(0,+\infty)$ ，递减。

典型例题

若 $f(3-2x)+f(5+2x)=8$ ，两个括号之和恒为 $8$ ，函数值之和恒为 $8$ ，所以 $f(x)$ 的对称中心为 $(4,4)$ 。若研究 $f(2x)$ ，横坐标还要按内层伸缩换算。

用幂函数单调性解不等式时，先求每个幂式的定义域。课堂例题正是先由根式限制得到 $x\in(-1,5)$ ，再利用递减性比较，最终取交集。

常见错误

看到 $f(x+T)=f(x)$ 就断言 $T$ 是最小正周期。

判断分数指数幂函数奇偶性时，没有先把分数约成最简形式。

抽象函数证明单调性时，没有先证明相乘因子的正负。

方法总结

抽象函数先翻译结构：加法型做差，乘法型做商，特殊值靠赋值；自变量和为定值看对称，差为定值看周期。幂函数则先定定义域，再用指数符号判断正半轴单调性，并结合奇偶性延拓图像。

自我检查

为什么加法型单调性证明要构造 $x_2=x_1+\Delta x$ ？

“和定看对称，差定看周期”分别需要观察哪些量？

为什么分数指数必须先约分？

$\alpha<0$ 的幂函数在正半轴有什么单调性？