第十五讲 函数收尾 · 抽象函数的对称性与周期性 · 指数函数 · 全册复习

来源：20260709154455-转写_26暑0期-高一数学S4班（李）15_40-17_40-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑 0 期高一数学 S4 班，7/9 第 15 讲（15:40–17:40） 说明：已剔除课前/课间闲聊（教辅推荐、订书、点名、送书接车、英文乱码）、点名与 ASR 乱码；修正口语口误；按内容逻辑重排分段。延续前序硬规矩：凡问取值范围，一律用集合/区间形式作答；单调区间用"和"连接，不用 ∪。

一、承上启下：从幂函数到抽象函数

昨天收尾在幂函数，幂函数内容很轻。今天先补一块"函数性质的后两个"——对称性与周期性（前两个是单调性与奇偶性）。抽象函数没有解析式，靠恒等式"翻译"出性质。

二、抽象函数恒等式的"翻译"——对称性与周期性

核心手法：看括号里面的自变量在做什么运算。

1. 三类判定口诀（一言以蔽之）

口诀：和定看对称，差定看周期。

2. 基础例题

例一：f(x) + f(2−x) = 4

• 括号内两自变量之和 x + (2−x) = 2（定值），函数值之和恒为 4。
• 取两点 (x, f(x)) 与 (2−x, f(2−x))，其中点横坐标为 (x+2−x)/2 = 1，纵坐标为 4/2 = 2。
• 故 f(x) 关于点 (1, 2) 中心对称。
• 验证：令 x = 1 ⇒ f(1) + f(1) = 4 ⇒ f(1) = 2（确实落在中心上）。

例二：f(3−x) + f(5+x) = 8

• 两自变量之和 (3−x)+(5+x) = 8（定值），函数值之和为 8。
• 中点横坐标 = 8/2 = 4，纵坐标 = 8/2 = 4。
• 故对称中心为 (4, 4)。

例三：f(x) + f(−x) = 0

• 自变量和为 0，函数值和为 0 ⇒ 关于 (0, 0) 中心对称——这正是奇函数的定义。
• 结论：奇偶性是中心对称的特殊情形（中心在原点）。

3. 进阶：换元法处理"系数不同"的情形

例四：f(3−2x) + f(5+2x) = 8

• 第一问：求 f(x) 的对称中心。 两自变量 (3−2x) 与 (5+2x) 之和恒为 8，函数值和恒为 8 ⇒ f(x) 的对称中心为 (4, 4)。
• 第二问：求 f(2x) 的对称中心。 令 g(x) = f(2x)，则 g(3/2 − x) = f(3−2x)，g(5/2 + x) = f(5+2x)。 原式改写为 g(3/2 − x) + g(5/2 + x) = 8。 两自变量之和 (3/2 − x)+(5/2 + x) = 4，函数值和为 8 ⇒ g(x)（即 f(2x)）的对称中心为 (2, 4)。

  技巧：研究 f(kx) 的对称性，做代换 g(x)=f(kx) 把"括号里的整体"恢复成单个 x，对称中心横坐标按比例压缩（4 → 4/k = 2）。

4. 周期性：括号里的差为定值

例五（循环型）：f(x+6) = f(x)

• 自变量之差为 6（定值）⇒ 周期 T = 6。

例六：f(x+6) = −f(x+3)，且 −f(x+3) = f(x)

• 由 f(x+6) = −f(x+3) = f(x) ⇒ 周期 T = 6。 （也可读成：f(x+3) = −f(x)，再推 f(x+6) = −f(x+3) = f(x)。）

例七：f(x+2) = 1/f(x)（倒数型）

• f(x+4) = 1/f(x+2) = 1/(1/f(x)) = f(x) ⇒ 周期 T = 4。

例八：f(x) + f(x+1) + f(x+2) = 3，且 f(x+1) + f(x+2) + f(x+3) = 3

• 两式相减 ⇒ f(x) = f(x+3) ⇒ 周期 T = 3。

周期性标志：括号里的差为定值。与对称性对比记忆——"和定看对称，差定看周期"。

三、新课：指数函数

1. 定义与底数限制

指数函数严格长成 y = a^x（a 为底数，x 为自变量，且 x 必须在右上角、不能带系数、不能在后面加常数项）。

底数 a 的强制规定：a > 0 且 a ≠ 1。原因：

• a = 1：1^x ≡ 1，恒为常数，没有研究价值；
• a = 0：0^x 在 x ≤ 0 时无意义；
• a < 0：开偶次方根会出问题（如 (−1)^(1/2) 在实数范围内不存在），图像不连续，"不好玩"。

2. 图像与"逆时针 a 增大"口诀

画四个图：2^x、3^x、(1/2)^x、(1/3)^x。

• 2^x、3^x 在 R 上单调递增；3^x 比 2^x 增长更快，故在第一象限 3^x 图像在 2^x 上方。
• (1/2)^x、(1/3)^x 单调递减；代 x = 1 得 0.5 与 0.333…，故 (1/2)^x 在 (1/3)^x 上方。
• 口诀（第一象限内）：沿着逆时针方向，底数 a 的值越来越大（a 越大，图像越靠上）。

3. 反函数：指数与对数互逆

指数函数 y = a^x 与对数函数 y = log_a x 互为反函数：交换 x、y 位置（或把图像关于 y = x 对称"照镜子"）即得对方。

• 指数在第一象限"逆时针 a 增大"；经 y = x 对称后方向反转，故对数在第一象限顺时针 a 增大（a 越大，对数图像越靠下）。

一句话：指数、对数"照镜子"，底数大小顺序在镜像后反向。

4. 指数函数的性质

比大小（图像法）：比较 0.9^(−0.1) 与 0.9^(−0.2)。

• 函数 y = 0.9^x 在 R 上递减；因 −0.1 > −0.2，故 0.9^(−0.1) < 0.9^(−0.2)。

5. 定点问题：抓"右上角的指数 = 0"

形如 y = a^(x+1) − 2：令指数 x+1 = 0 ⇒ x = −1，此时 a^0 = 1，y = 1 − 2 = −1 ⇒ 过定点 (−1, −1)。

口诀：问过什么定点，永远抓"右上角那个数字等于 0"，与 a 无关。

四、指数型复合函数（换元法 + 同增异减）

复合函数一律用换元，再套"同增异减"。

例一：y = (2^x)² − 4·2^x + 1

• 令 t = 2^x > 0，则 y = t² − 4t + 1 = (t−2)² − 3。
• 外层 y = t²−4t+1 在 t ∈ (0, 2) 上递减、t ∈ (2, +∞) 上递增。
• 内层 t = 2^x 在 R 上递增（t = 2 对应 x = 1）。
• 同增异减：
  • t ∈ (0, 2) ⇔ x ∈ (−∞, 1)：内层增、外层减 ⇒ 复合递减；
  • t ∈ (2, +∞) ⇔ x ∈ (1, +∞)：内层增、外层增 ⇒ 复合递增。
• 结论：减区间 (−∞, 1)，增区间 (1, +∞)（单调区间用"和"连接，不用 ∪）。

例二：y = (1/2)^(x² − 2x)

• 令 t = x² − 2x，外层 (1/2)^t 递减。
• t = x² − 2x 是开口向下的二次函数，对称轴 x = 1，在 (−∞, 1) 递减、在 (1, +∞) 递增。
• 同增异减：
  • x ∈ (−∞, 1)：内层减、外层减 ⇒ 复合递增；
  • x ∈ (1, +∞)：内层增、外层减 ⇒ 复合递减。
• 结论：增区间 (−∞, 1)，减区间 (1, +∞)。

自然常数：e ≈ 2.71828；形如 y = e^x + 1 由 e^x ∈ (0, +∞) 直接得值域为 (1, +∞)。

五、习题讲评（116–117 页）

1. 第 1 题（最难）：选 B。涉及"（a/b) 的 −1 次方"与二次函数对称轴 x = a/(2b) 的范围判定，推理较绕，详见文末注意点。
2. 第 2 题：选 A。由 3^x ∈ (0, +∞) ⇒ −3^x ∈ (−∞, 0)，加 1 得值域 (−∞, 1)。
3. 第 3 题：选 C。由 x ≤ 2 且 y > 0 联立 ⇒ 定义域 (0, 2]（集合/区间形式）。
4. 第 4 题：选 B。x ∈ [−1, 2] ⇒ |x| ∈ [0, 2] ⇒ 3^|x| ∈ [1, 9] ⇒ 3^|x| − 1 ∈ [0, 8]。
5. 第 5 题：易。指数函数要满足某项等于 1，且 a 不能为其他值 ⇒ a = 1/2。
6. 第 6 题：求 y = a^(x²−2x) 之类的值域，看指数整体 x²−2x = (x−1)²−1 ≥ −1，再判定值域（0 取不到、下界可取）。
7. 第 7 题：在区间 [−1, 3] 上 a^x 与 11−x 比较，临界在 x = 3 处相交：2^3 = 8 = 11 − 3 ⇒ a 的最大值 = 2。
8. 第 8 题：y = a^(x−1) + 2 过定点——令 x−1 = 0 ⇒ x = 1，y = 1 + 2 = 3 ⇒ 定点 (1, 3)。

六、全册复习串讲（配套小册子）

把已学内容浓缩成 38 页小册子，逐项回顾：

1. 集合

• 子集个数、非空子集个数、非空真子集个数（按元素个数公式）。
• A ∩ B = ∅ 时，优先分 A = ∅ 与 A ≠ ∅ 讨论。

2. 充分条件与必要条件

• 核心：小充分，大必要（小集合是充分条件，大集合是必要条件）。
• 逻辑视角：前推后 ⇒ 前是后的充分；后推前不成立 ⇒ 前是后的不必要。

3. 不等式

• 比大小：√(n+1)+√(n+2) 与 √n+√(n+3) 用平方；√(n+3)−√(n+2) 与 √(n+1)−√n 用平方差。
• 一元二次不等式：大于 0 取两边、小于 0 取中间；看 Δ 与两根。
• 含参二次不等式：端点即方程根，可上韦达定理；最多分五种情况（a = 0 / a ≠ 0 及开口方向 / 两根大小）。
• 高次、分式不等式：穿针法（奇穿偶回）。

4. 均值不等式

• 基本式：a + b ≥ 2√(ab)。10 余道例题覆盖直接法、配凑法、消元法，值得细看。

5. 函数

• 定义域优先；"同一个 f 作用的对象，取值范围相同"（如 f(2x−1) 与 f(5x+8) 括号范围相同）。
• 解析式求法：代入法、配凑法、换元法（换元必带新定义域）、待定系数法、方程组法；任意函数可拆成奇函数 + 偶函数之和。
• 二次函数解析式三形式：一般式、顶点式、两根式；已知对称轴与最值优先用顶点式。
• 图像变换：平移（左加右减、上加下减）、伸缩（系数越大越压缩）、翻折（|f(x)| 下翻上、f(|x|) 右翻左）、对称变换（关于点/轴，用"换 x 为对称点"秒杀，如关于 x = 3 对称：x → 6−x）。
• 单调性：取值—做差—定号；绝不可出现 ∪ 符号（区间用"和"连接）。
• 奇偶性：自变量和为 0、函数值和为 0 ⇒ 奇函数；和为 0、函数值相等 ⇒ 偶函数。
• 对称性：见本讲第二节。若 g(x) = 奇函数 + 常数 c，则对称中心为 (0, c)；若 f、g 均关于 (a, b) 对称且有 n 个交点，则 n 个交点横坐标之和 = na、纵坐标之和 = nb。
• 周期性：见本讲第二节。
• 定点问题：抓"指数 = 0"。

6. 指数与指数函数

• 见本讲第三、四节；指数运算（同底数相乘指数相加）属基础。

对数函数与三角函数尚未开讲，留待下学期；建议假期每周一三五晚来自习刷套卷（月考/期中），并坚持整理错题本。

七、结课与假期建议

• 本讲为暑 0 期收官，已覆盖约 60% 高一上内容；后续三角函数等留待正课。
• 假期建议：所订资料可自刷；每周来教室刷 2 套左右套卷保持手感；错题本照"信息密度 + 打标签"方法整理。

本讲修正 / 注意点

1. 取值范围一律用集合/区间形式作答（延续前序硬规矩）：如第 3 题写定义域 (0, 2]、第 4 题写值域 [0, 8]，不可只写纯不等式；单调区间用"和"连接（如 (−∞, 1) 和 (1, +∞)），不用 ∪。
2. 小册子误印修正：原小册子把"空集"误印成"无穷符号 ∞"，已统一改为 ∅；A ∩ B = ∅ 须优先分 A = ∅ 与 A ≠ ∅ 讨论。
3. 口误/ASR 转错修正：原转写"超配"应为超纲（超出高中教学大纲）；"非根真子集"应为非空真子集；本讲未出现"普及"误转情况。
4. 抽象函数口诀修正为精确表述：自变量之和为定值 + 函数值之和为定值 ⇒ 中心对称；和为定值 + 函数值相等 ⇒ 轴对称；自变量之差为定值 ⇒ 周期性。即"和定看对称，差定看周期"。
5. 第 1 题（最难题）题意 ASR 转写破碎：仅能确认答案选 B，其推理涉及 (a/b)^(−1) 与对称轴 x = a/(2b) 的范围，具体推导以板书/原题为准。
6. 对数/指数方向口诀：指数第一象限"逆时针 a 增大"；对数经 y = x 对称后"顺时针 a 增大"（a 越大图像越靠下）。原口述"顺时针/逆时针"略有含混，已按反函数镜像逻辑理顺为正确数学事实。
7. 课前教辅推荐、订书、点名、送书接车、英文乱码等均为闲聊/ASR 噪音，已剔除。