第十五讲 知识大纲：抽象函数的对称性与周期性 · 指数函数 · 全册复习
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一、抽象函数恒等式"翻译"口诀
三类判定
| 自变量关系 |
函数值关系 |
性质 |
| 和为定值 |
和为定值 |
中心对称（对称中心 = 定值中点） |
| 和为定值 |
相等 |
轴对称（轴 = 定值中点所在直线） |
| 差为定值 |
—— |
周期性（差 = 周期） |
典型例题速查
- f(x)+f(2−x)=4 ⇒ 中心 (1,2)
- f(3−x)+f(5+x)=8 ⇒ 中心 (4,4)
- f(x)+f(−x)=0 ⇒ 奇函数（中心原点）
- f(3−2x)+f(5+2x)=8：f(x) 中心 (4,4)；f(2x) 中心 (2,4)（换元 g(x)=f(2x)，横坐标 ÷2）
- 周期：f(x+6)=f(x) T=6；f(x+2)=1/f(x) T=4；f(x)+f(x+1)+f(x+2)=3 且下移式相减 ⇒ f(x)=f(x+3) T=3
二、指数函数
定义与底数限制
- 形式 y=a^x（x 在右上角，无系数、无常数项）。
- 底数：a>0 且 a≠1（a=1 恒 1 无价值；a=0 部分无义；a<0 偶次根不存在）。
图像口诀
- 第一象限沿逆时针方向，底数 a 增大（a 越大越靠上）。
- 与对数互逆（关于 y=x 对称）：对数在第一象限顺时针 a 增大（a 越大越靠下）。
性质速查表
| 项目 |
内容 |
| 定义域 |
R |
| 值域 |
(0,+∞) |
| 定点 |
(0,1) |
| 单调性 |
0<a<1 减；a>1 增 |
比大小 & 定点
- 比大小：y=0.9^x 递减 ⇒ 0.9^(−0.1) < 0.9^(−0.2)。
- 定点：抓"指数=0"。y=a^(x+1)−2 过 (−1,−1)；y=a^(x−1)+2 过 (1,3)。
三、指数型复合函数（换元 + 同增异减）
- 例：y=(2^x)²−4·2^x+1，令 t=2^x>0，外层 t²−4t+1 在 (0,2)减/(2,+∞)增，t=2^x 增 ⇒ 减区间 (−∞,1)，增区间 (1,+∞)。
- 例：y=(1/2)^(x²−2x)，t=x²−2x 在 (−∞,1)减/(1,+∞)增，外层减 ⇒ 增区间 (−∞,1)，减区间 (1,+∞)。
- 自然常数 e≈2.71828；y=e^x+1 值域 (1,+∞)。
四、习题速查（116–117 页）
| 题 |
结论 |
要点 |
| 1 |
选 B |
最难题，(a/b)^(−1) 与对称轴 a/(2b) 范围（详见注意点） |
| 2 |
选 A |
值域 (−∞,1) |
| 3 |
选 C |
定义域 (0,2] |
| 4 |
选 B |
3^ |
| 5 |
a=1/2 |
指数项取 1 且 a 唯一 |
| 6 |
值域 |
看指数 x²−2x≥−1 配方定下界 |
| 7 |
a_max=2 |
a^x 与 11−x 在 x=3 临界相交（2³=8=11−3） |
| 8 |
定点(1,3) |
抓 x−1=0 |
五、全册复习（小册子覆盖）
- 集合：子集/非空子集/非空真子集个数；A∩B=∅ 优先分 A=∅ 与 A≠∅。
- 充分必要：小充分，大必要。
- 不等式：比大小（平方/平方差）；一元二次（>0 两边、<0 中间，看 Δ）；含参最多五种；穿针法（奇穿偶回）。
- 均值：a+b≥2√(ab)，直接/配凑/消元法。
- 函数：定义域优先；解析式五法；二次函数三形式（顶点式优先）；图像变换（左加右减、伸缩、翻折、对称 x→对称点）；单调性不用 ∪；奇偶性；对称性（g=奇+c 中心(0,c)；n 交点横和=na 纵和=nb）；周期性；定点（指数=0）。
- 指数：见第二、三节。
必考提醒
- 抽象函数对称性/周期性判定口诀（和定/差定）——月考大题常客，必考。
- 复合函数换元 + 同增异减 是硬方法，必考。
- 凡问取值范围必写集合/区间；单调区间用"和"连接，不用 ∪。
- 指数函数定点"抓指数=0"为高频小题，必考。