第 11 讲 函数的单调性

来源：20260705153951-转写_26暑0期-高一数学S4班（李）15_40-17_40-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑 0 期高一数学 S4 班，7/5 第 11 讲（15:40–17:40） 说明：已剔除课前/课间闲聊（分班、竞赛、小测调侃、个人网站、拍段子等）、点名与转录乱码；修正口语口误与 ASR 数学符号转写错误；按内容逻辑重排分段。

一、承上启下：函数三要素回顾

上几讲已经铺开函数三块内容：

• 定义域与同一函数的概念；
• 函数解析式的求法，共四种：①待定系数法（已知类型时用）；②配凑法；③换元法（务必注意新元的取值范围，步骤为换元 → 反表示写范围 → 用新元表达 f）；④方程组法（利用解析式中的对称关系交换括号内式子，本质是"和定 / 积定"才能交换）。

本讲进入函数性质的第一个标尺——单调性（高一上还会讲奇偶性、周期性、对称性）。

二、单调性概念与定义

增函数定义：对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x₁, x₂，当 x₁ < x₂ 时，都有 f(x₁) < f(x₂)，则称 f(x) 在 D 上是增函数。（减函数同理，把"<"换成">"）。

注意：这是严格不等号，水平段不算单调。例如 |x| 中间那段水平部分没有单调性，左支递减、右支递增。

反例（反比例函数）：y = −1/x 在每一支上递增，但不能说它在整个定义域上单调递增——因为定义域不连续，取左支一点（负值）与右支一点（正值）比较，x 小反而 f(x) 小不成立。不连续时要分段讨论。

单调区间的书写规矩：

• 一个函数出现两个以上单调区间时，一般不能用并集符号 ∪ 连接，要用"和"字表示，因为 ∪ 会把两个独立区间连起来、破坏独立性。
• 例外：若各段单调性相同且临界点处无"掉头"（始终往上 / 往下），才可用并集连起来。

例如 y = −1/x 的递减区间必须写作"在 (−∞, 0) 和 (0, +∞) 上递减"，不能写 ∪。

三、定义法证明单调性

标准四步：取值 → 作差 → 定号 → 下结论。

例 1：证明 f(x) = x² 在 [0, +∞) 上是增函数

1. 取值：任取 x₁, x₂ ∈ [0, +∞)，且 x₁ < x₂。
2. 作差：f(x₁) − f(x₂) = x₁² − x₂² = (x₁ − x₂)(x₁ + x₂)。
3. 定号：x₁ − x₂ < 0；又 x₁, x₂ ≥ 0 且 x₁ < x₂，故 x₁ + x₂ > 0。于是 (x₁−x₂)(x₁+x₂) < 0，即 f(x₁) < f(x₂)。
4. 下结论：f(x) 在 [0, +∞) 上为增函数。

禁忌：不能直接写"f(x₁)−f(x₂) < 0"再下结论——那等于预设了要证的结论（循环论证）。要"假装不知道"，通过 x₁−x₂ 与 x₁+x₂ 的符号推导出来。这是第一次月考 / 期中必考题型。

四、分式函数单调性：分离常数法

例 2：判断 f(x) = x + 2/x 的单调性 任取 x₁, x₂ ∈ (0, √2)，x₁ < x₂： f(x₁) − f(x₂) = (x₁−x₂) + 2(1/x₁ − 1/x₂) = (x₁−x₂) + 2(x₂−x₁)/(x₁x₂) = (x₁−x₂)[1 − 2/(x₁x₂)] = (x₁−x₂)·(x₁x₂ − 2)/(x₁x₂)。

• 在 (0, √2) 上：x₁x₂ < 2 ⇒ x₁x₂−2 < 0，且 x₁−x₂ < 0，x₁x₂ > 0 ⇒ 整体 > 0 ⇒ f(x₁) > f(x₂)，递减。
• 在 (√2, +∞) 上：x₁x₂ > 2 ⇒ x₁x₂−2 > 0，配合 x₁−x₂ < 0 ⇒ 整体 < 0 ⇒ f(x₁) < f(x₂)，递增。

核心：作差后先提取公因式，再判号。对勾函数 y = ax + b/x 是这类题的源头，后续专讲。

例 3：f(x) = (3x + 5)/(x + 1)，判断在 (−∞, −1) 与 (−1, +∞) 上的单调性 先分离常数：f(x) = (3(x+1)+2)/(x+1) = 3 + 2/(x+1)。 任取 x₁, x₂ ∈ (−∞, −1)，x₁ < x₂： f(x₁)−f(x₂) = 2/(x₁+1) − 2/(x₂+1) = 2(x₂−x₁)/[(x₁+1)(x₂+1)]。 x₂−x₁ > 0；x₁+1 < 0, x₂+1 < 0 ⇒ 分母 > 0 ⇒ 整体 > 0 ⇒ f(x₁) > f(x₂)，递减。 （同理在 (−1, +∞) 上也递减。）

分式型函数先分离常数，作差会简单很多。

例 4：f(x) = x/(x² + 1)，判断在 (−1, 1) 上的单调性 任取 x₁, x₂ ∈ (−1, 1)，x₁ < x₂： f(x₁)−f(x₂) = x₁/(x₁²+1) − x₂/(x₂²+1) = [x₁(x₂²+1) − x₂(x₁²+1)] / [(x₁²+1)(x₂²+1)] = (x₂−x₁)(x₁x₂ − 1) / [(x₁²+1)(x₂²+1)]。 在 (−1,1) 内：x₂−x₁ > 0，x₁x₂ < 1 ⇒ x₁x₂−1 < 0，分母 > 0 ⇒ 整体 < 0 ⇒ f(x₁) < f(x₂)，递增。

提示：别把式子"倒过来"证，否则会多出 x=0 这一支，平白多出分段，更麻烦。

五、复合函数单调性：同增异减

复合函数：大函数里包着小函数，如 y = √t，t = x² − 1，即 y = √(x² − 1)。其单调性由外层与内层共同决定。

规则：同增异减（内外层单调性相同则增，相反则减），且永远把"定义域优先"放在第一位。

例：y = √(x² − 1) 内层 t = x² − 1 要求 t ≥ 0 ⇒ x ≤ −1 或 x ≥ 1。

• 在 [1, +∞) 上：内层增，外层 √t 增 ⇒ 同增 ⇒ 增。
• 在 (−∞, −1] 上：内层减，外层增 ⇒ 异减 ⇒ 减。

六、复合函数单调性练习（5 题）

1. 第 1 题（选 B）：务必定义域优先——若选项把"根号内为负"的区间（如含 x=1 使 x²−1<0 的部分）当单调区间，就是错的。
2. 第 2 题（选 B）。
3. 第 3 题（选 B）：函数为 y = 1/(x² − 2x)。分母零点 x=0、x=2 为竖直渐近线，把 x 轴分成三段：
   • (−∞, 0) 与 (0, 1)：递增（答案写作"在 (−∞, 0) 和 (0, 1) 上递增"，不能用 ∪）；
   • (1, 2) 与 (2, +∞)：递减。

   画图辅助：先画分母 x²−2x 的抛物线，再取倒数；正区间倒数与分母同增减，负区间倒数绝对值反向。

4. 第 4 题：单调区间 / 定义域为 [−2, 2]（对应 y = √(4 − x²) 类）。
5. 第 5 题：函数为 y = 1/[(x−3)(x+1)]，渐近线 x = −1、x = 3：
   • (−∞, −1)：递增；
   • (3, +∞)：递减。

多个单调区间一律用"和"连接；老师原题答案曾把第 5 题两区间写反，已订正。

七、函数运算后的单调性

• 乘正数：单调性不变；乘负数：单调性变反。
• 增函数 + 增函数 = 增函数；减函数 + 减函数 = 减函数；
• 增函数 − 减函数 = 增函数；减函数 − 增函数 = 减函数。

（与"负负得正"逻辑一致，很好理解。）

八、单调性的应用：比大小与解不等式

应用 1：已知单调性，比较函数值大小 → 转化为比自变量大小，但必须定义域优先。

应用 2：利用单调性解不等式（定义域优先）

例 5：已知 f(x) 在 [−1, 1] 上为增函数，且 f(x−1) < f(1−3x)，求 x 的取值范围。 解：先保证自变量在定义域内：

• −1 ≤ x−1 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2；
• −1 ≤ 1−3x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2/3； 再由增函数脱去函数符号：x−1 < 1−3x ⇒ x < 1/2。 取交集得 x ∈ [0, 1/2)。

例 6（第 3 题）：已知 f(x) 在 [−2, 2] 上增，按"定义域优先 + 比自变量"解得 x ∈ (7/6, 2)。

例 7（第 4 题，含参）：已知 f(x) 在 [−2, 2] 上增，解 f(M²) > f(−2M+3)。 由"定义域优先 + 增函数脱符号"列出三式：

1. M² ∈ [−2, 2] ⇒ −√2 ≤ M ≤ √2；
2. −2M+3 ∈ [−2, 2] ⇒ 1/2 ≤ M ≤ 5/2；
3. M² > −2M+3 ⇒ M²+2M−3 > 0 ⇒ (M+3)(M−1) > 0 ⇒ M > 1 或 M < −3。 三者取交集得 M ∈ (1, √2]。

套路：先卡定义域，再脱 f 比自变量，最后取交集。填选择题 / 解含参不等式必考。

九、作业题：数形结合求参

例 8：已知 f(x) 在 (−2, +∞) 上单调递增，求 a 的取值范围。（原题 f(x) = (ax+1)/(x+2)）

正规法：用定义四步证明，过程很长。 数形结合速解（填空首选）：分离常数 f(x) = (ax+1)/(x+2) = a + (1−2a)/(x+2)。

• 竖直渐近线 x = −2；水平渐近线 y = a；
• 固定过点 (0, 1/2)（与 a 无关）；
• 要使 (−2, +∞) 上递增，需系数 1−2a < 0，即 a > 1/2。
• 几何直观：水平渐近线 y=a 必须在该固定点 (0, 1/2) 的上方（a > 1/2），右支才呈"二、四象限"走向而递增。

答：a ∈ (1/2, +∞)。

规矩提醒：问"取值范围"必须用集合形式回答——区间 (1/2, +∞) 或描述法 {a | a > 1/2}，不可只写 "a > 1/2"。

十、作业与结课

• 今日作业：跳做讲义第 11 题（Homework 11，因课程顺序调整，作业未同步顺延，跳过第 10 题直接写第 11 题）。
• 本讲核心是"定义法四步 + 同增异减 + 定义域优先"，第一次月考 / 期中必考定义法证明。

本讲修正 / 注意点

1. 作业题函数还原：原转写把题面口播成"fx 等于它在…"等乱码；依据"过点 (0,1/2)、水平渐近线 y=a、结论 a>1/2"唯一还原为 f(x) = (ax+1)/(x+2)（分离常数后为 a + (1−2a)/(x+2)）。
2. 例 3 函数还原：转写"x+3/1x+5"为 ASR 错乱，已据"分离常数得 3 + 2/(x+1)"订正为 (3x+5)/(x+1)。
3. 第 5 题答案订正：老师口播曾把两单调区间"写反了一下"，已按正确推导订正为 (−∞,−1) 递增、(3,+∞) 递减；补充：函数在 (−1,3) 内还有 (−1,1) 增、(1,3) 减的子区间（老师课上只强调外侧两支）。
4. 取值范围集合形式：本讲所有参数 / 变量范围（a ∈ (1/2,+∞)、M ∈ (1,√2]、x ∈ [0,1/2) 等）均按高一规范写成集合 / 区间，未出现纯不等式作答。
5. 单调区间连接符：延续"多个单调区间用'和'、不可用 ∪"的规矩；仅在趋势一致且无掉头时方可 ∪，已单列说明。