知知数 · 高中数学
第 11 讲 · 第三章 函数的概念与性质

第十一讲：函数的奇偶性

对照讲义第 11 讲，学习奇偶性定义、判断、运算、奇偶拆分，以及奇偶性与单调性的综合应用。

按讲义顺序重排
本讲来源课堂第 12 次课资料第 13 次课资料

学习目标

  • 能从定义和图像两种角度理解奇函数、偶函数。
  • 会用定义法判断函数奇偶性。
  • 掌握奇偶函数的运算与复合规律。
  • 会把任意函数拆成奇部与偶部。
  • 会利用奇偶性、对称性和单调性解决函数值与不等式问题。

前置知识

需要掌握定义域、函数图像、单调性与分段函数。

核心概念

设函数定义域关于原点对称：

  • 若 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，则 ff 为偶函数，图像关于 yy 轴对称；
  • 若 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)，则 ff 为奇函数，图像关于原点对称。

定义域关于原点对称是判断奇偶性的前提，而不是最后才补的条件。

判断奇偶性必须先查定义域。奇函数在原点有定义时才一定有 f(0)=0f(0)=0；如果 00 不在定义域中，不能强行代入。

老师讲解

定义法判断

标准步骤是：

  1. 求定义域并检查是否关于原点对称；
  2. 计算 f(−x)f(-x)；
  3. 与 f(x)f(x)、−f(x)-f(x) 比较；
  4. 下结论。

定义域不关于原点对称时，函数直接判为非奇非偶。

复合函数的奇偶性

把 −x-x 从内到外代入：

  • 奇函数会把负号继续传递；
  • 偶函数会把负号“消化”。

因此复合链中只要出现一个起作用的偶函数，整体通常表现为偶；若每一层都是奇函数，整体为奇。具体题目仍要先核对定义域。

运算规律

  • 奇 ±\pm 奇 = 奇；
  • 偶 ±\pm 偶 = 偶；
  • 奇 ×\times 奇 = 偶；
  • 偶 ×\times 偶 = 偶；
  • 奇 ×\times 偶 = 奇。

奇函数与偶函数相加一般为非奇非偶，但零函数等特殊情形要单独判断。

抽象函数与赋值法

若

f(a+b)=f(a)+f(b),\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b),

先令 a=b=0a=b=0，得到 f(0)=0f(0)=0；再令 b=−ab=-a，得到

f(−a)=−f(a),\displaystyle f(-a)=-f(a),

从而证明 ff 是奇函数。

任意函数拆成奇部与偶部

当定义域关于原点对称时，

g(x)=f(x)−f(−x)2\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}2

是奇函数，

h(x)=f(x)+f(−x)2\displaystyle h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}2

是偶函数，并且

f(x)=g(x)+h(x).\displaystyle f(x)=g(x)+h(x).

这不是记忆技巧，而是把一个函数中“原点对称部分”和“轴对称部分”分离出来。

奇函数加常数与对称中心

若 g(x)g(x) 是奇函数，则

f(x)=g(x)+c\displaystyle f(x)=g(x)+c

的图像关于点 (0,c)(0,c) 中心对称。

例如

f(x)=x5+ax3+bx−8\displaystyle f(x)=x^5+ax^3+bx-8

的奇函数部分关于原点对称，整体下移 88，所以对称中心为 (0,−8)(0,-8)。若 f(−2)=10f(-2)=10，由对称点纵坐标和为 −16-16，得到

f(2)=−26.\displaystyle f(2)=-26.

分段函数与奇偶性求解析式

求未知一侧的函数式时，课堂口诀是“求谁设谁”。若函数为奇函数，则使用

f(x)=−f(−x);\displaystyle f(x)=-f(-x);

若函数为偶函数，则使用

f(x)=f(−x).\displaystyle f(x)=f(-x).

把 −x-x 代入已知一侧，再整理出目标区间的解析式。

奇偶性与单调性综合

偶函数比较函数值时，常先把自变量化为绝对值；奇函数可以把负半轴函数值转回正半轴。之后再在同一个单调区间内比较自变量。

例如偶函数在 [1,2][1,2] 上递增，比较

f(m2+1)与f((m−1)2+1),\displaystyle f(m^2+1)\quad\text{与}\quad f((m-1)^2+1),

先要求两个自变量都在 [1,2][1,2]，再比较它们的大小。课堂综合题最终得到

m∈(12,1].\displaystyle m\in(\tfrac12,1].

典型例题

若 ff 为奇函数且在原点有定义，则 f(0)=−f(0)f(0)=-f(0)，所以 f(0)=0f(0)=0。条件“在原点有定义”不可省略。

若 f(x)=g(x)+1f(x)=g(x)+1，其中 gg 为奇函数且递增，则把 ff 的比较先还原成 gg 的比较，再利用奇性把 g(−x)g(-x) 改写，最后才能脱去函数符号。

常见错误

不检查定义域是否关于原点对称，直接计算 f(−x)f(-x)。

认为奇函数必过原点，却忽略函数可能在 x=0x=0 没有定义。

奇偶性与单调性综合题中，没有先把两个自变量限制在同一单调区间。

方法总结

奇偶性判断先查定义域，再比较 f(−x)f(-x)。图像上，偶函数关于 yy 轴对称，奇函数关于原点对称；奇函数加常数会把对称中心移到 (0,c)(0,c)。综合题先用奇偶性搬运自变量，再用单调性比较。

自我检查

  1. 为什么定义域关于原点对称是奇偶性的前提？
  2. 如何把一个函数拆成奇部和偶部？
  3. 奇函数加常数后，对称中心如何变化？
  4. 奇偶性与单调性结合时，正确的处理顺序是什么？