第 11 讲 知识大纲：函数的单调性
配套清洗稿：clean_transcript_class11.md ｜ 课时：7/5 第 11 讲
一、函数三要素回顾（承上）
- 定义域、同一函数、解析式四法：待定系数 / 配凑 / 换元（新元范围必写）/ 方程组（对称交换）。
二、单调性定义
增函数
- ∀x₁<x₂∈D，f(x₁)<f(x₂) ⇒ f 在 D 上增；"<"换">"为减。
- 不连续（如 −1/x）须分段，不能称"整个定义域单调"。
单调区间连接符（硬规矩）
- 多个区间用**"和"**，不可 ∪；
- 仅当各段同趋势且临界点无掉头时方可 ∪。
三、定义法证明（必考模板）
四步
- 取值（任取 x₁<x₂∈区间）；
- 作差 f(x₁)−f(x₂)；
- 定号（因式分解判符号）；
- 下结论。
- 禁忌：不可直接写差<0（循环论证）。
- 例 1：x² 在 [0,+∞) 增。
四、分式函数 · 分离常数法
步骤
- 分离常数 → 任取作差 → 提公因式 → 判号。
- 例 2：x+2/x ⇒ (0,√2)减，(√2,+∞)增。
- 例 3：(3x+5)/(x+1)=3+2/(x+1) ⇒ (−∞,−1)与(−1,+∞)均减。
- 例 4：x/(x²+1) ⇒ (−1,1)增。
- 对勾函数 y=ax+b/x 为源头，后续专讲。
五、复合函数单调性：同增异减
- 大函数套小函数；单调性由内外层共定。
- 规则：同增异减；定义域优先放第一。
- 例：y=√(x²−1) ⇒ [1,+∞)增，(−∞,−1]减。
六、复合函数练习（速查表）
| 题 | 函数 | 单调区间结论 |
|---|---|---|
| 1 | （选 B，定义域优先） | — |
| 3 | 1/(x²−2x) | 增：(−∞,0)和(0,1)；减：(1,2)和(2,+∞) |
| 4 | （定义域 / 区间 [−2,2]） | — |
| 5 | 1/[(x−3)(x+1)] | 增：(−∞,−1)；减：(3,+∞) |
七、函数运算后的单调性
- ×正数：不变；×负数：变反；
- 增+增=增，减+减=减，增−减=增，减−增=增。
八、单调性的应用（必考）
解不等式套路
- 定义域优先：自变量 ∈ 定义域；
- 增函数脱 f：f(u)<f(v) ⇒ u<v；
- 取交集。
- 例 5：f 增于 [−1,1]，f(x−1)<f(1−3x) ⇒ x ∈ [0,1/2)。
- 例 6：f 增于 [−2,2] ⇒ x ∈ (7/6,2)。
- 例 7：f 增于 [−2,2]，f(M²)>f(−2M+3) ⇒ M ∈ (1,√2]。
取值范围规范（硬规矩）
- 必须集合形式：区间或 {x|…}；纯不等式扣 5 分。
九、作业题：数形结合求参
- f(x)=(ax+1)/(x+2)=a+(1−2a)/(x+2)，(−2,+∞)增 ⇒ 1−2a<0 ⇒ a∈(1/2,+∞)。
- 速解：渐近线 y=a 须在定点 (0,1/2) 上方。
- 作业：跳做讲义第 11 题。
十、必考提醒
- 定义法四步证明 = 第一次月考 / 期中必考。
- 复合函数"同增异减 + 定义域优先" = 高频。
- 解不等式"定义域优先 + 脱 f 比自变量 + 取交集" = 必考。