第十四讲：指数函数

学习目标

理解指数函数的定义和底数限制。
掌握指数函数的定义域、值域、定点和单调性。
会比较指数式大小并处理图像定点问题。
会用换元与“同增异减”研究指数型复合函数。
初步理解指数函数与对数函数互为反函数。

前置知识

需要掌握指数运算、幂函数、二次函数单调性、复合函数与图像变换。

核心概念

函数

$\displaystyle y=a^x$

称为指数函数，其中

$\displaystyle a>0,\qquad a\ne1.$

它的定义域为 $\mathbb R$ ，值域为 $(0,+\infty)$ ，恒过定点 $(0,1)$ 。

当 $a>1$ 时，函数递增；
当 $0<a<1$ 时，函数递减。

指数函数的标准形式是 $y=a^x$ ：自变量在右上角，前面没有额外系数，后面没有常数项。做复合题时先换元，再检查新变量 $t=a^x$ 必须满足 $t>0$ 。

老师讲解

为什么限制底数

$a=1$ 时，函数恒为 $1$ ，失去指数变化特征；
$a=0$ 时，负指数和零指数会产生问题；
$a<0$ 时，某些实数指数没有实数意义。

因此高中阶段把底数限制为正数且不等于 $1$ 。

图像与底数

所有指数函数都经过 $(0,1)$ ，且图像始终位于 $x$ 轴上方。

在第一象限观察，底数 $a>1$ 越大，图像增长越快。课堂用“逆时针方向底数增大”帮助识图；当 $0<a<1$ 时图像递减。

比较大小

同底数比较指数时，先判断指数函数的增减性。

例如 $0.9^x$ 为递减函数。因为 $-0.2<-0.1$ ，所以

$\displaystyle 0.9^{-0.2}>0.9^{-0.1}.$

不同底数的比较要寻找共同中间量、化成同底数，或结合图像与取值范围。

定点问题

指数项在指数为 $0$ 时等于 $1$ 。因此研究

$\displaystyle y=a^{x+1}-2$

时，令 $x+1=0$ ，得到定点

$\displaystyle (-1,-1).$

同理， $y=a^{x-1}+2$ 恒过 $(1,3)$ 。口诀是：抓指数等于零。

指数型复合函数：换元

研究

$\displaystyle y=(2^x)^2-4\cdot2^x+1$

时，令

$\displaystyle t=2^x>0.$

外层变为

$\displaystyle y=t^2-4t+1.$

它在 $(0,2)$ 上递减、在 $(2,+\infty)$ 上递增。由于 $2^x$ 递增，且 $2^x=2$ 对应 $x=1$ ，原函数在

$\displaystyle (-\infty,1)$

上递减，在

$\displaystyle (1,+\infty)$

上递增。

指数套二次式：同增异减

对于

$\displaystyle y=\left(\frac12\right)^{x^2-2x},$

外层指数函数递减；内层二次函数在 $(-\infty,1)$ 上递减、在 $(1,+\infty)$ 上递增。由同增异减，原函数在前一段递增、后一段递减。

指数与对数

若

$\displaystyle a^x=N,$

则

$\displaystyle x=\log_aN.$

指数函数与同底数的对数函数互为反函数，图像关于直线 $y=x$ 对称。自然对数记作 $\ln x$ ，其底数为自然常数

$\displaystyle e\approx2.71828.$

本讲只建立概念联系，完整对数函数内容留到后续课程。

典型例题

求 $y=3^{|x|}-1$ 在给定区间上的值域，先确定 $|x|$ 的范围，再利用 $3^t$ 递增。不能把绝对值与指数同时处理而跳过中间变量。

求 $y=a^{x-1}+2$ 的公共定点，令指数 $x-1=0$ ，此时无论底数 $a$ 如何变化，指数项都等于 $1$ ，所以定点为 $(1,3)$ 。

常见错误

把 $y=2\cdot3^x$ 或 $y=3^x+1$ 直接称为标准指数函数。它们是指数型函数，不是定义中的标准形式。

换元 $t=a^x$ 后忘记 $t>0$ ，从而错误使用外层二次函数在整个实数域上的性质。

底数 $0<a<1$ 时仍按递增函数比较指数大小。

方法总结

指数函数先看底数： $a>1$ 增， $0<a<1$ 减；公共定点抓“指数等于零”；复合函数先换元并保留 $t>0$ ，再用内外层单调性同增异减。指数与对数互为反函数，图像关于 $y=x$ 对称。

自我检查

指数函数为什么要求 $a>0$ 且 $a\ne1$ ？

$0<a<1$ 时如何比较 $a^m$ 与 $a^n$ ？

为什么指数型复合函数换元后必须写 $t>0$ ？

如何快速寻找含参数指数函数的公共定点？