第十讲：函数的单调性

学习目标

能用定义准确描述增函数和减函数。
掌握定义法证明单调性的四步模板。
会判断分式函数、复合函数和分段函数的单调区间。
会利用单调性比较函数值、解不等式和求参数范围。

前置知识

需要熟悉定义域、因式分解、二次函数图像、分式运算和复合函数。

核心概念

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，区间 $I\subseteq D$ 。若任意 $x_1,x_2\in I$ ，当 $x_1<x_2$ 时都有

$\displaystyle f(x_1)<f(x_2),$

则称 $f$ 在 $I$ 上单调递增。把最后的不等号改为 $>$ ，就是单调递减。

多个单调区间用“和”连接，不要随意写并集。定义域断开的函数，即使两段趋势相同，也通常要分别描述。

老师讲解

定义法证明：四步模板

取值：任取 $x_1<x_2$ ，且二者属于所证区间；
作差：计算 $f(x_1)-f(x_2)$ ；
定号：因式分解，并用 $x_1,x_2$ 所在区间判断符号；
下结论：由函数值大小得出增减性。

证明 $f(x)=x^2$ 在 $[0,+\infty)$ 上递增时，

$\displaystyle f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2).$

因为 $x_1-x_2<0$ 且 $x_1+x_2\ge0$ ，所以 $f(x_1)\le f(x_2)$ 。

分式函数与分离常数

对

$\displaystyle f(x)=\frac{3x+5}{x+1}=3+\frac2{x+1},$

先分离常数，再利用倒数函数判断。它在 $(-\infty,-1)$ 和 $(-1,+\infty)$ 上都递减，但不能说在整个定义域上递减。

对勾结构

$\displaystyle f(x)=x+\frac2x$

在正半轴上以 $x=\sqrt2$ 为转折点：

$(0,\sqrt2]$ 上递减；
$[\sqrt2,+\infty)$ 上递增。

复合函数：同增异减

复合函数判断先做两件事：

求定义域；
分别判断内层和外层的单调性。

内外层单调方向相同，复合后为增；方向相反，复合后为减。

例如

$\displaystyle y=\sqrt{x^2-1}$

定义域为 $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$ 。外层根号递增，内层 $x^2-1$ 在负半轴递减、正半轴递增，因此原函数在 $(-\infty,-1]$ 上递减，在 $[1,+\infty)$ 上递增。

函数运算后的单调性

乘正数，方向不变；
乘负数，方向相反；
增函数加增函数仍增；
减函数加减函数仍减；
增函数减减函数仍增；
减函数减增函数仍减。

应用这些规则前，仍需确认公共定义域。

利用单调性解不等式

已知 $f$ 在 $[-1,1]$ 上递增，解

$\displaystyle f(x-1)<f(1-3x).$

必须同时满足：

$\displaystyle x-1\in[-1,1],\qquad 1-3x\in[-1,1],$

并由递增性得到

$\displaystyle x-1<1-3x.$

三组条件取交集，得到

$\displaystyle x\in[0,\tfrac12).$

分段函数单调性的三条件

若要使分段函数在整个区间上递增，需要：

左段内部递增；
右段内部递增；
分界处左侧函数值不大于右侧函数值。

只检查每一段内部是不够的，衔接点可能发生向下跳跃。

典型例题

证明抽象或分式函数的单调性时，不能直接写“显然小于零”。必须从作差后的因式和已知范围逐项判断符号。

对 $f(x)=a+\frac{1-2a}{x+2}$ ，若要求它在 $(-2,+\infty)$ 上递增，需要倒数函数的递减性与系数符号共同作用，得到 $1-2a<0$ ，即 $a\in(\frac12,+\infty)$ 。

常见错误

证明时直接使用待证结论判断差的符号，形成循环论证。

解 $f(u)<f(v)$ 时只比较 $u,v$ ，没有先让两者都落入给定单调区间。

分段函数只检查各段内部，不检查分界处的函数值衔接。

方法总结

单调性题始终遵循“定义域优先”。证明用取值、作差、定号、结论四步；复合函数用同增异减；脱掉函数符号前先把自变量限制在单调区间；分段函数再补一条衔接条件。

自我检查

为什么定义域断开时不能把两个单调区间随意合并？

定义法证明的“定号”依赖哪些已知条件？

利用单调性解不等式为什么要先卡定义域？

分段函数整体递增需要哪三个条件？